培養(yǎng)抽象概括能力,提高知識綜合運用

郭美華

在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中,除了要培養(yǎng)運算能力、邏輯思維能力、空間想象能力和自學(xué)能力外,我認(rèn)為還要注意培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)概括能力和數(shù)學(xué)抽象能力。數(shù)學(xué)抽象概括能力是數(shù)學(xué)思維能力,也是數(shù)學(xué)能力的核心。它具體表現(xiàn)為對概括的獨特的熱情,發(fā)現(xiàn)在普遍現(xiàn)象中存在著差異的能力,在各類現(xiàn)象間建立聯(lián)系的能力,分離出問題的核心和實質(zhì)的能力,由特殊到一般的能力,從非本質(zhì)的細(xì)節(jié)中使自己擺脫出來的能力,把本質(zhì)的與非本質(zhì)的東西區(qū)分開來的能力,善于把具體問題抽象為數(shù)學(xué)模型的能力等方面。現(xiàn)階段數(shù)學(xué)抽象能力,是指出把生產(chǎn)或生活中遇到的實際問題,抽象為一個數(shù)學(xué)問題來解決的能力。它是我們常說的“分析問題和解決問題的能力”中最重要的部分,是數(shù)學(xué)本身的“高度抽象性與應(yīng)用廣泛性”辯證統(tǒng)一的必然結(jié)果。它的重要性是顯而易見的。數(shù)學(xué)的抽象是一個逐級抽象、逐次提高,抽象再抽象的過程。數(shù)學(xué)教學(xué)中充分注意到這個特點,就能有效地培養(yǎng)學(xué)生的抽象概括能力。

從雜亂無章的現(xiàn)實世界中,由表及里,去偽存精,生活問題消化、溶解、提煉、抽象為一個數(shù)學(xué)問題來解決,卻不是一件輕而易舉的事。不同數(shù)學(xué)能力的學(xué)生有不同的差異。具有數(shù)學(xué)能力的學(xué)生在收集數(shù)學(xué)材料所提供的信息時,明顯表現(xiàn)出使數(shù)學(xué)材料形式化,能迅速地完成抽象概括的任務(wù),同時具有概括的欲望,樂意地、積極主動地進(jìn)行概括工作。而現(xiàn)在學(xué)生中普遍存在怕解應(yīng)用題的現(xiàn)象,就是缺乏這種能力的反映。

數(shù)學(xué)教學(xué)中如何培養(yǎng)學(xué)生的抽象概括能力呢？我們認(rèn)為從以下幾方面入手:

首先,教學(xué)中將數(shù)學(xué)材料中反映的數(shù)與形的關(guān)系從具體的材料中抽象出來,概括為特定的一般關(guān)系和結(jié)構(gòu),做好抽象概括的示范工作,要特別注意重視"分析"和"綜合"的教學(xué)。應(yīng)該注意從實例引入,通過實物(包括教具)直觀、圖象直觀或語言直觀,形成直觀形象,提供感性材料,這是促進(jìn)和發(fā)展學(xué)生抽象思維能力的有效途徑。

例如,通過溫度的升降,貨物的進(jìn)出口等實例,引進(jìn)意義相反的量；通過觀察教室里墻面與墻面的交線和墻面與地面的交線之間的關(guān)系,引進(jìn)異面直線垂直的概念；在函數(shù)的教學(xué)中首先從學(xué)生熟悉的函數(shù)入手,引出函數(shù)傳統(tǒng)定義,然后引導(dǎo)學(xué)生利用映射給出函數(shù)現(xiàn)代定義。盡量不讓學(xué)生由于陌生而產(chǎn)生對新概念的恐懼。接著在進(jìn)行兩個概念的比較的時候又依托具體例子,化抽象為具體,較好地解決了這一問題。函數(shù)是抽象性很強(qiáng)的概念,為使學(xué)生比較容易地理解這一概念,我多次使用學(xué)生比較熟悉的生活中的實例來解釋和理解函數(shù)的概念,同時也請同學(xué)自編一些函數(shù)題目,并把自己所編的函數(shù)題目解答清楚,這樣可使抽象的問題具體化。

數(shù)學(xué)的抽象性還表現(xiàn)為廣泛而系統(tǒng)地使用了數(shù)學(xué)符號,具有詞語、詞義、符號三位一體的特性,這是其它學(xué)科所無法比擬的。例如“平行”這個詞,其詞義是表示空間直線與直線、直線與平面、平面與平面的一種特定位置關(guān)系,有專門符號“//”表示,并可用具體圖形表示。

為了培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的抽象思維能力,教師的主要任務(wù)在于創(chuàng)設(shè)具體的數(shù)學(xué)情境,啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生積極參與教學(xué)活動,防止包辦代替。現(xiàn)今教材中對一個新的例題的證明,差不多全都是采用演繹法給出的,即從已知的概念、定理出發(fā),通過邏輯推理,最后得到新的命題。這樣便在一定程度上忽視了發(fā)展學(xué)生歸納、概括能力的訓(xùn)練和培養(yǎng)。但是,我們縱觀科學(xué)史上重大的定理、定律的發(fā)現(xiàn),往往都是先由猜想、假說,而最后才經(jīng)證明而成為定論的。這些猜想、假說,一般都是科學(xué)家們從一些特殊的、偶然的、具體的事例中得到啟發(fā)后提出的來的。因此,我們教師在講課中就要有意識地彌補(bǔ)教材的這個缺陷。對學(xué)生要十分注意引導(dǎo)他們積極思維,大膽猜想,進(jìn)行合理的總結(jié)推廣,逐步培養(yǎng)他們從特殊的事例中概括出普遍性規(guī)律的能力。

其次,教學(xué)中將學(xué)生已有定理,公理,結(jié)論運用到實際中去,發(fā)揮知識的作用,進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的分析問題、解決問題的能力,這是從抽象到具體的一個“反芻”的過程。從抽象到具體是認(rèn)識的又一個階段,它是在從具體的感性認(rèn)識上升到抽象的理性認(rèn)識的基礎(chǔ)上的又一次飛躍,它屬于整個認(rèn)識過程的更重要的階段,也就是應(yīng)用數(shù)學(xué)理論去初步解決問題,使理性認(rèn)識具體化的新階段。

從抽象到具體,是讓學(xué)生在掌握抽象的數(shù)學(xué)理論的基礎(chǔ)上,用來解決具體的實際問題,并為進(jìn)一步的從具體到抽象做好準(zhǔn)備。解答數(shù)學(xué)題的過程,主要是抽象的數(shù)學(xué)理論的運用過程,是形成數(shù)學(xué)的相關(guān)技能的過程,同時,也是進(jìn)一步培養(yǎng)和發(fā)展觀察能力和分析、綜合等邏輯思維能力的過程；在解答難度較大的數(shù)學(xué)題時,除了運用抽象理論外,還可能學(xué)到一些新的數(shù)學(xué)思想和方法,對于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維能力也有一定的作用。

教師可以配置一定數(shù)量生產(chǎn)、生活中的應(yīng)用題,讓學(xué)生從實踐中領(lǐng)會把實際問題抽象為數(shù)學(xué)問題的思路與方法。如"復(fù)利公式"無論地計算細(xì)胞分裂、森林繁殖、人口增長、勞動生產(chǎn)率的提高、銀行利息的計算等問題上都適用、是一類自然現(xiàn)象能把一些典型的數(shù)學(xué)模型告訴學(xué)生,這不單是給學(xué)生以解決實際問題一把通用的鑰匙,而更重要的是通過對它們的介紹、敘述、求解,培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象能力上能起示范性的作用。同時又能夠?qū)⒊橄蟮闹R運用到實際中去,循環(huán)往復(fù),不斷地實施具體—— 抽象—— 具體,循環(huán)往復(fù)的過程,才能不斷將學(xué)習(xí)向縱深發(fā)展,使認(rèn)識逐步提高和深化。

數(shù)學(xué)抽象概括能力是一種綜合能力,需要一個長期的培養(yǎng)過程,更需要學(xué)生的親身參與,教師要在數(shù)學(xué)教學(xué)中通過設(shè)計恰當(dāng)?shù)慕虒W(xué)模式,對學(xué)生抽象概括能力的培養(yǎng)施以積極的影響,切實地培養(yǎng)學(xué)生的抽象概括能力。“授人以魚”只能滿足一日之需；而“授人以漁”卻能使人終生受用。同樣,教給學(xué)生的思維方法能使他們終身受益。