四色猜想的證明

呂振柱

【摘要】 四色猜想的證明已經(jīng)歷經(jīng)了一百多年，這個(gè)看似簡(jiǎn)單的問(wèn)題，卻難倒過(guò)大量的數(shù)學(xué)愛(ài)好者. 人們通過(guò)不斷努力，最終于1976年6月，由哈肯與阿佩爾合作編制一個(gè)很好的程序，在美國(guó)伊利諾斯大學(xué)的兩臺(tái)不同的電子計(jì)算機(jī)上，用了1200個(gè)小時(shí)，作了100億判斷，終于完成了四色定理的證明. 但人們不滿(mǎn)足于計(jì)算機(jī)取得的成就，仍在尋找更簡(jiǎn)單的證明方法. 我在證明四色猜想時(shí)，主要采用了轉(zhuǎn)化思想，把四色猜想的證明轉(zhuǎn)化成在平面內(nèi)是否存在五個(gè)圖形兩兩之間存在公共邊的證明，再轉(zhuǎn)化成在平面內(nèi)是否存在五個(gè)點(diǎn)兩兩相連，連線(xiàn)除了頂點(diǎn)之外沒(méi)有其他交點(diǎn)的證明. 這樣就大大簡(jiǎn)化了四色猜想的證明，把復(fù)雜的圖論問(wèn)題轉(zhuǎn)化成了簡(jiǎn)單的連線(xiàn)問(wèn)題，使人很容易理解、接受.

【關(guān)鍵詞】 四色猜想；兩兩相連；公共邊

地圖四色定理（Four color theorem）最先是由一位叫古德里（Francis Guthrie）的英國(guó)大學(xué)生提出來(lái)的. 四色問(wèn)題的內(nèi)容是：“任何一張地圖只用四種顏色就能使具有共同邊界的國(guó)家著上不同的顏色. ”用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表示，即“將平面任意地細(xì)分為不相重疊的區(qū)域，每一個(gè)區(qū)域總可以用1，2，3，4這四個(gè)數(shù)字之一來(lái)標(biāo)記，而不會(huì)使相鄰的兩個(gè)區(qū)域得到相同的數(shù)字. ”這里所指的相鄰區(qū)域，是指有一整段邊界是公共的. 如果兩個(gè)區(qū)域只相遇于一點(diǎn)或有限多點(diǎn)，就不叫相鄰的. 因?yàn)橛孟嗤念伾o它們著色不會(huì)引起混淆.

證明之前我們先看一下這個(gè)結(jié)論，“將平面任意地細(xì)分為不相重疊的區(qū)域，每一個(gè)區(qū)域總可以用1，2，3，4這四個(gè)數(shù)字之一來(lái)標(biāo)記，而不會(huì)使相鄰的兩個(gè)區(qū)域得到相同的數(shù)字”. 這個(gè)結(jié)論也就是說(shuō)，在平面中存在四個(gè)或四個(gè)以下圖形兩兩之間有公共邊，而不存在四個(gè)以上的圖形兩兩之間存在公共邊，我們只需要證明平面內(nèi)不存在五個(gè)圖形兩兩之間有公共邊就可以了.

我們假設(shè)在平面內(nèi)存在五個(gè)圖形兩兩之間有公共邊，分別在這五個(gè)圖形內(nèi)各取一點(diǎn)，我們可以把這五個(gè)點(diǎn)命名為A，B，C，D，E，兩兩連接這五點(diǎn)，連線(xiàn)在被連接的兩個(gè)圖形內(nèi)，并且經(jīng)過(guò)它們的公共邊. 如果上述假設(shè)成立，我們必能作出這樣的十條線(xiàn)（AB，AC，AD，AE，BC，BD，BE，CD，CE，DE），并且這十條線(xiàn)除了頂點(diǎn)之外不會(huì)有其他的交點(diǎn).

我們通過(guò)作圖方法來(lái)證明上述結(jié)論，證明過(guò)程：

我們先任選兩點(diǎn)A，B，連接這兩點(diǎn)得到AB（AB可以是任意曲線(xiàn)，為了簡(jiǎn)便，我們把它做成直線(xiàn)）.

再任取一點(diǎn)C，從C點(diǎn)向A，B做連線(xiàn)，得到AB，AC，BC這三條線(xiàn)，這三條線(xiàn)連接成了一個(gè)閉合的圖形（圖1），并把平面分成了兩部分.

然后我們?cè)偃∫稽c(diǎn)D和A，B，C相連，D點(diǎn)可以在AB，AC，BC這三條線(xiàn)分割平面得到的兩部分中的任一部分（圖2，圖3），這樣的六條線(xiàn)AB，AC，AD，BC，BD，CD就把平面分割成了四部分，每部分都是由三個(gè)頂點(diǎn)、三條線(xiàn)分割開(kāi)的.

我們?cè)偃〉谖妩c(diǎn)E，點(diǎn)E可以在由線(xiàn)AB，AC，AD，BC，BD，CD把平面分割成的四部分中的任何一部分內(nèi)，如果E點(diǎn)在線(xiàn)BC，CD，BD所分割的平面內(nèi)（圖4），那么點(diǎn)E只能和點(diǎn)B，C，D相連，如果要連接點(diǎn)A，必經(jīng)過(guò)BC，CD，BD這三條線(xiàn)中的一條，所以點(diǎn)E在這一部分不能和點(diǎn)A相連，以同樣的原理也可以推出當(dāng)點(diǎn)E在另外三部分的時(shí)候，只能和分割這一部分的三個(gè)點(diǎn)相連，不可以與第四個(gè)點(diǎn)相連. 因此我們可以得到，在平面內(nèi)，不存在這樣的五個(gè)點(diǎn)，兩兩相連后，連線(xiàn)除了頂點(diǎn)之外不相交.

從上面的這四個(gè)步驟中，我們一步一步推出了結(jié)論：在平面內(nèi)，不存在這樣的五個(gè)點(diǎn)，兩兩相連后，連線(xiàn)除了頂點(diǎn)之外不相交. 同時(shí)我們也就得到了在平面內(nèi)不存在五個(gè)圖形兩兩之間有公共邊，四色猜想也就得到了證明.