淺析對(duì)心碰撞后的速度

黃偉

摘 要 物體對(duì)心碰撞后的速度與恢復(fù)系數(shù)有關(guān)。文章首先闡述了恢復(fù)系數(shù)，進(jìn)而探討了對(duì)心碰撞中的速度問(wèn)題。

關(guān)鍵詞 速度 恢復(fù)系數(shù) 對(duì)心碰撞

中圖分類號(hào)：O313.4 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

Talking about the Speed after Central Collision

HUANG Wei

(College of Physics and Electronics, Guizhou Normal University, Guiyang, Guizhou 550001)

Abstract: The speed of objects after the central collision is related with the coefficient of restitution. This paper described the coefficient of restitution, and then explored the issue of speed in the central collision.

Keywords: speed;coefficient of restitution;central collision

0 引言

碰撞是物體間極短的相互作用，物體碰撞前后發(fā)生速度、動(dòng)量或能量的改變，它在我們身邊無(wú)處不在如打夯、擊球、導(dǎo)彈的發(fā)射以及原子、分子間的碰撞等等。對(duì)心碰撞作為碰撞的一種特殊情況，是經(jīng)典力學(xué)中的常見模型，學(xué)好對(duì)心碰撞有助于我們今后更深層的學(xué)習(xí)。

1 恢復(fù)系數(shù)

由牛頓碰撞定律給出的恢復(fù)系數(shù)的定義為碰撞過(guò)程的恢復(fù)沖量與壓縮沖量之比，即

=① （1—1）

在碰撞的短暫時(shí)間內(nèi)，兩個(gè)小球首先相互接觸，接著相互擠壓，兩球分別產(chǎn)生形變和試圖恢復(fù)形變的力。的速度從逐漸變小，速度逐漸增大，直到變?yōu)橥凰俣龋_(dá)到最大壓縮狀態(tài)。這個(gè)階段稱為壓縮階段。隨后兩球形變逐漸恢復(fù)，的速度繼續(xù)變小，速度繼續(xù)增大，兩球的速度分別達(dá)到，后開始分離，這是恢復(fù)階段。②

1.1 壓縮階段

兩球速度不等至兩球的速度相等，彈性力作用，球體發(fā)生形變。設(shè)彈性力對(duì)的沖量為，有

= - ， = 消去，

得 = （ + ）或 = （）（1—2）

1.2 恢復(fù)階段

兩球的速度相等至兩球分開，形變逐漸恢復(fù)。設(shè)彈性力對(duì)的沖量為，有

= - ， = 消去，

得 = （ + ）或 = （） （1—3）

由（1—1），（1—2），（1—3）可得

=（1—4）

恢復(fù)系數(shù)的大小只與兩碰撞體的質(zhì)料有關(guān)，而與碰前的速度無(wú)關(guān)。這里，和，分別表示兩球碰后和碰前沿兩點(diǎn)連線方向的速度分量。顯然，通過(guò)測(cè)定兩個(gè)正碰物體的碰前和碰后速度，即可得到恢復(fù)系數(shù)。恢復(fù)系數(shù)所說(shuō)的恢復(fù)，是指無(wú)放能(含無(wú)爆炸)情況下的恢復(fù)。通常認(rèn)為這種意義下的恢復(fù)系數(shù)滿足0≤≤1。③

2 對(duì)心碰撞

兩物體的碰撞過(guò)程，通常發(fā)生在比較短暫的時(shí)間內(nèi)，在這段時(shí)間中，物體間的相互作用非常強(qiáng)烈，外界對(duì)這兩物體或無(wú)作用，或雖有力的作用（如摩擦力、重力等），但只要作用力是有限的，其沖量就可以忽略，系統(tǒng)動(dòng)量就守恒。

如碰撞前兩物體（小球），的速度，均沿兩球中心連線，這樣的碰撞稱為對(duì)心碰撞或正碰。在正碰情況下，碰撞前后兩物體（小球）的速度方向在同一直線上，如圖1。

碰撞前

碰撞后

圖1

取兩球中心連線為坐標(biāo)軸，以的方向?yàn)檩S的正方向，由動(dòng)量守恒，有

+=+ （ 2—1 ）

2.1 一般碰撞

在碰撞過(guò)程中，兩球壓縮之后沒有完全恢復(fù)，形變有部分消失，則恢復(fù)沖量小于壓縮沖量，由恢復(fù)系數(shù)的定義及正碰下恢復(fù)系數(shù)滿足的條件有：

01或01

我們稱這類為一般碰撞。解決這類問(wèn)題時(shí)，只需恢復(fù)系數(shù)的一般式 = 及動(dòng)量守恒定理 +=+ 就可以解決。如，已知碰前求碰后速度根據(jù)（1—4）、（2—1）兩式得：

=（）（）；

=+ （）（）

2.2 完全非彈性碰撞

在碰撞過(guò)程中若兩球碰撞過(guò)后并不分開，合為一體，以同一速度運(yùn)動(dòng)，即恢復(fù)過(guò)程完全消失，恢復(fù)沖量為零，則 = 0，叫作完全非彈性碰撞。解決此類碰撞后的速度問(wèn)題只需由動(dòng)量守恒：

+= （ + ） 得=

當(dāng)被碰球碰前靜止 = 0時(shí)得 = ④

2.3 完全彈性碰撞

在碰撞過(guò)程中若碰撞前后兩球相對(duì)速度大小不發(fā)生變化，恢復(fù)沖量與壓縮沖量相等，即 = 1，叫完全彈性碰撞。解決此類碰撞后的速度問(wèn)題只需聯(lián)系動(dòng)量守恒：

+=+ （2-3-1）

= 1（2-3-2）

由（2-3-1） ，（ 2-3-2）兩式，有

= （） + （） （2-3-3）

= （） + （） （2-3-4）

從（2-3-3）（2-3-4）可知，碰后的速度與碰前速度及兩球的質(zhì)量有關(guān)，下面討論幾種特殊的情況。

（1）當(dāng) = 時(shí)，根據(jù) ( 2-3-3 ) ，( 2-3-4 ) 可得

= ， =

即兩球經(jīng)過(guò)碰撞而交換速度，如果被碰球碰前靜止，即 碰球的速度完全轉(zhuǎn)換為被碰球的速度。

（2）當(dāng) = 0時(shí)。這是常見的碰撞情況，即受碰球碰前靜止。碰撞后兩球的速度大小根據(jù)（2-3-3）（2-3-4）可得

= ， =（2-3-2-1）

如果 ，則 = - ，≈0即碰撞后，大球幾乎仍然靜止，小球以相等的速率返回。

如果 = ，則 = 0， = ， 即碰撞后，兩球的速度交換，碰后會(huì)突然停止，而接過(guò)的速度繼續(xù)前進(jìn)。

如果 ，則≈，≈2，即大球幾乎以原來(lái)的速度繼續(xù)前進(jìn)，而小球以兩倍于大球的速度前進(jìn)。⑤

3 結(jié)論

綜上所述，關(guān)于對(duì)心碰撞后的速度有以下幾點(diǎn)總論。

第一， 一般碰撞01時(shí)，對(duì)心碰撞后主碰物體（球）與被碰物體（球）的速度、分別為，

=（1+）（）；

=+（1+）（）

第二， 完全非彈性碰撞 = 0時(shí)，對(duì)心碰撞后主碰物體（球）與被碰物體（球）的共同速度， =

當(dāng)被碰球碰前靜止 = 0時(shí)， =

第三， 全彈性碰撞 = 1時(shí)，對(duì)心碰撞后主碰物體（球）與被碰物體（球）的速度、分別為，

= （） + （）；

= （） + （）

（1）當(dāng)≠0且 = 時(shí) = ， = ，即兩物體交換速度。

（2）當(dāng)=0時(shí)，①如果 ，則 = -， ≈，即碰撞后，大球幾乎仍然靜止，小球以相等的速率返回。②如果=，則 = 0， = ，即碰撞后，兩球的速度交換。③如果 ，則≈，≈2，即大球幾乎以原來(lái)的速度繼續(xù)前進(jìn)，而小球以兩倍于大球的速度前進(jìn)。

注釋

① 梁昆淼編著.力學(xué)（3版）.北京:高等教育出版社,1995.

② 楊維纮編著.力學(xué)（2版）.合肥:中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)出版社,2004.11.

③ 翟琛.中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)出版社恢復(fù)系數(shù)e的探討[J].呼倫貝爾學(xué)院學(xué)報(bào),2005.13 (5):30-30.

④ 漆安慎,杜嬋英.普通物理教程.力學(xué)（2版）.北京:高等教育出版社,2005.6.

⑤ 鄭永令,賈起民,方曉敏等編.力學(xué)（2版）.北京:高等教育出版社,2002.8.