例說證明線段比例式或等積式的方法與技巧

何美蘭

證明線段比例式或等積式的常用方法之一是利用相似三角形，而相似三角形是初中數學中的一個非常重要的知識點，它也是歷年中考的熱點內容，通常考查以下三個部分：（1）考查相似三角形的判定；（2）考查利用相似三角形的性質解題；（3）考查與相似三角形有關的綜合內容。以上試題的考查既能體現開放探究性，又能加深知識之間的綜合性。但不少學生證題卻是不會尋找相似三角形，特別是對比較復雜的圖形，感到眼花繚亂，無從下手。為了幫助學生們擴大解題思路，迅速而正確地解題。下面以一些例題來說明解答策略及規律。

一 三點定形法

利用兩個三角形相似去解決比例式或等積式證明的方法。解決問題的基本思想是：先找出與結論中的線段有關的兩個三角形，然后根據原題所給條件，對照圖形分析，尋找這兩個三角形的相似條件，再證明這兩個三角形相似，利用“相似三角形對應邊成比例”推出結論。尋找并證明兩個三角形相似是解題的關鍵，尋找相似三角形的基本方法是“三點定形法”，即由有關線段的三個不同的端點來確定三角形的方法。具體做法是：先看比例式前項和后項所代表的兩條線段的三個不同的端點能否分別確定一個三角形，若能，則只要證明這兩個三角形相似就可以了，這叫做“橫定”；若不能，再看每個比的前后兩項的兩條線段的兩條線段的三個不同的端點能否分別確定一個三角形，則只要證明這兩個三角形相似就行了，這叫做“豎定”。

例1：如圖1，ABCD是⊙O的內接四邊形，過C作DB的平行線，交AB的延長線于E。求證BE·AD＝BC·CD。

分析：要證BE·AD＝BC·CD，即 ＝ 。

橫定：這個比例式的前項中的線段BE、CD共有四個不

同的端點，不能確定一個三角形；豎定：這個比例式的比

中的線段BE、BC它們有三個不同的端點，可以確定一個

△BEC，另一個比 中的線段CD、AD的三個不同的端點

也可以確定一個△ACD，于是只要證明△BEC∽△DCA，這樣，證明所需添加的輔助線AC也就顯示在眼前了。解決△BEC∽△DCA，這個過程成了整個問題的關鍵。

證明：連接AC。∵CE∥DB，∴∠BCE＝∠DBC。

∵∠DBC＝∠DAC，∴∠BCE＝∠DAC。

∵∠CBE＝∠ADC，∴△BEC∽△DCA。

∴ ＝ ，即BE·AD＝BC·CD。

例2：如圖2，設點D、E分別為△ABC的外接圓 、 的中點，弦DE交AB于點F，交AC于點G。求證：AF·AG＝DF·EG。

分析：要證AF·AG＝DF·EG，即 ＝ 。

橫定：這個比例式的前項中的線段AF、DF它們有三個不同的端點，可以確定一個△ADF；豎定：這個比例式的后項中的線段EG、AG它們有三個不同的端點，可以確定一個△EAG，于是只要證明△ADF∽△EAG，這樣，證明所需添加的輔助線AD、AE也就顯示在眼前了。解決△ADF∽△EAG，這個過程成了整個問題的關鍵。

證明：如圖2，聯結AD、AE，∵D是 的中點。

∴ ，∴∠BAD＝∠AED。

同理可證∠ADE＝∠CAE。

∴△ADF∽△EAG；

∴ ＝ ；

∴AF·AG＝DF·EG。

有些學生在尋找條件遇到困難時，往往放棄了基本規律而去亂碰亂撞，亂添輔助線，這樣反而使問題復雜化，效果并不好，應當運用基本規律去解決問題。

二 等量代換法

遇到三點定形法無法解決欲證的問題時，即如果線段比例式中的四條線段都在圖形中的同一條直線上，不能組成三角形，或四條線段雖然組成兩個三角形，但這兩個三角形并不相似，那就需要根據已知條件找到與比例式中某條線段相等的一條線段來代替這條線段，如果沒有，可考慮添加簡單的輔助線。然后再應用三點定形法確定相似三角形。只要代換得當，問題往往可以得到解決。當然，還要注意最后將代換的線段再代換回來。

例3：如圖3，在△ABC中，AD平分∠BAC，AD的中垂線交AD于E，交BC的延長線于F，求證：FD2＝FB·FC。

分析：欲證FD2＝FB·FC，即 ，運用三點定形

法不論怎樣都定不出三角形，考慮用等量代換，即等線段代換，注意到題設中有EF是AD的中垂線，那么有FD＝FA，

于是要證明的比例式轉化為 ＝ ，再用三點定形法可定

出△AFB和△CFA，要證這兩個三角形相似也不難，從而輔助線連接也自然而成了。

證明∵FE是AD的中垂線；

∴FA＝FD∠FAD＝∠FDA。

∵∠FAC＋∠CAD＝∠FAD，∠DAB＋∠B＝∠FDA。

又∵∠DAB＝∠CAD，所以∠FAC＝∠B。

∵∠AFC＝∠BFA，∴△FAB∽△FCA。

∴ ＝ ，∴FD2＝FA2＝FB·FC。

例4：如圖4，AB是⊙O的直徑，CD切⊙O于C，BD⊥CD于D，CE⊥AB于E。

求證：CD2＝AE·EB。

分析：欲證CD2＝AE·EB，即 ＝ ，應用三點定

形法不論怎樣都定不出三角形，考慮用等量代換，即等線段代換，根據題設的條件，可證CD＝CE，于是要證明的比例式

轉化為 ＝ ，再用三點定形法可定出△ACE和△CBE，要

證這兩個三角形相似也不難，從而輔助線連接也自然而成了。

證明：連接BC、AC，并延長CE交⊙O于F。

∵AB是⊙O的直徑，且CE⊥AB，∴ 。

∴∠DCB＝∠ECB。

∵BD⊥CD，CE⊥AB，∴∠BDC＝∠BEC＝90°。

∵BC＝BC，∴△BDC≌△BEC，∴CD＝CE。

∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°。

∵CE⊥AB，∴△ACE∽△CBE。

∴ ＝ ，∴CD2＝CE2＝AE·EB。

三 等比代換法

當用三點定形法不能確定三角形，同時也無等線段代換時，可以考慮用等比代換法，即考慮利用第三組線段的比為比例式搭橋，也就是通過對已知條件或圖形的深入分析，找到與求證的結論中某個比相等的比，并進行代換，然后再用三點定形法來確定三角形。

例5：如圖5，已知AB和CD是⊙O的直徑，且AB⊥CD，弦AE交CD于F，DE交AB于P，求證：AP·FO＝BP·AO。

分析：要證AP·FO＝BP·AO，即 ＝ ，用三點

定形法無法解決，再考慮等線段代換，結論中的四條線段只有AO與圖中CO、OB、OD三條線段相等，但不論怎樣替換，都無法找到相似三角形，在這種情況下，可以考慮利用比例式搭橋的方法，那么圖中是否有等比呢？有已知條件發現，

EP是∠AEB的平分線，所以 ＝ ，這是根據三角形內

角平分線有關的性質，于是要證 ＝ ，則要證 ＝ ，

從而根據三點定形法，需要連接BE，再證明△AEB和△AOF即可。

證明：見圖5，連接BE。

∵AB和CD是⊙O的直徑，且AB⊥CD。

∴ ，∴∠AEP＝∠BED即∠AEP＝∠BEP。

∴EP平分∠AEB，∴ ＝ 。

∵AB是⊙O的直徑，∴∠AEB＝90°。

∵AB⊥CD，∴∠AOF＝90°。

∴∠AEB＝∠AOF。

∵∠FAO＝∠BAE，∴△AEB∽△AOF。

∴ ＝ ，∴ ＝ ，即AP·FO＝BP·AO。

四 等積代換

例6：如圖6，⊙O的直徑AB的延長線與弦CD的延長線交于點P，E為⊙O上的一點，A為 的中點，DE交AB于點F，求證：PF∶PA＝PB∶PO。

分析：求證中成比例的四條線段在同一條直線上，無法直接導出相似三角形，也找不到中間比，注意到求證轉化為乘積式PF·PO＝PA·PB，由相交弦定理易證PA·PB＝PC·PD，因此解決此題的關鍵在于將PA·PB轉化為PC·PD，從而待證明等積式變為PF·PO＝PC·PD，利用直接法可證。

證明：連接OC，見圖6所示：

∵∠AOC的度數＝ 的度數，∠EDC的度數＝的

度數＝ 的度數。

∴∠AOC＝∠EDC，∴∠POC＝∠PDF，∵∠OPC＝∠DPF。

∴△POC∽△PDF，∴PD∶PO＝PF∶PC，即PF·PO＝PC·PD。

又由相交弦定理得PA·PB＝PC·PD。

∴PF·PO＝PA·PB，PF∶PA＝PB∶PO。

綜上可知，利用相似三角形證明線段的比例式或等積式時，思考問題的基本途徑是：用三點定形法確定兩個三角形，然后通過三角形相似推出線段成比例；若三點定形法不能確定兩個相似三角形，則考慮用等量（線段）代換，或用等比代換，然后再用三點定形法確定相似三角形，若以上三種方法行不通時，則考慮用等積代換法。總之，最終是通過相似三角形來證明線段或等積式的，通過多年的實踐，收到了良好的效果。但此法并非最好，我將在以后的教學工作中，吸取他人精華，補我所短，使教學水平更上一層樓。

〔責任編輯：高照〕