對2009年版《辭海》“陸家羲”詞條的訂正

［摘 要］陸家羲是世界聞名的組合數學家,他潛心埋頭鉆研組合數學26年多,歷盡艱辛以畢生心血先后攻克了組合數學界的三大世界難題——柯克曼三元系、柯克曼四元系和不相交斯坦納三元系大集的存在性問題,并攀登上RBIBD存在性理論研究的新高峰,為組合數學的發展作出卓越貢獻,其研究成果“關于不相交Steiner三元系大集的研究”榮獲1987年第三屆國家自然科學獎一等獎。筆者試圖以科學求實和客觀專業的態度來訂正2009年版《辭海》“陸家羲”詞條中的有關內容并闡明了訂正的理由。

［關鍵詞］柯克曼女生問題；柯克曼(Kirkman)三元系；柯克曼四元系；斯坦納(Steiner)三元系；不相交斯坦納三元系大集；可分解平衡不完全區組設計(RBIBD)

［中圖分類號］O 157.2［文獻標識碼］A［文章編號］1005-6432（2012）32-0108-09

1 引 言

陸家羲是一位筆者早已熟知和仰慕的數學大師,鑒于他在組合數學領域所取得的輝煌成就和崇高地位,筆者1990年3月奮筆給時任《辭海》主編的著名學者夏征農先生(1904.01.31—2008.10.04)寫了一封信,強力推薦《辭海》在再版時增收“陸家羲”詞條，并自告奮勇地表示可為《辭海》撰寫“陸家羲”詞條提供一切方便。不久,筆者就收到了上海辭書出版社總編辦公室的一封回信：“朱安遠同志：您給夏征農主編的信已收悉。您所推薦的陸家羲同志,其事跡確實很動人,但今后是否收入《辭海》,我們將同數學分科主編和有關專家研究后再作決定。十分感謝您對《辭海》的關心和支持。此致敬禮 1990.4.9”。據了解,當時《辭海》數學分科的主編是著名數學家蘇步青教授(原名蘇尚龍,1902.09.23—2003.03.17),此事在1999年《辭海》再版時落空,但以下書籍(按時間先后排序,據不完全統計,主要是辭典傳記類著作)都陸續收錄了“陸家羲”詞條或有關介紹陸家羲光輝事跡的內容：

（1)1990年5月(第一版)《數學家辭典》第490-491頁“陸家羲”詞條,鄧宗琦主編,武漢：湖北教育出版社出版。

（2)1991年3月(第一版)《中國現代科學家傳記》第一集第102-107頁《陸家羲》(羅見今),《科學家傳記大辭典》編輯組編輯,北京：科學出版社出版,六集本。

（3)1991年3月(第一版)《二十世紀中國名人辭典》第735頁“陸家羲”詞條,蔡開松、于信鳳主編,沈陽：遼寧人民出版社出版。

（4)1992年1月(第一版)《中華當代文化名人大辭典》第705頁“陸家羲”詞條,張品興、殷登祥等主編,北京：中國廣播電視出版社出版。

（5)1993年2月(第一版)《中華百科要覽》第907頁“194 陸家羲”詞條(吳宏章撰),石泉長總主編,中國數學篇主編郭大文,北京：中國廣播電視出版社出版。

(6) 1994年4月(第一版)《世界數學家思想方法》第1978-1992頁《陸家羲》(康慶德)，解恩澤、徐本順主編，濟南：山東教育出版社出版。

（7)1995年12月(第一版)《中國現代數學家傳》第二卷第480-495頁《陸家羲》(劉子愈,系陸家羲妻子的姐夫),數學家程民德(1917.01.24—1998.11.26)主編,南京：江蘇教育出版社出版,五卷本。

(8) 1998年11月(第一版)《科學思想叢書：科學的蒙難》第86-97頁《中學教師陸家羲攻克世界數學難題的坎坷歷程》(辛哲、若水)，解恩澤主編，北京：科學出版社出版。

（9)2000年8月(第一版)《數學史辭典》第90頁“陸家羲”詞條,杜瑞芝主編,濟南：山東教育出版社出版。

（10)2002年8月(第一版)《數學辭海》第六卷第111頁“陸家羲”詞條,何思謙總編,胡作玄、梅榮照主編,山西教育出版社(太原)、中國科學技術出版社(北京)和東南大學出版社(南京)聯合出版,六卷本。

（11)2005年1月(第一版)《人類科學發現發明詞典》第89頁關于陸家羲所取得的成就描述,葛能全編著,天津：百花文藝出版社出版。

（12)2008年10月(第一版)《光耀中華—改革開放30年科技成就擷英》第29-34頁《不相交斯坦納三元系大集》(李劍撰文),北京：科學普及出版社出版。

以上事實是“陸家羲”詞條最終能登上2009年版《辭海》的前奏和基礎。多年的夙愿得以實現,這對筆者來說是一件喜不自禁的大好事。

2 組合數學簡介

組合數學(又稱組合學)是主要研究有限個事物在一定規則下的安排,諸如安排的存在性、計數、構造與最優性等的一門數學分科。組合數學是離散數學的重要組成部分,它與數論是姊妹學科。其起源可追溯到我國公元前河圖洛書中的九宮圖(又稱縱橫圖、幻方、魔方)。1666年德國數學家萊布尼茨(Gottfried Wilhelm von Leibniz,1646.07.01—1716.11.14)在《論組合術(Dissertatio de arte combinatoria)》一書中首先使用“組合”這一專用術語,自1963年美國數學家賴瑟(Herbert John Ryser,1923.07.28—1985.07.12)的專著《組合數學(Combinatorial Mathematics)》問世以后,組合數學才正式成為現代數學的一個分科。此前,組合分析(combinatorial analysis)、組合論(combinatorial theory)、組合學(combinatorics)和組合數學是通用等價的。組合分析(即經典組合學,主要包括計數理論、組合序理論和布局理論)、組合設計(主要包括正交拉丁方設計和區組設計)和圖論(如著名的七橋問題、四色問題和1960年由中國數學家管梅谷首先提出并研究的中國郵遞員問題等)是組合數學的三大分支,前兩者現常合稱為組合論［1］。

19世紀中葉,一些英國數學家開始了關于組合數學方面的早期研究,他們中主要有柯克曼(曾譯寇克滿、寇克曼、科克曼,Thomas Penyngton Kirkman,1806.03.31—1895.02.03)、伍爾豪斯(Wesley Stoker Barker Woolhouse,1809.05.06-1893.08.12)、西爾維斯特(James Joseph Sylvester,1814.09.03-1897.03.15)、凱萊(Arthur Cayley,1821.08.16-1895.01.26)、斯波蒂斯伍德(William Spottiswoode,1825.01.11-1883.06.27)和安斯蒂斯(Robert Richard Anstice,1813.04.09-1853.12.17)等人。他們之間相互交流,溝通切磋,論文主要發表在倫敦、愛丁堡和都柏林的幾種學術刊物上,形成了世界上最早的組合數學學派［2］。

1844年英國數學家伍爾豪斯首先提出B［v,3,1］的區組設計問題［6］,1847年柯克曼首先證明它存在的充要條件是當且僅當v≡1,3(mod 6),其中v≥3［7］,首開此項研究之先河。他們的工作當時并未引起人們的重視,直到1853年瑞士數學家斯坦納(Jakob Steiner,1796.03.18-1863.04.01)在研究四次曲線的二重切線問題時再次提出B［v,3,1］的存在性問題(斯坦納只證明了其必要條件,充分條件問題他并未解決)［8］,三元系的問題才引起學者們的注意,因當時信息閉塞,1859年德國數學家賴斯(Michel Reiss,1805.07.23-1869.01.27)又獨立地得到了與柯克曼一樣的結果［9］,證實了斯坦納的猜測。因斯坦納是近代綜合幾何學的開創者,當時名望較高,賴斯就陰差陽錯地將B［v,3,1］命名為“斯坦納三元系(記作STS(v))”,將B［v,k,1］命名為“斯坦納系”,B［v,3,λ］則被稱為三元系。每個STS(v)的區組數由v(v-1)/6個3-子集組成。斯坦納三元系是區組設計B［v,k,λ］中最小、最基本和最重要的研究對象。

20世紀80年代以前組合數學組合設計理論中兩大舉世聞名的成就(即區組設計領域兩明珠)是：①正交拉丁方的歐拉方陣猜想不成立：1779年瑞士數學家歐拉(Leonhard Euler,1707.04.05-1783.09.18)開始對36軍官問題進行研究,1782年他首先提出“不存在n=4t+2階正交拉丁方”的猜想。1958年美國數學家帕克(Ernest Tilden Parker,1926.07.26—1991.12.31)利用群論和有限幾何構造出21階歐拉方陣,受此啟發,1959年4月美國科羅拉多大學的印度裔幾何學家玻色(Raj Chandra Bose,1901.06.19—1987.10.31,亦是Ray-Chaudhuri的博士研究生導師)及其博士研究生史里克漢德(Sharadchandra Shankar Shrikhande,1917.10.19—)首先成功地構造出兩個22階歐拉方陣［10］(單個方陣是沒有意義的！),緊接著帕克利用電子計算機UNIVAC M-460構造出兩個10階歐拉方陣［11］,后兩個反例推翻了歐拉方陣猜想。很快玻色和史里克漢德就證明了除n=2,6,14,26以外,對于n≥3的任意n都存在兩個正交拉丁方,即歐拉方陣猜想是不成立的。稍后帕克又構造出14階和26階歐拉方陣,至此,歐拉方陣猜想只對n=2和n=6(即著名的36軍官問題)時成立,其余都是不成立的。1960年他們三人合作在《加拿大數學雜志》正式發表論文,給出了完備的結論［12］。他們的光輝事跡曾榮登1959年4月26日《紐約時報》頭版,此事轟動一時并成為科學史上的一段佳話。1977年中國數學家朱烈(1943年2月出生于蘇州)對參考文獻［12］的結論給出了一個最簡潔優美的證明［13］。2005年3月9日在第十四屆國際組合數學與應用年會上,蘇州大學數學科學學院朱烈教授被授予國際組合數學界的權威大獎——2004年度歐拉獎,他是首獲歐拉獎的華人科學家。②1961年以色列猶太數學家哈納尼(Haim Hanani,1912—1991)證明k=3和4時B［v,k,λ］區組設計存在的充要條件是以下的(2.1)式和(2.2)式成立［14］：

λ(v-1)≡0(mod k-1)(2.1)

λv(v-1)≡0(mod k(k-1))(2.2)

1972年哈納尼又證明k=5時除B［15,5,2］以外,上述兩式對于B［v,k,λ］存在的充要條件也是成立的［15］。當k≥6時,情況變得復雜起來,因滿足上述兩式的區組設計并不都存在。鑒此,1967年美國數學家霍爾(Marshall Hall，Jr.,1910.09.17—1990.07.04)在其專著《組合論》中退一步地首先提出了如下猜想［16］：對于給定的k,除去有限對(v,λ)以外,上述兩式是B［v,k,λ］存在的充要條件。1975年美國數學家威爾遜(Richard Michael Wilson)證明了這個猜想［17］,B［v,k,λ］的存在性問題至此塵埃落定。

一個B［v,k,λ］=(X,B)的區組集B若可分拆為若干個子族,使得每個子族B璱都構成集合X的一個分拆(即平行類),則稱其為可分解平衡不完全區組設計RBIBD(resolvable BIBD),記作RB［v,k,λ］。RB［v,k,λ］的一般概念是1942年由玻色首先提出的,他還證明了不等式：b≥v+r-1,當等號成立時,則稱其為仿射可分解平衡不完全區組設計,記作ARBIBD(affine RBIBD)［18］。因此類研究始于RB［15,3,1］,可分解的STS(v)就被稱為柯克曼三元系,即RB［v,3,1］,記作KTS(v),其平行類個數是r=λ(v-1)/(k-1)=(v-1)/2。每個KTS(v)的區組數由v(v-1)/6個3-子集組成。更為廣泛的RB［v,k,1］被稱為柯克曼系［19-20］,RB［v,3,λ］則被稱為可分解的三元系。

斯坦納系和柯克曼系的一個重要性質是其相交性,相交性的特例是其交集為零,即不相交(互斥)。用D(v)表示各大集兩兩不相交的STS(v)或KTS(v)的最大個數,滿足D(v)=v-2的v-2個STS(v)或KTS(v)分別稱為不相交斯坦納三元系大集LSTS(v)和不相交柯克曼三元系大集LKTS(v)。

為了避免一些平凡的情形,1961年哈納尼首先引入了t-設計(transversal design,又稱橫截設計)的概念［14,21］：v元集X上一些k-子集的子集族B使得X中的任一個t-子集都恰被包含在B的λ個區組中時,稱它為一個t-(v,k,λ)設計,記作Sλ(t,k,v),當λ=1時可省略λ不寫。Sλ(2,k,v)就是BIBD設計,S(2,3,v)被稱為v階斯坦納三元系STS(v),S(3,4,v)被稱為v階斯坦納四元系SQS(v),即B［v,4,1］。若STS(v)的區組集B可分拆為平行類(即區組集中恰構成基集X的分拆的一族區組)的并,則稱其為柯克曼三元系KTS(v),類似地可定義柯克曼四元系KQS(v),即RB［v,4,1］。

3 中國最偉大的業余數學家——陸家羲

陸家羲1935年6月10日出生于上海市一個貧苦市民家庭(父親：陸寶祥，母親：李月仙),1951年10月作為家中成年獨子的他只身離開上海,被招聘到沈陽進入東北電器工業管理局舉辦的短期統計訓練班學習,次年5月結業后被分配到哈爾濱電機廠生產科擔任統計工作。以充實提高自己的素質為目的,陸家羲毅然放棄當時已每月64元的高工資(比當時的大學畢業生還高,已屬當時的高薪族),于1957年8月在職考入吉林省長春市的東北師范大學(1946年3月創辦于本溪,1949年年初定址于長春,1946—1950年稱東北大學,1950年4月更名為東北師范大學,1958年10月又更名為吉林師范大學,并從教育部下放歸吉林省領導,1978年2月重新劃歸教育部領導,1980年8月起恢復東北師范大學校名)物理系［22］,當年夏天他偶然閱讀到數學家孫澤瀛(1911.09.28—1981.04.24)為中學生創作的課外普及讀物《數學方法趣引》,書中深入淺出地介紹了哥尼斯堡七橋問題(哥尼斯堡現為俄羅斯飛地─加里寧格勒)、哈密頓周游世界游戲問題、地圖著色問題(即四色問題)、十五棋子排列問題、魔方陣問題、歐拉三十六軍官問題、火柴游戲問題和寇克滿女生問題共八個世界著名數學難題［23］,他尤其被書中的“寇克滿女生問題”所深深吸引并因此而著迷,從此他走上了獨自在世界組合數學最前沿研究領域孤軍奮戰的艱難歷程,在沒有任何外部支持,長期不被理解,信息閉塞和冷嘲熱諷的困苦條件下,他以超人的智慧和頑強執著的拼搏精神攀登上了一座又一座世界組合數學研究的高峰。

1850年英格蘭一個教會的教區長和數學家柯克曼在《女士與先生之日記》雜志發表題為“疑問六”的文章,提出了這樣一個有趣的問題：15個女學生每天以三人一排共五排的隊形外出散步,現要求安排一周七天的隊形,使得任意兩個人恰有(即有且僅有)一天被安排在同一排。這就是后來廣為流傳的、經典的柯克曼15女生問題［24］,同年凱萊首先公布了這個問題的局部解［25］,次年柯克曼本人也給出了這個問題的另一個局部解［26］,1862年他還在繼續著這方面的研究［27］。柯克曼15女生問題實質上就是KTS(15)的存在性問題,它僅是可分解平衡不完全區組設計的一個特例。至于一般的RB［v,k,λ］設計的存在性問題則常被后人概稱為“柯克曼女生問題”。

1861年英國數學家西爾維斯特在柯克曼15女生問題的基礎上又進一步地提出：請給出一個13周的散步安排,使得每周的隊形方案都滿足柯克曼15女生問題中的條件,且任意三個女生在13周恰有一天被安排在同一排。這就是著名的西爾維斯特(女生)問題［28］,它是區組設計大集問題的起源。不難看出,該問題的要求就是將15元集上總計5×7×13個3-子集分拆為彼此沒有公共3-子集的13個KTS(15)。在組合設計的術語中,它被稱為15階不相交柯克曼三元系大集,記作LKTS(15),這是區組設計史上的第一個大集。該大集的第一個局部解直到1974年才由美國數學家丹尼斯頓(Ralph Hugh Francis Denniston)借助電子計算機找到［29］,由此可見此類大集問題的難度之大。同年丹尼斯頓還找到了一個3倍遞歸構造LKTS(3n),其中k≥1［30］。一般地,將西爾維斯特女生問題中的女生數15推廣到正整數v：若v元集X的所有3-子集(三元組)可分拆為v-2個族B璱,使得每個(X,B璱)都是一個KTS(v),則稱{(X,B璱):1

1850年凱萊證明了最多只有2個彼此不相交的STS(7),亦即不存在LSTS(7)［25］；同年柯克曼給出了LSTS(9)和LKTS(9)的構造［31-32］；1893年西爾維斯特給出了LSTS(3n)的3倍遞歸構造,這是遞歸構造法最早的文獻之一［33-34］。此后一直到20世紀70年代,LSTS(v)和LKTS(v)的存在性問題幾乎毫無進展。20世紀80年代以前,LSTS(v)的存在性結果依舊是零散的,1973年和1975年只分別得到兩個重要的遞歸結果：①若D(v)=v-2(v>2)則D(3v)=3v-2［35］；②若D(v)=v-2(v≥7)則D(2v+1)=2v-1［36］,仍缺乏全面解決方案。

1981年9月18日至1983年3月4日,美國《組合論雜志》編輯部陸續收到來自包九中物理教師陸家羲獨自完成的具有自主創新性的論文。1983年第1期3月號(前3篇)和1984年第3期9月號(后3篇)《組合論雜志(A輯)》以極為罕見的100個英文印刷頁的篇幅發表了名不見經傳的陸家羲以“論不相交斯坦納三元系大集”為總標題的6篇論文,他獨創性地引入5個輔助設計(AD、AD*、AD**、LD、LD*)和3個輔助設計大集(LDA1、LDA2、LDA3),巧妙地引進多種素數因子,精心地設計了一個又一個的遞歸構造,嫻熟地運用了有限域理論、代數數論、正交拉丁方和橫截設計(即t-設計)等工具和成果,前后推導出16個引理和29個定理,在前人的基礎上［35-37］鬼斧神工般創造性地給出了5個各具特色的遞歸構造,終于嚴謹地以簡潔優美而和諧的形式得到了不相交斯坦納三元系大集的存在性定理(現稱陸家羲定理)：若v≡1 or 3（mod 6),v>7,且v鼂141,283,501,789,1501,2365},則存在LSTS(v),且D(v)=v-2［38-39］。這個重大突破是具有世界一流水平的原創性成果,它解決了120多年以來(區組設計大集問題始于1861年)的世界性組合數學難題,被譽為20世紀組合數學領域最重大的成就之一,是區組設計領域當之無愧的第三顆明珠,它將被永遠載入世界數學史冊。順便指出,在這6個遺留下來的可能例外值中,因283=141×2+1,1501=501×3-2,2365=789×3-2,故實質上的可能例外值只有3個(141、501和789)。1983年7月30日在大連首屆全國組合數學學術會議全體會上,陸家羲宣布已明珠在握,他對于這6個例外階數的大集構造方法已構思成功,即將以第7篇論文的方式正式發表。可惜他動筆不久就猝然離世,在其遺稿中只找到24頁提綱和部分結果。1991年美國奧本大學的比利時裔數學家特爾林克(Luc Teirlinck,1952.05.02—)利用陸家羲首創的LD輔助設計工具并證明其具有成對平衡設計PBD(pairwise block design)閉集的性質,從而最終完成了這6個例外階數大集存在性問題的證明［40］,使陸家羲大集定理臻于完備。這項工作開創了組合設計全面整體解決第一個大集系列的先河,具有里程碑式的重要歷史意義。

此外,由于不相交柯克曼三元系大集LKTS(v)的存在性問題是高難度的,世界各國數學家經多方努力迄今也只取得一些零散的結果,距離完全解決仍相去甚遠。

正如1905年被稱為愛因斯坦奇跡年一樣,1983年是名副其實的陸家羲悲喜交加年［41］(實際上只有10個月)：3月其前3篇論文順利在國際組合數學界權威刊物《組合論雜志(A輯)》上發表(5月他收到樣刊50本),這是他生前唯一一次正式公開發表學術論文,陸家羲終于得到了國內外專家和學者的高度認可和贊賞!此時他內心的喜悅和激動之情是不言而喻的；商調到大學(當時他已心儀廣州的華南師范大學)的多年夙愿正在落實并在國際友人的推動下取得新進展；美國《數學評論(Mathematical Reviews)》(1940年創刊,美國數學會編輯出版)主管編輯阿門達立斯來函邀請他擔任該刊評論員；忽然間他變得忙碌起來了,7～10月間因頻繁參加國內的學術活動,其足跡已踏遍大連、合肥、上海、武漢和北京等地。只可惜,幸福對他來說是太短暫了,由于長期的超負荷運轉和壓抑太久,他生命的琴弦在10月底戛然崩斷了。在這里要特別提及發現并賞識陸家羲的兩位中外伯樂：中國的伯樂是第一個承認陸家羲論文的科學價值(慧眼識珠!)并建議他將論文投稿于《組合論雜志》的蘇州大學組合數學家朱烈教授；外國的伯樂是陸家羲論文的審稿人、加拿大多倫多大學國際組合數學權威埃里克?門德爾遜(Eric Mendelsohn)教授。埃里克?門德爾遜是組合數學大師內森?索爾?門德爾遜(Nathan Saul Mendelsohn，1917.04.14—2006.07.04)的長子,他子承父業,父子均供職于多倫多大學。Mendelsohn三元系大集LMTS(v)就是以內森?索爾?門德爾遜的名字命名的。

正如某些組合數學專家所評論的那樣：陸家羲與陳景潤(1933.05.22—1996.03.19)主攻的都是世界著名的數學難題,顯示了中華民族的數學智慧。陳景潤在前人確定了主攻方向,頑強攀登,終于世界領先而逼近巔峰。而陸家羲則不然,他是100多年來別人在摸索前進、路徑尚未選好的情況下,獨辟蹊徑并獨占鰲頭的。從純粹的數學觀點來看,陸家羲所取得的數學成就是超越陳景潤的［42］。其主要論據有二：①陸家羲關于不相交Steiner三元系大集的研究幾乎是全面整體解決方案,何況他對柯克曼三元系、柯克曼四元系和RBIBD存在性理論的研究亦作出過重大貢獻,他所獨創的研究方法對其后續研究者產生了積極的影響［43-45］,陸家羲的突破研究掀起了世界組合數學界對組合設計大集問題的研究高潮并取得一系列的新進展［46-50］。陳景潤對哥德巴赫(Christian Goldbach,1690.03.18-1764.11.20)猜想的研究只是漸近式解決方案,他所取得的(1+2)的成果離數論皇冠上的明珠(1+1)還有一步之遙；②2006年9月美籍華裔數學大師丘成桐(1949.04.04—)在一次接受《南方人物周刊》專訪時認為陳景潤主要是基于當時的歷史條件和大環境被媒體捧紅的,在數學史上他還算不上是一位偉大的數學家［51］。即使是各自的逸事,說句輕松俏皮的話：陸老師沉思問題時騎著自行車在包九中校園內直杵杵地撞向聯合器械的鑄鐵架與“陳景潤撞樹”的佳話也可相提媲美,并不“遜色”［52-53］。

1971年由美國俄亥俄州立大學的印度裔數學家雷-喬得赫里(Dwijendra Kumar Ray-Chaudhuri,1933.11.01—)及其博士研究生威爾遜(美國人)首先證明柯克曼三元系KTS(v)存在的充要條件是當且僅當v≡3(mod 6),其中v≥3［54］,找到了其完整解。1972年哈納尼與他們合作證得柯克曼四元系RB［v,4,1］存在的充要條件是當且僅當v≡0(mod 4)和v≡1(mod 3),其中v≥3［55］。1974年哈納尼又獨立證得RB［v,3,2］除v=6以外,它存在的充要條件是以下的(3.1)式和(3.2)式［56］：

v≡0(mod k)(3.1)

λ(v-1)≡0(mod k-1)(3.2)

與研究B［v,k,λ］時相似,當k≥5時,即使限定λ=1,也有雖滿足上述兩式但相應的RB［v,k,λ］卻不存在的例子。為此人們提出了與B［v,k,λ］類似的退一步的猜想：對于給定的k,除去有限個v以外,上述兩式是RB［v,k,1］存在的充要條件。1973年雷-喬得赫里和威爾遜證明了這個猜想［57］,RB［v,k,1］的存在性問題至此得以完全解決。

關于雷-喬得赫里和威爾遜何時完成柯克曼三元系KTS(v)存在性問題的完整解有必要在此做出澄清：1968年3月21～22日由美國數學會組織在加利福尼亞大學洛杉磯分校召開的《純粹數學》討論會會議錄報道了此問題的解決,但正式論文則是1971年發表于《組合學(Combinatorics)》雜志［54］,從而形成1968年說［58-60］和1971年說［61］兩種觀點,顯然后者更為科學。此澄清可消除內蒙古師范大學數學史專家羅見今(1942年1月出生于重慶)教授在其專著《科克曼女生問題》［2］第106頁中留下的疑惑。

實際上,早在1961年(12月30日將《寇克滿系列和斯坦納系列的制作方法》寄往中國科學院數學研究所請求予以審核,1963年2月21日他收到復信,未提出實質性意見,建議讓他自己去核實論文的結論并可向專業數學刊物投稿),最遲在1965年(3月14日將《平衡不完全區組與可分解平衡不完全區組的構造方法》投稿于《數學學報》,該篇論文新增了有關柯克曼四元系的內容,次年2月7日他收到評論為“沒有價值”的退稿信)陸家羲就取得了柯克曼三元系RB［v,3,1］和柯克曼四元系RB［v,4,1］的優先發現權［2,62-64］,但遺憾的是未能正式發表。最難能可貴的是他并未因此停下腳步來埋怨命運多舛和社會的不公,而是重新揚起理想的風帆,繼續追尋著更高層次的數學之美,向著更多更高的組合數學高峰連續發起沖擊。中國數學界的權威刊物《數學學報》于1984年7月第4期發表了陸家羲的一篇遺作《可分解平衡不完全區組設計的存在性理論》(編輯部1979年8月14日收到第一稿,1983年9月21日收到最后修改稿,這是陸家羲在國內唯一一次正式公開發表的學術論文),他得到如下結論：對于給定的的k和λ,除去有限個v以外,RB［v,k,λ］存在的充要條件是(3.1)式和(3.2)式成立［65］。陸家羲的這一研究成果在國內外組合數學界再次獲得高度評價(其價值不亞于陸家羲大集定理),認為這一結果是整個區組設計理論中帶有基礎性的一個重要成果,在國際上亦處于領先地位,其重要性和歷史意義非同凡響。

關于RB［v,k,λ］的存在性問題,至此人們自然要猜測,是否存在一個與B［v,k,λ］類似的更強的結論,那就是：對于給定的k,除去有限對(v,λ)以外,(3.1)式和(3.2)式是RB［v,k,λ］存在的充要條件。迄今這一猜想仍未得到證實,陸家羲的結論依然是RBIBD存在性理論中最好和最齊整的結果［66］。

1983年10月,陸家羲作為唯一被破例特邀的中學教師代表參加了在武漢舉行的中國數學會第四次全國代表大會,數學家吳文俊(與世界“雜交水稻之父”袁隆平(1930.09.01—)一起榮獲2000年首屆國家最高科學技術獎)接替華羅庚出任中國數學會第四屆理事長,大會充分肯定了陸家羲所取得的突出成就,表彰了他矢志圖強、勇攀科學高峰的奮斗精神。會后他匆忙間于10月30日下午6時許回到包頭醫學院(其夫人張淑琴是該院副教授)職工家屬區的家中,但他因長期在極其艱苦的條件下單槍匹馬地在組合設計領域頑強拼搏,終于積勞成疾,因突發心肌梗死于次日凌晨1時許溘然長逝于包頭市的家中［67-68］。死神比桂冠更快地悄然降臨于他,中斷了學者們對他更高的期望,痛哉!惜哉!!

1984年9月11日至15日,內蒙古自治區科委和包頭市科委委托內蒙古自治區數學會邀請國內組合數學專家和教授,在呼和浩特市召開了“陸家羲學術工作評審會議”,大會專家充分肯定了其論文的學術意義和歷史價值。同年10月31日,在陸家羲逝世一周年之際,內蒙古自治區黨委和人民政府在包頭市青山區第一工人文化宮會堂召開了“向優秀知識分子陸家羲同志學習表彰大會”,追授他為中學“特級教師”并頒發5000元特別獎金給其家屬［69］(此前他逝世后不久包頭市委和市政府已頒發2000元特別科學獎金給其家屬)。1985年12月26日,內蒙古自治區首屆科技進步獎頒獎大會在呼和浩特市舉行,陸家羲和內蒙古大學的世界“試管山羊(羔羊)之父”旭日干(蒙古族,又名滿倉,1940.08.24-,1995年當選為中國工程院院士,現任中國工程院副院長)分享全區僅有的兩個科技進步獎特等獎。包頭市第九中學陸家羲以“關于不相交Steiner三元系大集的研究”獲得1987年第三屆國家自然科學獎一等獎的殊榮［70］。1988年8月,根據國內外學者的倡議,在安徽黃山市屯溪區召開了以紀念陸家羲先生為主旨的“區組設計國際會議”,中國數學會委托內蒙古數學會組織有關專家編輯出版《陸家羲遺文集》(1990年英文版,內蒙古人民出版社)［62］,以志永久紀念。

4 對2009年版《辭海》“陸家羲”詞條的訂正及說明

2009年版《辭海》“陸家羲”詞條的原文(詳見彩圖本第1452頁)是：

陸家羲(1935—1983)，中國數學家。上海市人。東北師范大學畢業。曾在內蒙古自治區的一些學校任教,后任包頭第九中學物理教師。1965年給出“柯克曼15女生問題”的證明,但未能發表。1979年基本上完成了“斯坦納三元系”的研究。1983年在國際性的《組合論雜志》上陸續發表“論不相交斯坦納三元系大集”等3篇論文,解決了世界性難題。1987年獲國家自然科學一等獎。

筆者十分遺憾地發現,上述“陸家羲”詞條的撰寫很不理想,它既不專業也不嚴謹,漏洞不少,缺乏權威性和嚴肅性,甚至有誤導讀者之嫌。在詞條內容稍做擴充的情況下,筆者訂正后的結果是：

陸家羲(1935—1983)，中國數學家。上海市人。1961年畢業于吉林師范大學(今東北師范大學)物理系,曾在內蒙古自治區包頭市的一些學校任教,后任包頭市第九中學物理教師。1965年首先給出“柯克曼(Kirkman)三元系和四元系存在性問題”的證明,但未能正式發表。1979年基本上完成了“不相交斯坦納(Steiner)三元系大集”的研究。1983—1984年在國際性的《組合論雜志(A輯)》上陸續發表以“論不相交斯坦納三元系大集”為總標題的6篇論文,解決了世界性組合數學難題,首開整體解決大集存在性問題之先河。1984年在中國《數學學報》第4期發表遺作《可分解平衡不完全區組設計的存在性理論》,取得迄今仍是可分解平衡不完全區組設計(RBIBD)存在性理論中最好和最齊整的結果。其研究成果“關于不相交Steiner三元系大集的研究”1987年獲國家自然科學獎一等獎。

筆者現對上述訂正部分依次闡明理由如下：

（1)今東北師范大學在1958年10月至1980年8月期間的正式名稱是吉林師范大學,標明“物理系”則便于與陸家羲后來的中學物理教師身份相呼應。2006年東北師范大學在60周年校慶時將陸家羲列為其知名校友,并在校史陳列館專門長期增設陸家羲展室。

（2)1961年9月陸家羲大學畢業后被分配到包頭鋼鐵學院(2003年起已更名為內蒙古科技大學)工作,1962年初夏包頭鋼院在高校調整時下馬后,他調到包頭市教育局教研室任職,其后他先后在包八中、包五中、包二十四中(1965—1973)和包九中(1973—1983)任物理課教師,直至逝世陸老師的工作單位從未離開過包頭市。包頭市第九中學(簡稱包九中)是其正式名稱,它創建于1957年,1959年被內蒙古自治區教育廳命名為自治區重點中學,其知名校友有顧秉林(中國科學院院士、第三世界科學院院士和瑞典皇家工程科學院外籍院士,原清華大學校長)、李全生(原天津大學黨委副書記和天津工業大學黨委書記)、趙文源(湖北省人大常委會副主任)和邢鋒(深圳大學副校長)等。1979—1981年筆者在包九中念高中,陸家羲當時就是我們高二、(2)班的物理課教師。包九中校園內圖書教學樓前現已矗立著一尊陸家羲老師的雕像。

（3)柯克曼15女生問題(1850年)在其提出后不久就分別由凱萊(1850年)和柯克曼本人(1851年)予以解決(找到其局部解),它僅是將陸家羲引入組合設計研究前沿的一個向導。抽象擴展后的柯克曼女生問題實質上就是RB［v,k,λ］區組設計的存在性問題,陸家羲取得了其最好研究結果,但其完全解迄今仍未解決。柯克曼三元系和柯克曼四元系的存在性問題是陸家羲最遲于1965年完全解決的,但未能正式發表。外國人名以標注出英文或原文較好,因中文翻譯可能有多種版本,易于混淆。

（4)斯坦納三元系STS(v)的存在性問題早就由柯克曼(1847年)和賴斯(1859年)分別獨立解決,1979年10月陸家羲基本上完成了“不相交斯坦納三元系大集”(即LSTS(V))存在性問題的研究。

（5)《組合論雜志(Journal of Combinatorial Theory)》創刊于1966年,編輯部現設在美國加利福尼亞州的圣迭戈市(編輯部曾設在加利福尼亞大學洛杉磯分校數學系),原由美國學術出版公司(Academic Press，Inc.,該公司已于2001年被荷蘭Reed Elsevier出版集團所收購)出版,世界組合數學界的權威刊物,稿件面向世界各地,原每年出版8期,自1971年(第10卷)起分為A、B兩輯,現均為雙月刊,A輯(Series A)主要刊載組合論的結構、設計和應用方面的研究論文,B輯(Series B)主要刊載有關圖論和擬陣論方面的研究論文。以《組合論雜志》創刊為標志,在國際上掀起了組合數學研究的新高潮。《辭海》“陸家羲”詞條原文在對陸家羲發表論文方面的描述存在很嚴重的錯漏,甚至很容易誤導讀者,很有必要在再版時加以糾正。

（6)中國國家科技獎現包括五大類：國家最高科學技術獎(始評于2000年)、國家自然科學獎(始評于1956年,第一屆稱中國科學院科學獎,1982年第二屆時更為現名)、國家技術發明獎(始評于2000年)、國家科學技術進步獎和國際科技合作獎(始評于1995年),五項大獎現每年頒發一次,其中中間三項是以項目名義申報的,其余兩項則是以個人名義申報的。國家自然科學獎一等獎主要用于獎勵國際認可的重大原創性成果,其含金量很高,迄今共頒發21屆,只授予一等獎32項(其中2項未公開,30項中數學就獨占6項,份額很重),其中有11屆的一等獎空缺,由此可見一等獎的評選標準是相當嚴格的,其評選態度是很慎重的,寧缺毋濫。獨自獲得國家自然科學獎一等獎者共8人,他們依次是：數學家華羅庚(1910.11.12—1985.06.12)、數學家吳文俊(1919.05.12—)、空氣動力學家錢學森(1911.12.11—2009.10.31)、數學家廖山濤(1920.01.04—1997.06.06)、數學家陸家羲、計算機科學家與軟件工程專家唐稚松(1925.09.24—2008.07.21)、植物學家秦仁昌(1898.02.15—1986.07.22)和香港大學化學家支志明(1957.09.07—),另有生物化學家與科學技術史專家李約瑟等(英國劍橋大學李約瑟研究所)以及數學家馮康等(中國科學院計算數學與科學工程計算研究所)。獲得國家自然科學獎一等獎時已故的第一完成人共6位,他們依次是：地質學家李四光(原名李仲揆,字仲拱,1889.10.26—1971.04.29)、建筑學家梁思成(1901.04.20—1972.01.09)、陸家羲、秦仁昌、馮康(1920.09.09—1993.08.17)和植物學家錢崇澍(字雨農,1883.11.11—1965.12.28)。陸家羲以“關于不相交Steiner三元系大集的研究”獨自榮獲1987年第三屆國家自然科學獎一等獎,《辭海》中的“陸家羲”詞條理應列明其獲獎項目全稱,以示其權威性和嚴肅性。

（7)陸家羲的一生是短暫而艱辛的,他熱切地追求真理,堅持不懈地常年遨游于數學王國,在組合數學區組設計方面作出了四大歷史性貢獻：首先完成柯克曼三元系RB［v,3,1］存在性問題的證明、首先完成柯克曼四元系RB［v,4,1］存在性問題的證明、首先完成不相交斯坦納三元系大集存在性問題的證明、取得RBIBD存在性理論中迄今最好和最齊整的結果,尤其是他的第四項研究成果亦具有世界先進水平,且隨著時間的推移正日益凸顯出其歷史價值和地位,在2019年《辭海》再版時很有必要提及一下他的這項杰出成就。

5 結束語

限于篇幅和筆者的專業理解能力,本文對組合設計的評述基本上不涉及后陸家羲時代的研究和新進展。陸家羲老師畢生辛勤耕耘,長期受到不公正對待,生前默默無聞、地位卑微,他僅以中學物理教師且沒有任何職稱和頭銜的身份就獨自獲得當時我國自然科學界的最高榮譽——國家自然科學獎一等獎,他創造的這一奇跡是對“前無古人,后無來者”的最好詮釋。陸家羲老師踏實的工作作風和現實社會的浮躁情緒形成了鮮明的對照。他若不是英年早逝,20世紀90年代以前就當選為中國科學院院士應該是順理成章、實至名歸的事,因為迄今為止國家自然科學獎已公開的29項一等獎獲得者(除陸家羲以外)中,無一例外地都是由中國科學院院士(含外籍院士)領銜或組織參與。

筆者撰寫此文的主要目的是希望此事能引起《辭海》數學分科主編的關注,在2019年《辭海》再版時能予以訂正。謹以此文獻給為組合數學事業無私地奉獻終生的陸家羲老師,并以此文紀念我所尊敬的陸家羲老師逝世29周年。

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［作者簡介］ 朱安遠(1964—),男,湖南邵東人,工學學士,高級工程師,高級銷售經理,現任北京金自天正智能控制股份有限公司市場營銷部副部長兼華東區區域經理,研究方向：工業自動化(尤其是冶金自動化三電系統)領域的市場營銷和應用、低壓交直流變流器及其電流過載能力指標,業余愛好：數學。