運算定律教學,走出“迷惘”之境

謝永波

摘 要 “運算定律與簡便計算”是人教版教材第八冊的內容，主要包括加法交換律、加法結合律、乘法交換律、乘法結合律，乘法分配律，以及這些運算定律的簡單運用。在教學中，筆者發現學生普遍出現“一學就會，一做就錯”，“簡便不簡單”的現象。于是筆者重審教材，回望教學。下文筆者側重以變化形式多，學生最難以掌握的乘法分配律教學為例，談談在教學中的一些思考與實踐。

關鍵詞 運算定律 簡便計算 探索

中圖分類號：G424 文獻標識碼：A

Teaching with Operation Laws, out of the Realm of the "Lost"

——Exploration and Re-thinking about "Operation law and simple calculation"

XIE Yongbo

(Ningbo Zhenhai Jiaochuan Central School, Ningbo, Zhejiang 315200)

Abstract "Operation law and the simple calculation" is PEP eighth volumes of the textbook content, including the addition commutative, associative law of addition, multiplication, commutative, associative law of multiplication, multiplication distributive law, and the simple use of the law of computing. In teaching, the author found that students were generally "To learn, one can do wrong" and "simple but not easy" phenomenon. So I retried the materials, look back to teaching. Below, the author focus on variations, the most difficult for students to grasp the distributive property of multiplication for example, talks about some of the thinking and practice in teaching.

Key words operation law; simple calculation; exploration

叩問一：教材整體如何編排——編者意圖何在？

關鍵詞1：新舊對比，集中靈活。

從上表中可看出該塊內容在浙教版教材中是分散學習的,且對前幾冊學習過的四則運算知識進行較為系統的概括和總結。而人教版教材打破了以往的格局，安排了“四則運算”和“運算定律與簡便運算”兩個單元。這樣集中編排有利于學生形成完整的知識體系。此外，教材中對計算題的要求由過去 “能簡便的一定要簡便計算”，轉變為現在“計算下面各題，怎樣簡便怎樣算。”學生可以自由靈活地選擇合適方法進行計算。

關鍵詞2：前后聯系，承上啟下。

學生在前面幾冊的學習中多次滲透了運算律的思想,接觸過大量的例子，如加減法的驗算、兩位數乘兩位數等，已經有了一些直觀的體驗和經驗，尤其是對于加法、乘法的可交換性、可結合性，這些經驗構成了本單元知識的認知基礎。且本單元學習的五條運算定律，是進行運算的基礎，不僅適用于整數的加法和乘法，也是今后學習小數、分數四則運算，甚至是初中有理數的四則混合運算、式的運算的基礎。因此，這部分內容在整個義務教育階段的數學教學中，占據著承上啟下的重要地位。

叩問二：如何教學運算定律—— 熟練敘述是終極目標嗎？

關鍵詞：水到渠成，構建模型。

“意到”亦要“言到”，“言到”更要“意到”。學生只有真正理解規律內涵，才能用自己的語言準確描述，達到言到與意到的水乳交融。而大部分學生卻缺失對規律的理解，不能清晰地用語言來描述規律。因而在探索運算律教學中，教師必須提供學生充分思考和交流的時間，讓他們用自己的語言表達發現的規律，解釋公式的含義，經歷從感性到理性、從具體到抽象的數學建模過程，從而促使學生真正理解每一種運算定律。

策略1：扣經驗，找起點。

知識經驗：教學應注重學生已有的知識經驗，找到知識的起點，經過同化和順應，構建認知的結構。如教學乘法分配律時，學生已有的知識經驗是“幾個幾”,這也是乘法分配律的核心所在。學生在二年級時已經學習了乘法的意義，在后繼教材中也都有所孕伏、滲透。因此教師可以把這個知識經驗作為學習乘法分配律的知識生長點，從伊始，就可引導學生用這種經驗來解釋“等式左右兩邊為什么會相等？”如：（4 + 2）?5 = 4?5 + 2?5，左邊共有6個25，右邊4個25加2個25也是6個25。逆向說也成立。教學只有植根于定律的意義理解，對算式結構特點的把握才能水到渠成。

生活經驗：借助生活經驗來幫助學生理解乘法分配律。如果一件上衣120元，一條褲子80元，5套衣服需要多少錢？學生列出算式：120? + 80?和（120 + 80）?”。教師依托“一件上衣和一條褲子稱為一套衣服，5件上衣和5條褲子可以組成5套衣服”幫助學生理解 （120 + 80）?=120?＋80?這一乘法分配律最基本的模式。

策略2：抓本質，建模型。

小學生的直觀形象思維占優勢，對知識的認識往往是先從表象開始，再逐步由表及里地去認識知識本質的。教學中可引導學生先從算式外形結構入手，再逐步認識本質，構建運算律的模型。如教學乘法分配律時，得到等式（120 + 80）? = 120?+80?，教師應引導學生比較左右兩個算式有何異同？如生只說出“左邊算式是先算括號里的加法，再算乘法；右邊算式是先算兩個乘法，再加起來。因為這點不同只是從外形上，還應繼續引導學生認識到左邊是兩個數的和滓桓鍪；右邊是兩積求和。也就是說：“和滓桓鍪?兩積求和。”這才是構建乘法分配律的關鍵，我們可以由此基礎繼續討論讓學生總結出乘法分配律。這樣才是真正理清運算律的本質內涵，才能建立起相對清晰的運算律的模式。

叩問三：如何熟練運用運算律—— 模式運用是精髓嗎？

關鍵詞1：多管齊下，理解模型。

學生只有充分理解運算律，才能靈活準確地應用。因此教師應將教學的側重點放在如何讓學生深入理解運算律的意義上，而不是放在如何讓學生盡快應用模型，達到它的計算功能上。只有多管齊下，理解模型，才能避免盲目模仿。

策略①： 數形結合，突破難點。

“數缺形時少直觀，形少數時難入微。”單憑講解來理解運算律算理比較抽象。教師可借助“數形結合”思想解決難點。如針對學生在運用乘法分配律時中常“漏乘”的現象：25?40 + 4) = 25?0 + 4，可借助圖形幫助學生分析，求出的不是大長方形的面積，而是左邊長方形的面積加上1條寬的長度，無意義。這樣借助圖形幫助學生思考數與數之間的關系，有助于發展學生的形象思維，有效避免類似的錯誤再次發生。

策略②： 建立聯系，遷移貫通。

引導學生回憶以前學習的知識，它與乘法分配律有什么聯系。如乘法豎式的計算過程如圖：

這個過程用模型解釋即54?3 = 54祝?0 + 3） = 54?0 +54 ?。通過知識的正遷移使學生更深刻地理解分配律，從而突出數學知識之間的邏輯聯系以及數學原理的應用價值。在后續學習中還要將整數范圍的運算律遷移到小數、分數的運算中，以檢驗模型的適應性，培養學生合情推理的能力。整個過程學生處于探究之中，不是純粹的數與數之間的運算游戲，而是將算式與實際問題相聯結，使運算律教學更有意義。

關鍵詞2：融匯貫通，鞏固模型。

策略① ：培養數感，提高感知。

數感是指對數的含義、計數技能、數的順序大小、數的多種表達方法、模式、數運算及結果的準確感知和理解等。數感是有效地進行計算等數學活動的基礎，因此培養數感，能提高簡便計算中的習題感悟能力。針對這一內容，最直接的方法是引導學生在理解的基礎上熟記一些常見的數據，如“25? = 100”，“125? = 1000”，“5與任何偶數可以湊整”等。又如看到99想到100-1，同樣看到101想到100+1，這些數據特征鮮明，標志清晰，掌握這些特殊數據既能提高學生發現簡算條件的能力，又能提高簡算的運算速度與準確性，同時當然也要加強口算的熟練度。

策略②： 題組對比，加強辨析。

適當將同類或類似的內容安排一起，通過相似計算的算法比較分析，理解本質意義，掌握知識間的聯系與區別，從而有效地排除計算中的負遷移。

如圖這類題目借助對比，旨讓學生重尋意義本源，進一步深化定律內涵，同時舉一反三，融會貫通，重組認知結構。如教師以乘法分配律的基本公式為基礎，進行變式，并將一些易混淆的題目組成題組，通過對比讓學生掌握本質。如“42?01”表示101個2是多少，可以先算100 個42是4200，再加上1個42 ；“42?9”表示42個99是多少，可以先算100個42是4200，再減去1個42。這樣既進行了算式意義上的區分，又在內涵上架起了原式與乘法分配律的內在聯系。教學“42?9 + 42和42?0142同樣如此，這樣意義上的理解遠勝與形式上的模仿。又如在教學連除的簡便算法，可將連減和連除聯系起來對比學習，更能發揮學生的知識遷徙能力。

而第二組題目借助對比，既可澄清各種運算定律之間的區別，引導學生認清運算定律的本質；又可培養學生先觀察后動筆的學習習慣，靈活運用運算定律進行計算。 如學生總是對乘法結合律和乘法分配律的運用分不清，我利用第一組題目先讓學生觀察這兩題的異同處，并計算結果。最后擦去兩個括號，再計算出結果。通過兩次計算對比，學生發現前者連乘的括號去掉不改變算式的結果，而后者另不然。這樣學生對各知識間本質的聯系與區別有了更清醒的認識，減少錯誤率。

策略③：掃描錯誤，尋求突破。

錯誤是學生思想經驗的最真實的暴露，錯誤是一種教學資源，教師要善用錯誤資源，讓學生在經歷“出錯”和“糾錯”的過程中，形成正確的算法，防止負遷移。因此在教學中我要求學生在訂正作業時進行自我反思。

劃：劃出做錯的地方。唯有找到錯處，才會對問題有新認識。 （下轉第254頁）（上接第145頁）

思：找到錯誤的直接原因后，進行自我分析反思。

記：記錄錯題在《錯題本》中。讓學生發現自己的不足，對癥下藥，及時改正學習方法，同時增強對同類錯誤的免疫力。下面我收集整理的常見而易錯題型：

策略④：合理拓展，深化教材。

分析乘法分配律的“錯誤集群”，重審教材，發現教材中對于乘法分配律教學內容編排的不足，概念表述的局限性，如下圖：

一是概念表述只有“乘加”類型的體現，“乘減”類型只有在后面的習題中少量呈現，如“265?05265?”；二是概念中只呈現了兩個數和一個數相乘，而在實際運用中也會出現多個數與一個數相乘的分配現象。這樣的概念表述會讓經驗不足或者沒有認真研究教材的教師存在教學空白，對乘法分配律的理解有限而導致錯誤發生。因此，教師在教學中應通過不同類型的引導學習讓學生理解、歸納出完整的乘法分配律的概念：幾個數的和或差與一個數相乘，可以把這幾個數分別與這個數相乘，再相加或者相減，結果不變。

任何教學都應促進學生的發展。教學時，我們不應忽略運算律的探索過程，而滿足于讓學生記住一些形式化的結論；我們不應熱衷于技巧的指導與訓練，而忘記將計算教學與解決實際問題相結合。我們應孜孜不倦追尋運算定律的真正價值，讓運算定律學習成為學生進一步學習的支撐，讓運算定律運用成為培養學生思維靈活性和擁有優化解決問題策略的基石，讓運算定律教學發揮它獨特的魅力。