例說證明線段比例式或等積式的方法與技巧

何美蘭

證明線段比例式或等積式的常用方法之一是利用相似三角形，而相似三角形是初中數(shù)學(xué)中的一個(gè)非常重要的知識(shí)點(diǎn)，它也是歷年中考的熱點(diǎn)內(nèi)容，通?？疾橐韵氯齻€(gè)部分：（1）考查相似三角形的判定；（2）考查利用相似三角形的性質(zhì)解題；（3）考查與相似三角形有關(guān)的綜合內(nèi)容。以上試題的考查既能體現(xiàn)開放探究性，又能加深知識(shí)之間的綜合性。但不少學(xué)生證題卻是不會(huì)尋找相似三角形，特別是對(duì)比較復(fù)雜的圖形，感到眼花繚亂，無從下手。為了幫助學(xué)生們擴(kuò)大解題思路，迅速而正確地解題。下面以一些例題來說明解答策略及規(guī)律。

一 三點(diǎn)定形法

利用兩個(gè)三角形相似去解決比例式或等積式證明的方法。解決問題的基本思想是：先找出與結(jié)論中的線段有關(guān)的兩個(gè)三角形，然后根據(jù)原題所給條件，對(duì)照?qǐng)D形分析，尋找這兩個(gè)三角形的相似條件，再證明這兩個(gè)三角形相似，利用“相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例”推出結(jié)論。尋找并證明兩個(gè)三角形相似是解題的關(guān)鍵，尋找相似三角形的基本方法是“三點(diǎn)定形法”，即由有關(guān)線段的三個(gè)不同的端點(diǎn)來確定三角形的方法。具體做法是：先看比例式前項(xiàng)和后項(xiàng)所代表的兩條線段的三個(gè)不同的端點(diǎn)能否分別確定一個(gè)三角形，若能，則只要證明這兩個(gè)三角形相似就可以了，這叫做“橫定”；若不能，再看每個(gè)比的前后兩項(xiàng)的兩條線段的兩條線段的三個(gè)不同的端點(diǎn)能否分別確定一個(gè)三角形，則只要證明這兩個(gè)三角形相似就行了，這叫做“豎定”。

例1：如圖1，ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，過C作DB的平行線，交AB的延長線于E。求證BE·AD＝BC·CD。

分析：要證BE·AD＝BC·CD，即 ＝ 。

橫定：這個(gè)比例式的前項(xiàng)中的線段BE、CD共有四個(gè)不

同的端點(diǎn)，不能確定一個(gè)三角形；豎定：這個(gè)比例式的比

中的線段BE、BC它們有三個(gè)不同的端點(diǎn)，可以確定一個(gè)

△BEC，另一個(gè)比 中的線段CD、AD的三個(gè)不同的端點(diǎn)

也可以確定一個(gè)△ACD，于是只要證明△BEC∽△DCA，這樣，證明所需添加的輔助線AC也就顯示在眼前了。解決△BEC∽△DCA，這個(gè)過程成了整個(gè)問題的關(guān)鍵。

證明：連接AC?！逤E∥DB，∴∠BCE＝∠DBC。

∵∠DBC＝∠DAC，∴∠BCE＝∠DAC。

∵∠CBE＝∠ADC，∴△BEC∽△DCA。

∴ ＝ ，即BE·AD＝BC·CD。

例2：如圖2，設(shè)點(diǎn)D、E分別為△ABC的外接圓 、 的中點(diǎn)，弦DE交AB于點(diǎn)F，交AC于點(diǎn)G。求證：AF·AG＝DF·EG。

分析：要證AF·AG＝DF·EG，即 ＝ 。

橫定：這個(gè)比例式的前項(xiàng)中的線段AF、DF它們有三個(gè)不同的端點(diǎn)，可以確定一個(gè)△ADF；豎定：這個(gè)比例式的后項(xiàng)中的線段EG、AG它們有三個(gè)不同的端點(diǎn)，可以確定一個(gè)△EAG，于是只要證明△ADF∽△EAG，這樣，證明所需添加的輔助線AD、AE也就顯示在眼前了。解決△ADF∽△EAG，這個(gè)過程成了整個(gè)問題的關(guān)鍵。

證明：如圖2，聯(lián)結(jié)AD、AE，∵D是 的中點(diǎn)。

∴ ，∴∠BAD＝∠AED。

同理可證∠ADE＝∠CAE。

∴△ADF∽△EAG；

∴ ＝ ；

∴AF·AG＝DF·EG。

有些學(xué)生在尋找條件遇到困難時(shí)，往往放棄了基本規(guī)律而去亂碰亂撞，亂添輔助線，這樣反而使問題復(fù)雜化，效果并不好，應(yīng)當(dāng)運(yùn)用基本規(guī)律去解決問題。

二 等量代換法

遇到三點(diǎn)定形法無法解決欲證的問題時(shí)，即如果線段比例式中的四條線段都在圖形中的同一條直線上，不能組成三角形，或四條線段雖然組成兩個(gè)三角形，但這兩個(gè)三角形并不相似，那就需要根據(jù)已知條件找到與比例式中某條線段相等的一條線段來代替這條線段，如果沒有，可考慮添加簡單的輔助線。然后再應(yīng)用三點(diǎn)定形法確定相似三角形。只要代換得當(dāng)，問題往往可以得到解決。當(dāng)然，還要注意最后將代換的線段再代換回來。

例3：如圖3，在△ABC中，AD平分∠BAC，AD的中垂線交AD于E，交BC的延長線于F，求證：FD2＝FB·FC。

分析：欲證FD2＝FB·FC，即 ，運(yùn)用三點(diǎn)定形

法不論怎樣都定不出三角形，考慮用等量代換，即等線段代換，注意到題設(shè)中有EF是AD的中垂線，那么有FD＝FA，

于是要證明的比例式轉(zhuǎn)化為 ＝ ，再用三點(diǎn)定形法可定

出△AFB和△CFA，要證這兩個(gè)三角形相似也不難，從而輔助線連接也自然而成了。

證明∵FE是AD的中垂線；

∴FA＝FD∠FAD＝∠FDA。

∵∠FAC＋∠CAD＝∠FAD，∠DAB＋∠B＝∠FDA。

又∵∠DAB＝∠CAD，所以∠FAC＝∠B。

∵∠AFC＝∠BFA，∴△FAB∽△FCA。

∴ ＝ ，∴FD2＝FA2＝FB·FC。

例4：如圖4，AB是⊙O的直徑，CD切⊙O于C，BD⊥CD于D，CE⊥AB于E。

求證：CD2＝AE·EB。

分析：欲證CD2＝AE·EB，即 ＝ ，應(yīng)用三點(diǎn)定

形法不論怎樣都定不出三角形，考慮用等量代換，即等線段代換，根據(jù)題設(shè)的條件，可證CD＝CE，于是要證明的比例式

轉(zhuǎn)化為 ＝ ，再用三點(diǎn)定形法可定出△ACE和△CBE，要

證這兩個(gè)三角形相似也不難，從而輔助線連接也自然而成了。

證明：連接BC、AC，并延長CE交⊙O于F。

∵AB是⊙O的直徑，且CE⊥AB，∴ 。

∴∠DCB＝∠ECB。

∵BD⊥CD，CE⊥AB，∴∠BDC＝∠BEC＝90°。

∵BC＝BC，∴△BDC≌△BEC，∴CD＝CE。

∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°。

∵CE⊥AB，∴△ACE∽△CBE。

∴ ＝ ，∴CD2＝CE2＝AE·EB。

三 等比代換法

當(dāng)用三點(diǎn)定形法不能確定三角形，同時(shí)也無等線段代換時(shí)，可以考慮用等比代換法，即考慮利用第三組線段的比為比例式搭橋，也就是通過對(duì)已知條件或圖形的深入分析，找到與求證的結(jié)論中某個(gè)比相等的比，并進(jìn)行代換，然后再用三點(diǎn)定形法來確定三角形。

例5：如圖5，已知AB和CD是⊙O的直徑，且AB⊥CD，弦AE交CD于F，DE交AB于P，求證：AP·FO＝BP·AO。

分析：要證AP·FO＝BP·AO，即 ＝ ，用三點(diǎn)

定形法無法解決，再考慮等線段代換，結(jié)論中的四條線段只有AO與圖中CO、OB、OD三條線段相等，但不論怎樣替換，都無法找到相似三角形，在這種情況下，可以考慮利用比例式搭橋的方法，那么圖中是否有等比呢？有已知條件發(fā)現(xiàn)，

EP是∠AEB的平分線，所以 ＝ ，這是根據(jù)三角形內(nèi)

角平分線有關(guān)的性質(zhì)，于是要證 ＝ ，則要證 ＝ ，

從而根據(jù)三點(diǎn)定形法，需要連接BE，再證明△AEB和△AOF即可。

證明：見圖5，連接BE。

∵AB和CD是⊙O的直徑，且AB⊥CD。

∴ ，∴∠AEP＝∠BED即∠AEP＝∠BEP。

∴EP平分∠AEB，∴ ＝ 。

∵AB是⊙O的直徑，∴∠AEB＝90°。

∵AB⊥CD，∴∠AOF＝90°。

∴∠AEB＝∠AOF。

∵∠FAO＝∠BAE，∴△AEB∽△AOF。

∴ ＝ ，∴ ＝ ，即AP·FO＝BP·AO。

四 等積代換

例6：如圖6，⊙O的直徑AB的延長線與弦CD的延長線交于點(diǎn)P，E為⊙O上的一點(diǎn)，A為 的中點(diǎn)，DE交AB于點(diǎn)F，求證：PF∶PA＝PB∶PO。

分析：求證中成比例的四條線段在同一條直線上，無法直接導(dǎo)出相似三角形，也找不到中間比，注意到求證轉(zhuǎn)化為乘積式PF·PO＝PA·PB，由相交弦定理易證PA·PB＝PC·PD，因此解決此題的關(guān)鍵在于將PA·PB轉(zhuǎn)化為PC·PD，從而待證明等積式變?yōu)镻F·PO＝PC·PD，利用直接法可證。

證明：連接OC，見圖6所示：

∵∠AOC的度數(shù)＝ 的度數(shù)，∠EDC的度數(shù)＝的

度數(shù)＝ 的度數(shù)。

∴∠AOC＝∠EDC，∴∠POC＝∠PDF，∵∠OPC＝∠DPF。

∴△POC∽△PDF，∴PD∶PO＝PF∶PC，即PF·PO＝PC·PD。

又由相交弦定理得PA·PB＝PC·PD。

∴PF·PO＝PA·PB，PF∶PA＝PB∶PO。

綜上可知，利用相似三角形證明線段的比例式或等積式時(shí)，思考問題的基本途徑是：用三點(diǎn)定形法確定兩個(gè)三角形，然后通過三角形相似推出線段成比例；若三點(diǎn)定形法不能確定兩個(gè)相似三角形，則考慮用等量（線段）代換，或用等比代換，然后再用三點(diǎn)定形法確定相似三角形，若以上三種方法行不通時(shí)，則考慮用等積代換法。總之，最終是通過相似三角形來證明線段或等積式的，通過多年的實(shí)踐，收到了良好的效果。但此法并非最好，我將在以后的教學(xué)工作中，吸取他人精華，補(bǔ)我所短，使教學(xué)水平更上一層樓。

〔責(zé)任編輯：高照〕