讓數學思想方法綻放異彩

王洪云

《數學課程標準》總體目標首先指出：通過義務教育階段的數學學習，學生能夠獲得適應未來社會生活和進一步發展所必需的重要數學知識以及基本的數學思想方法和必要的應用技能. 做任何事情都需要一定的方法，解決數學問題也不例外，解決任何一個問題都需要一定的方法，在初中階段，一些數學思想方法是學生必須掌握的.

一、數學思想方法的重要性

數學思想方法就好比我們做工的工具，在做工的時候，有了先進的工具，做工時就能省時省力，做出的產品質量又好. 例如魯班發明了鋸，使人們的工作效率提高了很多倍，現在又有了電鋸，工作效率又提高了很多倍. 一個小學生、一個中學生、一個大學生都能解的一道數學題目，現在讓他們同時來解，所用的時間卻大相徑庭，這就是因為他們所掌握的數學思想方法不同. 每種數學思想都有它特定的作用，筆者在多年的教學實踐中深深體會到，學生在數學學習過程中，必須重視數學思想方法的積累，老師在教學中必須重視數學思想方法的滲透和培養.

二、初中數學中有哪些常見的數學思想方法

在初中階段數學思想方法有很多，在這里僅舉幾例.

1. 轉化思想

轉化思想在初中數學中有著廣泛的應用，例如，把實際問題轉化成數學問題，把復雜問題轉化成簡單問題，把生疏問題轉化成熟悉問題等.

（1）把實際問題轉化成實際問題

某商場購進一批臺燈，如果每臺進價為50元，每臺按60元出售，每天可售出800臺，如果每臺提價1元出售，其銷售量就將減少20臺. 如果商場銷售這批臺燈一天要獲利12000元，那么這種臺燈售價應定為多少元？

本題中如果設每臺臺燈提價x元，那么商場平均每天將少售出20x臺，根據相等關系：售出的臺數 × 每臺的盈利 = 12000元，可以列出以下方程：

（10 + x）（800 - 20x） = 12000.

以上是學生會解的一元二次方程，解出方程，得出提價，然后再求出臺燈的售價.

（2）轉化思想在解方程中的體現

一元二次方程轉化成一元一次方程，例如解方程x（x + 4） = -3（x + 4）.

本題通過移項，得x（x + 4） + 3（x + 4） = 0，因式分解，得（x + 4）（x + 3） = 0，所以x + 4 = 0或x + 3 = 0.

以上是把一元二次方程轉化成了一元一次方程，體現了降次的目的，解出兩個一元一次方程即可得到一元二次方程的兩個根.

解分式方程時，先通過去分母把分式方程化成整式方程，這也是轉化思想的重要體現.

（3）建模思想

這也是轉化思想的一種體現，例如利用二次函數的有關知識來解決實際問題：

商場購進一批臺燈，每臺進價為50元，如果每臺按60元出售，每天可售出800臺，如果每臺提價1元出售，其銷售量就將減少20臺. 如果商場每天要想獲得最大利潤，那么這種臺燈售價應定為多少元？

本題中如果設每臺臺燈提價x元后，總利潤為y元，那么商場平均每天將少售出20x臺，根據相等關系：總利潤 = 售出的臺數 × 每臺的盈利，可以列出以下函數關系式：

y = （10 + x）（800 - 20x） = -20x2 + 600x + 8000.

然后根據二次函數的知識求出x為何值時y有最大值，再求這種臺燈售價應定為多少元.

2. 整體思想

在求代數式的值時經常會用到整體代入的方法，例如解方程（x - 1）2 - 5（x - 1） + 6 = 0.分析：此方程形式較復雜，可通過換元化為簡單方程. 令x - 1 = y，則y2 - 5y + 6 = 0，通過換元轉化為會解的一元二次方程可進一步求解.

此例體現了整體思想，有些問題利用整體思想解決起來比較容易，如果不用整體思想就可能比較麻煩，甚至不能解決.

3. 數形結合思想

有些題目不用數形結合思想來解決，解起來很麻煩，甚至很難，用數形結合思想來解決就很容易. 做題時要根據題目特點運用已有的知識巧妙運用“數形結合”的思想方法.

例如：已知點A（-2，y1），B（1，y2）和C（2，y3）都在反比例函數y = ■（k < 0）的圖像上，那y1，y2，y3的大小如何？

學生初學時易誤解成x1 = -2，x2 = 1，x3 = 2，x1 < x2 < x3，∵ y = ■（k < 0），y隨x增大而增大，∴ y1 < y2 < y3. （忽略性質前提在每一象限內）

正確解法：結合圖形，問題就比較好解決（①分清象限；②運用性質；③與0比較），一目了然. 點A在第二象限，它的y值大于第四象限內任一點的y值. B，C都在第四象限，y隨x增大而增大. 因此，y2 < y3 < y1.

初中階段的數學思想方法很多，以上只是幾例. 數學思想方法是中學數學教育中最活躍、最實用的. 我們在教學中還應合理組織教學活動，加強新舊知識的聯系，不能讓學生死記硬背，要通過典型的例題讓學生去體會，摒棄“題海戰”的教學模式，倡導啟發式教學，重視解題思路的總結. 這對學生各種思維能力的提高也同樣是有益的. 其實許多數學問題的解決都要運用一定的思想方法，教師在平時的教學中要善于引導和鼓勵學生經常運用和總結數學思想方法，這樣將能解決更多的數學問題，將有更濃厚的學習興趣. 生活中，善于運用數學思想方法的同學，將變得越來越聰明，越來越有創造性，這正是我們每位教育工作者所期待的東西，正是教育的歸宿，教育的目的.