挖掘基本圖形和結(jié)論，提高解題能力

胡愛(ài)萍

【摘要】 本文主要結(jié)合自己的日常教學(xué)對(duì)挖掘基本圖形和結(jié)論、提高解題能力進(jìn)行了闡述.

【關(guān)鍵詞】 圖形；結(jié)論；解題

到了初三，幾何型綜合性的題目也非常多，很多學(xué)生拿到綜合題都需要很長(zhǎng)的思考時(shí)間，甚至都無(wú)法下手. 上課老師評(píng)講后他也能聽(tīng)懂，但課后遇到類似的，還是不會(huì)做. 作為教師，我覺(jué)得怎么教是關(guān)鍵 . 我們?cè)趯?shí)踐中都會(huì)遇到一些重要圖形，我們暫且稱它們?yōu)榛緢D形，其中培養(yǎng)學(xué)生循基本圖形解決問(wèn)題的能力是怎么教的方法之一.

要提高學(xué)生的解決綜合題的能力，光靠模仿、聽(tīng)懂是不夠的，我覺(jué)得老師例題的解法、證法能讀懂聽(tīng)懂僅僅是停在最淺層次上，而最重要的是必須知道老師是怎樣想出那個(gè)解題方法的，為什么要那樣解題，那么怎樣提高學(xué)生的解題能力呢？

數(shù)學(xué)解題能力的高低歸根到底就是問(wèn)題轉(zhuǎn)化能力的高低，不管解決什么數(shù)學(xué)問(wèn)題，都是通過(guò)一步一步轉(zhuǎn)化，最后歸結(jié)為我們所熟悉的問(wèn)題中去處理. 可以說(shuō)每個(gè)復(fù)雜的圖形都是由這些基本圖形構(gòu)建而成的，而這些正是分析解決復(fù)雜圖形的突破口所在，在分析時(shí)才有可能把這些復(fù)雜圖形分解成若干個(gè)基本圖形，用基本圖形的基本結(jié)論幫助我們沖突難點(diǎn)進(jìn)而解決問(wèn)題. 如果對(duì)這些圖形和結(jié)論非常熟悉的話，就會(huì)很容易找到題目的突破口，解決問(wèn)題. 下面我舉幾個(gè)基本圖形的例子.

基本圖形1：如圖1，AD∥BC，∠BAD的平分線交BC于E，AB = BE（即等腰三角形）.

若題目中出現(xiàn)這三個(gè)條件中的兩個(gè)必能推得第三個(gè)結(jié)論，有了這個(gè)基本圖形，就可以將復(fù)雜綜合題稍加簡(jiǎn)化了.

如2010年瀘州的一道中考題：如圖2，在平行四邊形ABCD中，E為BC邊上一點(diǎn)，且AE與DE分別平分∠BAD和∠ADC.

（1）求證：AE⊥DE；

（2）設(shè)以AD為直徑的半圓交AB于F，連接DF交AE于G，已知CD = 5，AE = 8，求■的值.

分析 由于題中有角平分線和平行的條件，如果看到這個(gè)條件，那么第（2）問(wèn)就有等腰三角形，就很容易把AD邊求出來(lái)了（理由：由于AD∥BC，AE是角平分線，容易得∠BAE = ∠BEA，那么AB =BE = CD = 5，同理有CE = CD = 5，容易得出AD = BC = BE + CE = 10）. 再解決后面的問(wèn)題就順暢多了. 基本圖形2：如圖3，已知Rt△DAE與Rt△EBC，∠A = ∠B = 90°，DE⊥EC，則Rt△DAE與Rt△EBC必相似. 類推到△BAC與△CDE，如果∠A = ∠D = α，∠BCF = α，則△BAC與△CDE必相似，若有一組對(duì)應(yīng)邊相等，則△BAC與△CDE必全等.

如2009年山西省太原市的一道中考題：如圖5，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，BC = 4 AD = 4■，∠B = 45°.直角三角板含45°角的頂點(diǎn)E在邊BC上移動(dòng)，一直角邊始終經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，斜邊與CD交于點(diǎn)F.若△ABE為等腰三角形，則CF的長(zhǎng)等于 .

分析 由于題中有等腰梯形，且∠B = 45°，則∠C = 45°，又有∠AEF = 45°，則△BAE與△CEF相似，再由題中條件BC = 4AD = 4■，∠B = 45°，就可求出腰長(zhǎng)AB = 3，利用相似可將CF求出.

再如2008年海南省的一道中考題的第（1）問(wèn)：如圖6，P是邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD對(duì)角線AC上一動(dòng)點(diǎn)（P與A，C不重合），點(diǎn)E在射線BC上，且PE = PB.（1）求證：① PE = PD； ② PE⊥PD.

這道題第①問(wèn)證全等方法難度不大，用一次全等就可以解決，但是第 ② 問(wèn)的證法就多了，如證法一：

② （i）當(dāng)點(diǎn)E在線段BC上（E與B，C不重合）時(shí)，

∵ PB = PE，

∴ ∠PBE = ∠PEB，

∴ ∠PEB = ∠PDC，

∴ ∠PEB + ∠PEC = ∠PDC + ∠PEC = 180°，

∴ ∠DPE = 360° - （∠BCD + ∠PDC + ∠PEC） = 90°，

∴ PE⊥PD.

（ii） 當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)C重合時(shí)，點(diǎn)P恰好在AC中點(diǎn)處，此時(shí)，PE⊥PD.

（iii）當(dāng)點(diǎn)E在BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖7.

∵ ∠PEC = ∠PDC，∠1 = ∠2，

∴ ∠DPE = ∠DCE = 90°，

∴ PE⊥PD.

綜合（i）（ii）（iii），PE⊥PD.

由于點(diǎn)E在射線BC上，第②問(wèn)分類討論比較麻煩，若要證明PE⊥PD，如果我構(gòu)造如圖8的基本圖形，證明Rt△EFP ≌ Rt△PGD，那么第 ② 問(wèn)的證明就會(huì)簡(jiǎn)化.

（1）證法二：① 過(guò)點(diǎn)P作GF∥AB，分別交AD，BC于G，F(xiàn)，如圖8所示.

∵ 四邊形ABCD是正方形，

∴ 四邊形ABFG和四邊形GFCD都是矩形，

△AGP和△PFC都是等腰直角三角形.

∴ GD = FC = FP，GP = AG = BF，∠PGD = ∠PFE = 90°.

又∵ PB = PE，

∴ BF = FE，

∴ GP = FE，

∴ △EFP ≌ △PGD （SAS）.

∴ PE = PD.

② ∵ ∠1 = ∠2，

∴ ∠1 + ∠3 = ∠2 + ∠3 = 90°.

∴ ∠DPE = 90°.

∴ PE⊥PD.

當(dāng)然，提高解題能力不是一蹴而就的事，需要有意識(shí)地加以訓(xùn)練，平時(shí)注意對(duì)基本圖形的識(shí)記，并保持適度的訓(xùn)練，還要掌握方法，積累解題經(jīng)驗(yàn)，再加上鉆研精神及必勝的決心和毅力，就能夠提高對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題的認(rèn)識(shí)水平，大大地提升解題能力.