利用若干容器演示統計學中若干規律及類比與歸納

沈兆益

摘要：在《統計學》教學中，有些需要掌握的經濟現象，具有相通的原理。而在教學過程中，這些知識點分布于不同章節，各章節側重于國民經濟統計不同方面的知識，未將其中原理相通的知識點串接起來。這些知識點本身存在一定抽象性，且應用于統計學的不同方面，對學生理解造成一定的困難。因此，在教學階段性復習中，教師可以特別開設一節課，將這些知識的原理與聯系通過形象的演示展現出來并進行歸納，這有助于學生理解相關規律，更好地鞏固相關知識，并提高學生類比、歸納的能力。

關鍵詞：統計學；規律；能力

在我國職業學校財經專業課程設置中，都開設有“國民統計”或“統計學概論”這一要求較高，較難學習的課程。如在“國民經濟統計概論”這一自學考試課程中，因為各個章節的學習各有方向側重，未能將一些有著共同規律的公式歸納整理起來。如在介紹人口數時，出現了“年末人口數=年初人口數+（出生人口數-死亡人口數）+（遷入人口數-遷出人口數）”。在介紹固定資產的平衡關系時，出現了“年初固定資產+本年增加固定資產-本年減少固定資產=年末固定資產”。在介紹社會商品購買力時，出現了“本期全部商品購買力=本期形成商品購買力+期初結余商品購買力=本期實現的商品購買力+期末結余的商品購買力”，以及“本期全部商品供應量=本期形成的商品供應量+期初結余的商品供應量=本期已實現的商品供應量+期末結余的商品供應量”。類似的具有共同原理的知識分布于“國民經濟統計概論”不同章節，針對的是國民統計中不同方面問題，此類公式本身較長，單純記憶花費時間較多，應該更注重總結規律，提高教學效果。

在教學過程中，或者在復習過程中，利用一節專門的課時進行規律的總結，對于知識的理解和歸納會有很大的幫助。學生通過觀察教師的演示并思考，從接觸基礎知識“流量”與“存量”，總結相關規律，更好地進行理解，貫以教師引導，對一些相關的統計學中有聯系的知識進行歸納，形成連接緊密的知識體系，能令學生更好地領會并掌握這一系列的知識。

這一節課，將下列知識概括為一個知識體系：①“流量”與“存量”的理解與區分；②“期初量+新增量-減少量=期末量”類型公式的理解與歸納；③“平均庫存”的理解；④“流量周轉次數”計算的原理與應用。

以“流量”與“存量”基礎知識理解與區分為開始，通過演化得到其他的規律，而后將各個學習章節的相關內容歸納出來，更好地將原本分散的內容聯系起來，形成整體，提高學生學習效率。

《統計》課程開設于職業學校中職或高職的二三年級，是財經類自學考試較晚開設的考試科目。十七八歲的職校學生對于抽象規律的總結已經有一定的能力和經驗，對于由直觀印象轉化為知識較有興趣且喜歡新事物，能夠較快建立知識之間的聯系并得出規律。但不愿處理較為復雜的記憶工作，并且對知識規律的總結主動性與能力仍較為欠缺，而對于教師已得出的結論樂于接受，并能主動融入自己的知識結構。

這樣一節歸納課設計中，應該以展示“流量”與“存量”的內容為開頭，注意循序漸進。將最基本的內容介紹分析清楚，而后再將相關公式的規律通過“流量”與“存量”形象化地展現出來，通過類比，得到規律，進而對同類知識進行歸納，進一步發展。在“平均庫存”的理解上，應使學生注意求解方式間接與可操作性的原因。在“流量周轉”問題中，應使學生注意到“流入”與“流出”的區別。

如何區分“流量”與“存量”是基本的任務，但又是較為困難的任務；對于“流量”與“存量”不斷變化的把握，求解平均“流量”與“存量”也是在講解過程中必須掌握的方面。介紹規律過程中，這些困難是不可回避的。

通過這節課的學習，能夠對一系列有聯系的知識理解更深一步，記憶知識不再停留在字面意義上，更好地運用相關規律與結論處理有關習題。本節課并不是單純說教，而是通過使用在統計課上不曾出現過的教具，如能夠控制流出量的漏斗，有刻度的燒杯，已經著色的水等實驗器具，進行直觀或通過多媒體進行演示，并總結規律。如果使用多媒體演示，可以事先做好視頻，甚至課后共享；若條件允許，也可以現場操作，讓學生動手，進行試驗，進行總結。通過采用這一“演示”——“總結”，拓寬學生的思路，牢固掌握知識，并豐富學生的學習經歷，加強學生理論聯系實際的能力。

教學過程如下。

復習“流量”與“存量”。①流量：反映社會經濟現象在一段時間內發展過程的總量。強調特點：各個指標數值相加有意義，指標值的大小與包括的時間長短有直接關系。②存量：反映社會經濟現象在某一時刻的總量特點。強調特點：指標不具有可加性，指標值的大小與其時間長短沒有直接聯系。

演示1：通過漏斗，向一個有刻度的燒杯注水。漏斗也可改為滴定管，可保存水。演示用水事先染色，便于師生觀察。開始時，漏斗或滴定管內預存一定的水，計水量①，燒杯內開始時無水。然后向漏斗中均勻倒水，同時漏斗下端出水流入燒杯。一定時間后暫停，此時漏斗中為水量②，可與倒水之前水量不同，此時燒杯內水量計為⑴，而后換一個空燒杯進行下一階段演示，繼續向漏斗中均勻倒水，同時漏斗下端出水流入燒杯。一定時間后暫停，此時漏斗中為水量③，第二個燒杯此時水量計為⑵。

提問：漏斗中流出的水量⑴、⑵，與漏斗中的水量①、②、③，按前后時間段，⑴＋⑵與①＋②＋③哪個有意義，即具有可加性？水量⑴、⑵、①、②、③多少與時間長短是否直接相關？由此推斷：哪些是流量，哪些是存量。

通過學生討論可以得到如下結論：首先，漏斗流出的水量在任何一個時間點利用接水的燒杯都能夠記錄，前后兩個時間段內流出的水量相加⑴＋⑵，可得整個時間段內的流出水量；漏斗內的水量前后時點的數據相加①＋②＋③則沒有實際的意義。其次，漏斗流出的水量⑴、⑵時間越長就越多，而漏斗內的水量①、②、③多少與時間長短沒有直接的關系。因此，可得漏斗內的水量①、②、③為存量，漏斗流出的水量⑴、⑵為流量。

演示2：在漏斗內存放一些水，即水量①。用有計量刻度的燒杯倒入一定水，可用燒杯刻度計量出流入的水量②。同時漏斗流出的水量為③，最后存在于漏斗中的為水量④。請學生討論后回答：①、②、③、④間的相等關系，總水量如何表示。通過討論，可得①+②-③=④或①+②=③+④，總水量為①+②或③+④。教師總結規律：期初量+新增量-減少量=期末量；總量=期初量+新增量=減少量+期末量。然后，要求學生舉出此類分布于各章節的知識公式。例如：年末人口數=年初人口數+（出生人口數-死亡人口數）+（遷入人口數-遷出人口數）；年初固定資產+本年增加固定資產-本年減少固定資產=年末固定資產；本期全部商品購買力=本期形成商品購買力+期初結余商品購買力=本期實現的商品購買力+期末結余的商品購買力；本期全部商品供應量=本期形成的商品供應量+期初結余的商品供應量=本期已實現的商品供應量+期末結余的商品供應量。長篇的公式可使用小黑板，多媒體事先準備，以節約時間。或告知學生書本章節或頁碼。而后可要求學生舉例進行補充。若學生對于這些知識的了解較好，也可以填空題的面目出現。

演示3-1：漏斗內放滿水后，記錄水量a1，使水均勻流出，流空后記錄漏斗內水量a2=0。演示3-2：在漏斗內無水，記錄水量a1=0。向漏斗倒水，同時漏斗放水，最后存在于漏斗中的為水量a2。演示3-3：漏斗內開始時有一定水量a1，向漏斗倒水，同時漏斗放水，最后存在于漏斗中的為水量a2。這三個演示過程中倒水與流水的過程可遮住漏斗，向學生提問：漏斗中水量倒水過程中的變化不可知，僅知道起初與最后的水量，如何統計這一時間段內漏斗中水量的平均值？學生可根據之前的學習知識回答：平均水量為。之后教師總結規律：存量時刻在變化，為統計簡便，間斷計數的存量平均數計算用以下方式進行統計：存量的平均數=。利用這一方式，亦得到多次間斷計數的存量平均發展水平。

演示3-4，水流入的速度與從漏斗中流出的速度不停變化，可遮住漏斗，把漏斗的水量看做不停變化的未知量，間隔一定時間，記錄若干次漏斗中各時間點的水量，計為n次，每次的漏斗中水量為ai，(i=1,2,…n)。分時間間隔相等與不等兩種情況，由學生討論：漏斗內平均水量的求解方式；若流出的水總量為A，經過的總時間為T，則平均流出水量如何求解。

第一種情況：間斷計數的水量a1、a2、a3…an，記錄間隔時間相等，因計算時認為水量指標值在兩個相鄰時點間變動是均勻的，相鄰兩個時點的水量平均數為，即任意兩個時點間的水量序時平均數，再將各時間段的平均水量相加，除以總的時間長度n-1。 a==稱為首末折半法。

第二種情況：時間間隔不相等，相鄰兩個時點的水量平均數為，然后再以時間間隔長度fi為權數與之相乘。計算水量使用序時加權算術平均數。公式：a=稱為折半加權平均法。單位時間內流出水量為。可知流量平均值（流量的平均發展水平）a=.由教師總結并展示上述公式。

演示4-1：漏斗內開始時有一定水量a1，向漏斗倒水，同時漏斗放水，保持漏斗內的水量不變，流出量與倒入量保持平衡，最后存在于漏斗中的為水量a2=a1，漏斗內流出的水量為3a1時，停止倒水與漏斗放水。

演示4-2：漏斗內開始時有一定水量a1，向漏斗倒水，同時漏斗放水，最后存在于漏斗中的為水量a2，且與a1有明顯不同，漏斗內流出的水量為3，即3倍漏斗內平均水量，此時停止倒水與停止漏斗放水。

提問：此兩種情況漏斗內的水可視為更新過幾次？

對于第一種情況，學生較易判斷，漏斗中水量不變，而凈流出的水量為漏斗內存水量3倍，可視為漏斗內水量更新了3次。但第二種情況，需要教師引導，學生判斷：流出的水量是漏斗中平均水量的3倍，進而得到結論：存量周轉次數=。與這一原理相關的在各個章節內出現的內容，有：流動資產周轉次數=、商品周轉次數=，等。可通過向學生提問，或由學生舉例，也可以用小黑板，多媒體文檔事先準備，在此時補充。之后，進行之前所提內容的總結。通過演示得到的結論，可讓學生理解，并要求將各個不同章節的相關內容整理起來，加深并鞏固。最后進行以下演示，并請學生思考。

演示5-1：不往漏斗中倒水，漏斗中的水由滿至流干。

演示5-2：往漏斗中倒水，漏斗中的水同樣由滿至流干，倒入的水量為漏斗容量的2倍，流出的水量自然為漏斗容量的3倍。

演示5-3：往空漏斗中倒水，漏斗中水不流出，漏斗由全空至裝滿。

演示5-4：往空漏斗中倒水，漏斗中的水同樣由空至裝滿，倒入的水量為漏斗容量的3倍，流出的水量自然為漏斗容量的2倍。

演示5-5：往空漏斗中倒水，但傾倒速度與流出速度相同，且在傾倒過程中，漏斗中始終沒有積水，倒入的水量為漏斗容量的3倍。

提問：在以上5種情況中，漏斗內的水可視為更新過幾次？

可在事后告訴學生，5-1視為更新2次，5-2視為更新6次，5-3視為更新0次，5-4視為更新4次，5-5視為更新無數次。公式為： 存量周轉次數=。

最后，由學生對上述實驗現象進行總結，并由教師進行提煉，得到相關知識點的歸納。

進行這一系列的教學演示,有一些注意要點。首先，在教授新課時似乎也可以進行這一教學歸納，但是困難更大。表現為：對于流量和存量，學生如果沒有真正區分兩者，是很難理解并聯想到水流的問題中去；初學知識時對于這一系列的規律運用于國民經濟統計的哪些方面并無認識，在之后接觸到時，又將會有對這一系列的演示回憶的困難；包含演示所含規律的知識分布于較多章節中，經過一段時間的遺忘，對演示的記憶不深刻，回憶也是細碎而不系統的，反而讓學生感覺這一演示很牽強，不會主動進行知識的總結。所以，在復習課中展示更能有較好的效果。其次，需要教師事先準備儀器，儀器設備的操作對于教師來說，是個很大的考驗。若在課堂上現場演示，一旦失誤就要重新開始，造成課堂拖沓，因此需要教師在之前進行針對性訓練。或者事先將演示拍攝下來，刪去操作失誤的部分，視頻剪輯整理后可以在課堂上播放，并且制作多媒體課件配合講解。作為一堂復習課，這樣做所花的工夫比同類課程多很多，但課件與視頻有一定的保存價值，可重復使用并改進。

通過演示，加強“流量”與“存量”原理的接觸與直觀認識，能拓寬學生思路，使學生更好地理解國民統計各章節有聯系的知識。以“流量”與“存量”的區別與聯系作為基礎，通過直觀認識進行理解，有系統地將平均存量、流量與存量共同影響下的存量周轉次數等知識貫穿起來。演示的同時，逐步地進行知識歸納與提煉，揭示規律，鞏固學生的知識，構建牢固的知識體系。通過從不同的角度解決原本抽象知識的學習，更能拓寬學生思路，使知識印象鮮明。通過這樣一系列演示教學，一些通過單純逐章復習難以很好掌握的知識點，可以更好地為學生所接受，使學生更有效率地學習。

參考文獻：

[1]婁慶松,曹少華.統計基礎知識[M].北京:高等教育出版社,2010.

[2]黃書田,劉娟.國民經濟統計概論[M].北京:中國人民大學出版社,2004.

（無錫高等師范學校）