淺談統計學中的平均思想及其應用

【摘要】統計學中，描述統計、推斷統計、實驗設計都蘊含了不同程度的平均思想。在平均、變異、估計、相關、擬合、檢驗幾種基本的統計思想中，平均思想是一種抽象掉差異性或偶然性，以反映現象的規律性或必然性的思維方式，它體現在統計原理的諸多內容之中。本文通過對統計學及統計思想的闡述，引出了平均思想的基本內容及應用，同時，就實踐中平均思想計算時要注意的幾點問題做了分析，以期起到拋磚引玉的作用。

【關鍵詞】統計學平均思想應用

一、統計學的基本內容

統計學的基本內容由描述統計、推斷統計和實驗設計三部分構成。

（一）描述統計（descriptive statistics）

是對實驗或調查所獲得的數據加以整理（如制表、繪圖），并計算其各種代表量數（如集中量數、差異量數、相關量數等），其基本思想是平均。如在集中量數中將原始數據進行平均，在差異量數中將離均差進行平均，在相關量數中將積差進行平均等。通過描述統計的工作，我們可以把大量零散的、雜亂無章的資料加以簡化、概括，從而更加清晰明確地顯示出這些數據的分布特征。

（二）推斷統計（inferencial statistics）

又稱抽樣統計（sampling statistics），它是根據對部分個體進行觀測所得到的信息，通過概括性的分析、論證，在一定可靠程度上去推測相應的總體。換言之，就是根據已知的情況推測未知的情況。推斷統計主要用于兩個方面，一是從單一樣本得到的統計量去推斷較大總體的有關特征，我們稱之為統計估計或參數估計。二是比較多個樣本或總體的差別情況，評價一項實驗的結果，我們稱之為假設檢驗。

描述統計和推斷統計均是針對數據進行計算的分析方法，因此，只要有數字我們就可以進行計算和分析。然而，要使這些數據真實、可靠地反映客觀現實，首先要保證其本身的可靠性和有效性，因此僅靠分析方法是遠遠不夠的，還需要一種獲得準確數據的理論與方法，即實驗設計。

（三）實驗設計（experimental design）

是研究如何更加合理、有效地獲得觀測資料，怎樣更正確、更經濟、更有效地達到實驗目的，以揭示實驗中各種變量關系的實驗計劃。實驗設計的具體內容包括怎樣選擇被試，控制那些無關因素，提出什么樣的假設，觀察哪些實驗內容，如何安排實驗步驟，采取何種統計方法來處理和分析實驗結果等。實驗設計時，每一項調查、測量和實驗事先都必須進行合理的設計才能實施。有人曾說，假如給我三天的時間做研究，我會用兩天的時間進行設計，用一天的時間進行實施，可見實驗設計在整個統計學中的地位。

三者之間的關系：統計學的內容之間既互相區別，又互相聯系。從統計學發展的歷史來看，先有描述統計，后有推斷統計，再有實驗設計，因此描述統計為前驅，推斷統計為核心，實驗設計為后衍。但是從實驗研究進程來說，則應先進行實驗設計，再進行描述統計和推斷統計。

二、幾種基本的統計思想

統計要認識的對象是一個總體，按統計總體的定義，它必須是許多事物的集合。統計的總體思想使統計始終要站在研究對象的整體角度來看問題，形成了大量觀察方法和一系列認識規律。既然統計學是通用的數量認識模式，就需要我們對這些模式進行總結。這既是學科內的必需，也有利于弄清統計學與其他學科的區別。

統計思想包括平均思想、變異思想、估計思想、相關思想、擬合思想、檢驗思想。平均概念幾乎涉及所有統計學理論，是統計學的基本思想，算術平均數是簡明而重要的代表。均值思想告訴我們統計認識問題是從其發展的一般規律來看，側重點不在總規模或個體；所謂變異指的是個別對一般的偏離程度，個體變異在宏觀上看就是方差。可以說，算術平均數與方差這兩個概念分別起到“隱異顯同”和“知同察異”的作用。平均與變異都是對同類事物特征的抽象和宏觀度量；估計的本質是類比，把已知的事物特征推廣到更大的范圍，以樣本推測總體，是對同類事物的由此及彼式的認識方法；相關概念表現事物之間的關系，它的度量對象是“關系”，是多維現象，是前述統計思想的重要擴展；擬合是對不同類型事物之間關系之表象的抽象。擬合的成果是模型，反映一般趨勢，趨勢表達的是“事物和關系”的變化過程在數量上所體現的模式和基于此而預示的可能性；統計方法總是歸納性的，其結論永遠帶有一定的或然性，基于局部特征和規律所推廣出來的判斷不可能完全可信，檢驗過程是保證判斷可靠的邏輯要求。

三、平均思想的基本內容

統計學自十七世紀中葉產生至今三百年來，各種統計思想、統計方法日臻完善。但是，多種多樣的統計思想、統計方法的基本指導思想就是“平均”。平均思想是一種思維方式，即在認識客觀事物的過程中客觀全面地看問題，從控制偶然性或抽象掉差異性出發，通過綜合，平均，達到對現象的規律性或必然性的認識。平均概念幾乎涉及所有統計學理論，是統計學的基本思想，算術平均數是簡明而重要的代表。理解算術平均數的概念，可以簡單地從小學算術開始。對于小學生而言，老師的教育方法經常是：甲有3個蘋果，乙有5 個，一共有8個，如果均分，各得其4。這個貌似平均數計算過程的方法其實與平均數的觀念有著本質的區別。對于小學生，老師須使之知道“加法”、“和”、“除法”、“商”的抽象數學概念，是以實例說理論，使小學生注意到“2條魚”和“2天”之間的共同點。而在統計學中，算術平均數不能歸結為“和”與“商”之類的計算過程，而是要強調“平均”——“一般的代表值”的概念，進“數據集合的一個重要特征值”的觀念。

均值思想告訴我們統計認識問題是從其發展的一般規律來看，側重點不在總規模或個體。人們熟悉的價值規律是典型的均值思想。根據均值思想的認識規律，在計算各種均值時（個體表現與概率的乘積），概率就可以是計算概率，民意概率或者主觀概率。如人均GDP用的是計算概率，專家預測用的是民意概率，而一些社會問題的判斷就要用主觀概率。均值思想要求從總體上看問題，但要求觀察其一般發展趨勢，避免個別偶然現象的干擾。如許多評比時，將各評委的評分去掉一個或兩個最高分和最低分，使其能反映集中趨勢。均值思想產生了許多計算方法，如眾數、中位數、百分數、調和均數、幾何均數等。這幾種平均數是針對不同的信息處理而采取不同的方法計算的，其本質是一樣的。

四、平均思想的基本應用

平均思想是貫穿于統計學原理的一根主線;也是我們進行統計分析和研究一種常用的思維方式;特別是在管理類的其他專業知識中，也常常受到了這種思想的影響。下面就談談這種思想在有關知識中的一些應用，以起拋磚引玉的作用。

（一）在統計調查、統計分析方面的應用

1.抽樣推斷中的平均思想。抽樣推斷中的抽樣誤差的計算是建立在平均思想之上的。人們運用平均思想從所有可能樣本出發，把每個可能樣本的統計量與總體參數的離差加以平均，得到抽樣方差，進而解決了抽樣誤差的計算問題。其推斷過程中，也貫穿著平均思想，推斷的結果只能中一個平均可能值或區間。

2.比較同類現象在不同時間、空間上發展的一般水平的變化。此時，若使用總量指標進行分析，則會因其大小不同，而造成無法評價，而使用平均指標，則能方便地解決問題。例如:將歷年來各個城市職工平均每人每月全部收入與農民家庭平均每人純收入進行比較，就能很好地反映各個城市城鄉居民的收入不斷提高和生活逐步改善的情況，而用總收入來比較，則難以做到這一點。

3.評價事物時可借鑒。如:評價某學生考試成績的優異與否，就要以全體學生的平均成績為依據;對某單位的產品成本，勞動生產率的評價，也要以它們的平均水平為比較的基礎。

（二）平均思想在描述總體基本特征時的應用

眾所周知，統計作為認識現象的方法論，側重于從總體上看問題。在描述統計總體基本特征時經常使用的指標是總量指標、相對指標、平均指標和變異指標。在這些指標中，除了總量指標是采用綜合掉個體差異而反映總體總量外，其他三種指標更多地體現了抽象掉個體差異反映一般水平的平均思想。

（三）充分利用平均思想進行統計預測

利用歷史數據進行預測時，由于數據的波動，使我們不能很好地開展預測工作，因此，應利用平均思想來處理這些數據。例如: 平均法、移動平均法及指數平滑法等預測方法就是采取簡單平均加權平均的方法來進行預測的。它們均是將特性值在時點上的差異抽象化，以反映特性值在一定時期內的一般水平，從而能代表總體現象在一定時期內的發展狀況，也就是達到了預測的目的。

（四）平均思想在指數分析中的應用

我們知道，指數是一個動態概念，它反映事物不同時間上動態變化的程度。可見，指數（特別是總指數）從定義本身就采用了平均思想。在總指數的計算上普遍采用兩種形式即綜合指數和平均數指數。其中綜合指數是借助一個橋梁（同度量因素）使得多種不能直接相加的事物得以相加，把不同事物間的差異加以綜合，而后采用一定形式的對比，反映多種事物綜合變動的平均程度。指數的計算方法，無論其計算過程還是計算結果都體現了平均思想。

（五）體現全面質量控制

用數據說話是全面質量管理的一個基本觀點，但我們所收集的質量數據往往是雜亂無章的，也可能不準確。此時，就需要利用數理統計的手段來對這些數據進行整理、加工，之后，就可以發現產品質量的分布規律。在偶然性因素的影響下，產品質量的差異的分布規律呈正態分布;當有系統性因素影響時，就會改變正態分布的位置或形態，甚至不呈正態分布。而我們正是利用數據的平均數作為正態分布的中心位置，用數據的標準差確定其分散幅度和離散程度，這是平均思想的又一次充分運用。平均思想不僅在統計學中，而且在有關專業課中也得到了充分的體現和應用。

五、如何選擇平均數的計算方法

為了反映現象的一般水來，統計學中運用了各種平均數，包括算術平均數、調和平均數、幾何平均數、中位數和眾數等。下面就算術平均數與調和平均數的應用問題做一下討論。

（一）不能根據同一資料既計算算術平均數，又計算調和平均數

算術平均數和調和平均數各有自己特定的應用場合，不能根據同一資料既計算算術平均數，又計算調和平均數。下面通過幾個有聯系的實例加以說明。

例1.某種商品的價格，甲市場2元/kg，乙市場3元/kg，現從甲乙兩市場各購買1kg，求平均價格。此情況應用算術平均數? （2+3）/（1+1）=2.5（元/kg）。

例2.其他條件不變，若從甲市場購買2kg，從乙市場購買1kg，求平均價格。加權算術平均數=（2*2+1*3）/（2+1）=2.3（元/kg）。

例3.其他條件不變，若從甲乙兩市場各購買1元，求平均價格。簡單調和平均數=（1+1）/（1/2+1/3）=2.4（元/kg）。

例4.其他條件不變，若從甲市場購買2元，從乙市場購買3元，求平均價格。加權調和平均數=（2+3）/（2/2+3/3）=2.5（元/kg）。

通過以上四例可以看出，不管是簡單算術平均數還是加權算術平均數，簡單調和平均數還是加權調和平均數，都是在特定的條件或特定的資料下才能應用的。

（二）算術平均數和調和平均數是平均指標的兩種表現形式并非兩類獨立的平均數

算術平均數和調和平均數是平均指標的兩種表現形式，都是用來反映所研究現象某一數量標志在一定時空下的一般水平的綜合指標。縱觀兩類指標的計算公式，不管是簡單平均數還是加權平均數，之所以采用不同的計算公式，都是由于所掌握資料不同而產生的不同的計算方法。像前面所舉的四個例子，就是由于所掌握資料不同，而采用不同的計算公式

（三）算術平均數和調和平均數.的數值之間并無直接關系，也不存在誰大誰小的問題

既然算術平均數和調和平均數是平均指標的兩種表現形式，是由于我們所掌握的資料不同而采用的不同的計算方法，根據同一資料不能既計算算術平均數又計算調和平均數，那么，這兩種平均數之間就不存在數值大小上的直接聯系，也就不存在誰大誰小的問題。

六、結語

平均思想是一種思維方式，是在認識客觀事物的過程中客觀全面地看問題，從控制偶然性或抽象掉差異性出發，通過綜合、平均、達到對現象的規律性或必然性的認識。平均思想是貫穿于統計學原理中的一根主線：也是我們進行統計分析和研究一種常用的思維方式，在管理類的其他專業知識中，也常常受到了這種思想的影響。應該指出，我們提出平均思想是統計的基本思想，并不等于說平均思想是統計學的唯一思想。在當前我國統計工作中，認清統計的真諦、領會統計思想，對統計本身來講，有利于提高統計水平和統計工作者的整體素質。

參考文獻

[1]徐淑榮.談談以平均思想作為統計學原理教學的主線[J].統計教育：1997（01）.

[2]陳福貴.統計思想雛議[J]北京統計，2004，（05）.

[3]范文正.幾種基本統計思想的現實意義[J]統計與決策，2007（08）.

[4]邢莉.《九章算術》中的統計學思想探究[J].統計研究，2008（03）.

作者簡介：高素爭（1979-），女，天津市濱海新區人，供職于神華天津煤碼頭公司，主要從事生產統計工作研究。