淺談微分計算方法的教學

張志會

摘 要 微分學是微積分的重要組成部分，它的基本概念是導數與微分，其中導數反映出函數相對于自變量的變化而變化的快慢程度，而微分則指明當自變量有微小變化時，函數值變化的近似值。本文主要闡述了微分的兩種計算方法以及學生對兩種方法的掌握程度的要求。

關鍵詞 導數 微分 計算方法

中圖分類號：G424 文獻標識碼：A

The Teaching of Calculating Methods of Differential

ZHANG Zhihui

(Business School of Wuhan Polytechnic University, Wuhan, Hubei 430065)

Abstract Differential calculus is important composition part of calculus, its basic concept is derivative and differential, which guides the number reflects the function varies from changes in the variable speed of the degree, differential is specified when small changes in the independent variable, a function valueapproximation of the change. This article focuses on the differential of the two calculation methods as well as mastery of the requirements of the students.

Key words derivative; differential; calculating methods

0 引言

高等數學課程是高校理工科各個專業中最重要的基礎課之一，在培養學生思維能力和處理問題能力等方面是其他任何課程不可替代的。高等數學對學生素質、能力的培養起著舉足輕重的作用，對一個學校的人才培養質量也是至關重要的。微積分學是高等數學最基本、最重要的組成部分。而微分學是微積分的重要組成部分，它的基本概念是導數與微分，其中導數反映出函數相對于自變量的變化而變化的快慢程度，而微分則指明當自變量有微小變化時，函數值變化的近似值。在工程問題中，經常會遇到一些復雜的計算公式，如果直接用這些公式計算，那是很費力的，利用微分往往可以把一些復雜的計算公式改用簡單的近似公式來代替。所以微分的計算是很重要的，不同專業的學生，對微分計算方法的掌握要求是不一樣的。本文主要闡述了微分的兩種計算方法以及學生對兩種方法的掌握程度的要求。

1 常用的微分方法

我們經常會遇到這樣的函數，都可由自變量的解析式 =()來表示，這種函數稱為顯函數。根據微分定義，要計算函數 =()的微分，只需求出它的導數 ()，然后再乘以即可。這是計算函數的微分的最常用方法，學生要先扎實的掌握這種計算方法。

例1 設 = ，求。

解法1： =

= ·=··

=

所以 =

例2 設 = , 求。

解： =

= · ==

所以 =

隱函數求導法，就是不管隱函數能否顯化，直接在方程 = 0的兩端對求導，由此得到隱函數的導數。因此我們根據微分的定義就得到了計算隱函數微分的方法。

例3 已知方程 = ，求。

所以 = -

2 一階微分形式不變性的微分方法

設函數 = ,= ()，根據一階微分形式的不變性，由復合函數的求導法則可得復合函數 =(())的微分為 ==(()) ()。因此，我們又得到了計算微分的一種方法，學生應該掌握第一種微分方法后，再了解或掌握這種方法。

=··3 =

對于一個隱函數來說，根據一階微分形式的不變性，我們可以在方程兩邊同時計算微分，在計算的過程中，要注意是自變量，是關于自變量的函數。

例3 解法2：

3 結束語

在實際問題中，經常會遇到一些復雜的計算公式，如果直接用這些公式計算，那是很費力的，利用微分常常可以把一些復雜的計算公式改用簡單的近似公式來代替。因此，微分的計算是很重要的，不同專業的學生，對微分計算方法的掌握要求是不一樣的，學生要著重學習第一種方法，再了解或掌握第二種方法。

注：基金項目：《高等數學》課程教學之應用能力培養研究2011校級課題教師教研項目

參考文獻

[1] 同濟大學數學教研室主編.高等數學(上冊)[M].北京:高等教育出版社,2002.

[2] 黃立宏主編.高等數學上冊[M].上海:復旦大學出版社,2010.