解讀圓周運動

高敏

勻速圓周運動是一種典型的曲線運動，其運動學特征為：線速度大小、向心加速度大小不變，但方向時刻改變，故勻速圓周運動為變速運動且是非勻變速運動. 學習的重點是弄清楚描述圓周運動的各個物理量間的關系，會分析向心力的來源以及向心力與向心加速度的關系，掌握相關的臨界問題、多值問題的處理技巧.

■ 1. “圓”的角度

勻速圓周運動的運動軌跡是圓或圓的一部分. 描述勻速圓周運動的物理量有線速度、角速度、周期、頻率、轉速等. 要掌握描述勻速圓周運動的物理量之間的關系運算.

（1） 線速度

① 大小：v=■（s表示t時間內通過的弧長）

② 方向：沿圓周軌跡的切線方向且時刻改變.

③ 物理意義：描述質點沿圓周運動的快慢.

（2） 角速度

① 大小：ω=■（θ為t時間內通過的圓心角）

② 物理意義：描述質點繞圓心運動的快慢.

（3） 周期、頻率、轉速

① 周期：做圓周運動的物體運動一周所用的時間.

② 頻率：單位時間內做圓周運動的圈數.

③ 轉速：單位時間內轉過的圈數，常用n表示.

（4） 各物理量之間的相互關系

v=■=ωr=2πr f ，ω=■=2π f =2πn.

■ 例1如圖1所示的皮帶傳動裝置中，右邊兩輪是在一起同軸轉動，圖中A、B、C三輪的半徑關系為RA＝RC＝2RB，設皮帶不打滑，則三輪邊緣上的一點線速度之比vA ∶ vB ∶ vC＝______，角速度之比ωA ∶ ωB ∶ ωC＝______.

■ 解析本題考查的是線速度、角速度和半徑之間的關系，A和B是由皮帶帶動一起運動，皮帶不打滑，故A、B兩輪邊緣上各點的線速度相等. B、C在同一輪軸上，同軸轉動，角速度相等，但是由于離轉軸的距離不同，由公式v＝ωR可知，B與C兩輪邊緣上各點的線速度不相等，且C輪邊緣上各點的線速度是B輪上各點線速度的兩倍. A輪和B輪邊緣上各點的線速度相等，由公式v＝ωR可知，它們的角速度與它們的半徑成反比，即ωA ∶ ωB＝RB ∶ RA＝1 ∶ 2.

由上述分析可知：vA ∶ vB ∶ vC＝1 ∶ 1 ∶ 2，ωA ∶ ωB ∶ ωC＝1 ∶ 2 ∶ 2.

拓展在通常情況下，同軸的各點角速度ω、轉速n和周期T相等，線速度v＝ωr，即與半徑成正比. 在認為皮帶不打滑的情況下，傳動皮帶和與皮帶接觸處以及與皮帶連接的輪邊緣上各點的線速度大小相等，由ω＝v/r可知，角速度與半徑成反比.

高中階段所接觸的傳動主要有：（1） 皮帶傳動（線速度大小相等）；（2） 同軸傳動（角速度相等）；（3） 齒輪傳動（線速度大小相等）；（4） 摩擦傳動（線速度大小相等）.

■ 2. “周”的角度

圓周運動的基本特征之一是周期性，即在運動的過程中，物體的空間位置具有時間上的重復性. 圓周運動的這一特點決定了有些圓周運動問題的解不是單一解，而是系列解，也稱為多解.

■ 例2如圖2所示，在半徑為R的水平圓板中心軸的正上方高h處水平拋出一小球，圓板做勻速轉動，當圓板半徑OB轉到與小球初速度方向平行時（圖示位置），開始拋出小球，要使小球與圓板只碰一次，且碰撞點為B，求：

（1） 小球的初速度大小；

（2） 圓板轉動的角速度大小.

■ 解析（1） 小球在水平方向做勻速直線運動，在豎直方向做自由落體運動，則落到盤上的水平分速度為v0，豎直方向根據自由落體運動規律h=■gt2可以求出t，即小球下落的時間t=■，水平方向v0t=R（勻速運動公式） ，那么初速度v0=■=R■.

（2） 求角速度的時候還應該有個條件：那就是小球拋出圓盤轉了幾圈后，小球正好落到B點，如果正好轉一圈落到B點的話，那么根據角速度公式：ω=2π/t，把第一步求的t代入，那么ω就求出來了.

ω=■如果是轉了n圈小球與圓盤相碰，則有ωt=2πn（n=1，2，3……）把t代入可得ω=2πn■（n=1，2，3……）

■ 點評在分析圓周運動與其他運動相聯系的問題中，首先必須根據圓周運動的周期性這一特點判斷其是否是多解問題. 如果是多解問題，必須尋找各種可能解所需滿足的條件，進而得出通解的一般表達式.

■ 3. “力”的角度

掌握做圓周物體的受力分析，找到向心力的來源.

（1） 向心力

① 定義：做勻速圓周運動的物體受到的合外力.

② 作用效果：產生向心加速度，不斷改變物體線速度的方向，維持物體做圓周運動.

③ 方向：總是沿半徑指向圓心，且方向時刻改變，所以向心力是變力.

④ 大小：Fn=man=m■=mω2r=m■2r=mvω.

⑤ 向心力是從力的作用效果來命名的，是一種效果力.

注：以上一系列向心力的表達式，構成研究向心力問題的基礎.

（2） 向心力的來源問題是考查的重要內容. 向心力可以由幾個力的合力、某一個力的分力或某一個力來提供. 它可以由重力、彈力、摩擦力等各種性質力提供. 對向心力的理解應注意兩點：

① 勻速圓周運動中，速度方向時刻變化而大小不變，只存在向心加速度，所以物體受到合外力就是向心力. 可見，合外力大小不變，方向始終與速度方向垂直且指向圓心，是物體做勻速圓周運動的條件.

② 變速圓周運動中，合外力大小不僅隨時間改變，其方向也不沿著半徑指向圓心. 合外力沿半徑方向的分力提供向心力，使物體產生向心加速度，改變速度的方向；合外力沿軌道切線方向的分力，使物體產生切向加速度，改變速度的大小.

■ 例3如圖3所示，將一質量為m的擺球用長為L的細繩吊起，上端固定，使擺球在水平面內做勻速圓周運動，細繩就會沿圓錐面旋轉，這樣就構成了一個圓錐擺，則關于擺球的受力情況，下列說法中正確的是

（）

A. 擺球受重力、拉力和向心力的作用

B. 擺球受拉力和向心力的作用

C. 擺球受重力和拉力的作用

D. 擺球受重力和向心力的作用

■ 解析我們在進行受力分析時，“物體受到哪幾個力的作用”中的力是指按照性質命名的力，顯然，物體只受重力G和拉力FT的作用，而向心力F是重力和拉力的合力，如圖4所示. 也可以認為向心力就是FT沿水平方向的分力FT 2，顯然，FT沿豎直方向的分力FT 1與重力G平衡. 所以，本題正確選項為C.

■ 拓展常有同學錯誤選擇A，即認為擺球除了受到重力G、拉力FT外，還受到一個向心力F的作用. 其錯誤在于忘了向心力是物體做勻速圓周運動時受到的合力，是按效果命名的力，而不是按性質命名的力，可想而知，如果把向心力當做一個額外的力，認為小球受三個力的作用，顯然與物體的實際受力情況相矛盾，即相當于把物體受到的力都計算了兩遍，是完全錯誤的.

■ 思維總結做勻速圓周運動物體需要向心力，向心力來源于合外力，對物體受力分析找出合外力是解決問題的關鍵.