等效

王高

處理曲線運(yùn)動(dòng)問(wèn)題的基本方法是運(yùn)動(dòng)的合成與分解，而運(yùn)動(dòng)的合成與分解是在遵從等效性原則的前提下進(jìn)行的，可見(jiàn)，等效是處理曲線運(yùn)動(dòng)的核心思想.

等效思想是在保證某一方面效果相同的前提下，用理想的、熟悉的、簡(jiǎn)單的物理對(duì)象、物理過(guò)程、物理現(xiàn)象替代實(shí)際的、陌生的、復(fù)雜的物理對(duì)象、物理過(guò)程、物理現(xiàn)象，從而化繁為簡(jiǎn)，化難為易，以實(shí)現(xiàn)問(wèn)題的順利解決.

在運(yùn)動(dòng)學(xué)中，我們用一種（或兩種）運(yùn)動(dòng)代替另一種運(yùn)動(dòng)保持效果不變，就是等效思想的具體體現(xiàn). 例如，研究一個(gè)做變速直線運(yùn)動(dòng)的物體在某段時(shí)間內(nèi)的位移. 可以把它等效成一個(gè)勻速直線運(yùn)動(dòng)，這個(gè)勻速直線運(yùn)動(dòng)的速度就等于原來(lái)變速直線運(yùn)動(dòng)的平均速度，這兩個(gè)運(yùn)動(dòng)在同一時(shí)間內(nèi)的位移相同. 在v－t圖上，相當(dāng)于一個(gè)矩形面積代替原來(lái)曲邊四邊形的面積，如圖1所示.

通常所說(shuō)的運(yùn)動(dòng)的合成與分解，就是一種運(yùn)動(dòng)等效變換. 利用運(yùn)動(dòng)的合成與分解研究曲線運(yùn)動(dòng)的思維流程是：

曲線運(yùn)動(dòng)■兩個(gè)直線運(yùn)動(dòng)■曲線運(yùn)動(dòng)

對(duì)于平拋物體的運(yùn)動(dòng)，物體在水平方向不受外力，豎直方向僅受重力作用. 因此可以把平拋物體沿拋物線的運(yùn)動(dòng)等效成沿水平方向的勻速直線運(yùn)動(dòng)和豎直方向的自由落體運(yùn)動(dòng).

斜拋物體的運(yùn)動(dòng)，同樣可以把它等效成兩個(gè)較簡(jiǎn)單的運(yùn)動(dòng)，并且根據(jù)需要可以有不同的等效方法. 當(dāng)物體在平面上斜拋時(shí)，常見(jiàn)的有兩種方法：① 把斜拋運(yùn)動(dòng)等效成水平方向的勻速直線運(yùn)動(dòng)和豎直方向的上拋運(yùn)動(dòng)；② 把斜拋運(yùn)動(dòng)等效成沿拋射方向的勻速直線運(yùn)動(dòng)和豎直向下的自由落體運(yùn)動(dòng). 當(dāng)物體在斜面上斜拋時(shí)，也可等效成兩個(gè)勻變速直線運(yùn)動(dòng).

這就告訴我們?cè)谘芯繌?fù)雜的曲線運(yùn)動(dòng)時(shí)，應(yīng)依實(shí)際情況先把它分解成為等效的兩個(gè)簡(jiǎn)單的直線運(yùn)動(dòng)，應(yīng)用簡(jiǎn)單的直線運(yùn)動(dòng)的規(guī)律來(lái)逐個(gè)研究，然后再把這些簡(jiǎn)單的直線運(yùn)動(dòng)綜合為比較復(fù)雜的曲線運(yùn)動(dòng).

等效思想在實(shí)際應(yīng)用中具體體現(xiàn)為等效法. 運(yùn)用等效法處理問(wèn)題的一般步驟可概括為：

（1） 分析研究對(duì)象的本質(zhì)特性；

（2） 尋找適當(dāng)?shù)奶娲鷮?duì)象，以保留研究對(duì)象的本質(zhì)特性，摒棄非本質(zhì)特性；

（3） 研究替代對(duì)象的特性及規(guī)律；

（4） 將替代對(duì)象的規(guī)律遷移到研究對(duì)象上來(lái)；

（5） 利用替代對(duì)象遵循的規(guī)律、方法求解，得出結(jié)論.

等效法在物理解題中有著廣泛的應(yīng)用，現(xiàn)結(jié)合《曲線運(yùn)動(dòng)》內(nèi)容介紹幾種具體的使用方法.

■ 1. 化曲為直

■ 例1如圖2所示，一輛小車(chē)質(zhì)量為m，在豎直圓筒內(nèi)沿螺旋線軌道上升，且每運(yùn)動(dòng)一周上升的高度為h. 已知運(yùn)動(dòng)速率為v，筒半徑為R. 試證明小車(chē)受到的向心力為Fn=mv2·■.

證明將螺旋面展開(kāi)，螺旋線軌道等效為一傾斜軌道，見(jiàn)圖3. 可以看出：速度v的水平分量vx=vcos α為小車(chē)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的速率；豎直分量vy=vsin α為小車(chē)勻速上升的速率.

根據(jù)牛頓第二定律，向心力可以表示為

Fn=m■=m■.

根據(jù)三角函數(shù)關(guān)系

cos α=■.

所以，向心力為

Fn=mv2·■.

■ 例2風(fēng)洞實(shí)驗(yàn)室可產(chǎn)生水平方向的、大小可調(diào)節(jié)的風(fēng)力. 在風(fēng)洞中有一固定的支撐架BOC，該支撐架的上表面光滑，是一半徑為R的■圓弧面，如圖4所示，圓弧面的圓心在O點(diǎn)，O離地面高為2R，地面上的D處有一豎直的小洞，離O點(diǎn)的水平距離為R. 現(xiàn)設(shè)法將質(zhì)量為m的小球沿圓弧面從A點(diǎn)向上滑行，在無(wú)風(fēng)情況下，小球恰好能到最高點(diǎn)C時(shí)與圓弧面脫離，則

（1） 小球到最高點(diǎn)C的速度大小是多少？

（2） 當(dāng)小球滑至圓弧面的最高點(diǎn)C時(shí)，讓風(fēng)洞實(shí)驗(yàn)室內(nèi)產(chǎn)生的風(fēng)迎面吹來(lái)，通過(guò)調(diào)節(jié)水平風(fēng)力F的大小，使小球恰能與洞壁無(wú)接觸地落入小洞D的底部，此時(shí)小球經(jīng)過(guò)D點(diǎn)時(shí)的速度是多少？水平風(fēng)力F的大小是多少？

■ 解析小球離開(kāi)圓弧面后，既要受水平方向風(fēng)力作用又要受豎直方向重力作用，所以做一般的曲線運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)軌跡難以確定. 但我們?nèi)绻捎没鸀橹钡乃枷雭?lái)處理，問(wèn)題就簡(jiǎn)單了.

（1） 根據(jù)題意，小球恰好到最高點(diǎn)C與圓弧面脫離，則有mg=m■.

所以有v0=■.

（2） 根據(jù)小球的受力情況和初速度特點(diǎn)，可以把小球的曲線運(yùn)動(dòng)等效轉(zhuǎn)化為水平方向的勻減速運(yùn)動(dòng)和豎直方向的自由落體運(yùn)動(dòng)，由于小球恰能與洞壁無(wú)接觸地落入小洞D的底部，可知在水平方向運(yùn)動(dòng)到D點(diǎn)時(shí)速度減為0，水平方向的加速度大小為a=■.

水平方向v20=2aR，解得F=■mg.

豎直方向v′2=2g×3R解得v′=■.

■ 2. 等效代換

■ 例3如圖5所示，一個(gè)人站在地面上，用槍瞄準(zhǔn)樹(shù)上的猴子，當(dāng)子彈從槍口射出時(shí)，猴子聞聲立即從樹(shù)上做自由落體運(yùn)動(dòng)，討論一下猴子能否避開(kāi)子彈的射擊？

■ 解析將子彈的運(yùn)動(dòng)分解，即用沿v0方向的勻速直線運(yùn)動(dòng)和豎直方向的自由落體運(yùn)動(dòng)來(lái)等效代換子彈的實(shí)際運(yùn)動(dòng)，猴子同時(shí)做自由落體運(yùn)動(dòng)，則在豎直方向上子彈與猴子保持相對(duì)靜止；在瞄準(zhǔn)方向上，子彈相對(duì)猴子以v0做勻速運(yùn)動(dòng)，所以只要子彈瞄準(zhǔn)猴子則相對(duì)運(yùn)動(dòng)不受地面限制，在不計(jì)聲音傳播時(shí)間和空氣阻力條件下，用大于某一值的速度（保證在猴子落地前）一定會(huì)擊中猴子.

■ 例4如圖6所示，在光滑水平桌面ABCD中央固定有一邊長(zhǎng)為0.4 m的光滑小方柱abcd. 長(zhǎng)為L(zhǎng)=1 m的細(xì)線，一端拴在a上，另一端拴住一個(gè)質(zhì)量為m=0.5 kg的小球. 小球的初始位置在ad連線上a的一側(cè)，把細(xì)線拉直，并給小球以v0=2 m/s的垂直于細(xì)線方向的水平速度使它做圓周運(yùn)動(dòng). 由于光滑小方柱abcd的存在，使線逐步纏在abcd上. 若細(xì)線能承受的最大張力為7N，那么從開(kāi)始運(yùn)動(dòng)到細(xì)線斷裂應(yīng)經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間？小球從桌面的哪一邊飛離桌面？

■ 解析小球做的是一種半徑在不斷變小的曲線運(yùn)動(dòng). 不是我們熟悉的圓周運(yùn)動(dòng)模型，但我們可以用等效圓來(lái)處理，即用等效圓來(lái)代換曲線運(yùn)動(dòng)，在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，小球速度的大小是不變的.

設(shè)當(dāng)細(xì)線纏繞到長(zhǎng)為L(zhǎng)0時(shí)，線將斷裂. 據(jù)向心力公式得：T0=m■.

解得L0=0.29 m.

繞a點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)是做半徑為R1=1 m的圓周運(yùn)動(dòng)■周直至b點(diǎn)的時(shí)間t1=■T1=■×■=0.785 s；

繞b點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)是做半徑為R2=0.6 m的圓周運(yùn)動(dòng)■周直至c點(diǎn)的時(shí)間t2=■T2=■×■=0.471 s；

繩接觸c點(diǎn)后，小球應(yīng)做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為r=0.2 m，小于L0=0.29 m，所以繩立即斷裂.

所以從開(kāi)始運(yùn)動(dòng)到繩斷裂經(jīng)過(guò)t=t1+t2=1.256 s，小球從桌面的AD邊飛離桌面.

■ 3. 變動(dòng)為靜

升降機(jī)中用一輕彈簧豎直懸掛一個(gè)質(zhì)量為m的物體，升降機(jī)以加速度a做向上的勻加速運(yùn)動(dòng)，地面上的人看到彈簧的彈力T=mg+ma，這是大家熟悉的超重現(xiàn)象. 但站在升降機(jī)里的人看到物體是靜止的，即處于平衡狀態(tài). 彈簧長(zhǎng)度的變化又是客觀存在的，這時(shí)，我們可以視為是地球的重力場(chǎng)突然間發(fā)生了變化，即T=mg′=mg+ma，這里的g′=g+a稱(chēng)為等效重力加速度. 于是，一個(gè)等效關(guān)系自然地建立起來(lái)了：

從而實(shí)現(xiàn)了“變動(dòng)為靜”的等效變換.

■ 例5一長(zhǎng)為L(zhǎng)的細(xì)線的一端固定于升降機(jī)中的O點(diǎn)，另一端拴住質(zhì)量為m的小球，現(xiàn)設(shè)法讓小球在豎直平面內(nèi)繞O點(diǎn)做圓周運(yùn)動(dòng)，在最高點(diǎn)的速度是v0. 在下列幾種情況下分別求出小球運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)時(shí)繩對(duì)小球的拉力大小.

（1） 升降機(jī)以a=g的加速度勻加速向下運(yùn)動(dòng)；

（2） 升降機(jī)以a=2g的加速度勻加速向下運(yùn)動(dòng)；

（3） 升降機(jī)以a=g的加速度勻加速向上運(yùn)動(dòng).

■ 解析升降機(jī)在運(yùn)動(dòng)，小球又相對(duì)于升降機(jī)在做圓周運(yùn)動(dòng)，這時(shí)以地面為參考系來(lái)研究就比較困難了，我們不妨以升降機(jī)為參考系，即等效變換到變化的重力場(chǎng)g′中來(lái)研究.

（1） 升降機(jī)以a=g的加速度勻加速向下運(yùn)動(dòng)（完全失重），等效重力加速度g′1=0，小球做的是勻速圓周運(yùn)動(dòng)，所以最高點(diǎn)時(shí)繩對(duì)小球的拉力大小為T(mén)1=m■.

（2） 升降機(jī)以a=2g的加速度勻加速向下運(yùn)動(dòng)，等效重力加速度g′2=－g，這就意味著等效重力大小為mg ，方向豎直向上，這時(shí)的最高點(diǎn)相當(dāng)于地面上做圓周運(yùn)動(dòng)的最低點(diǎn)——我們稱(chēng)之為物理最低點(diǎn). 所以在最高點(diǎn)（物理最低點(diǎn)）時(shí)T2+mg′2=m■繩對(duì)小球的拉力大小為T(mén)2=mg+m■.

（3） 升降機(jī)以a=g的加速度勻加速向上運(yùn)動(dòng)時(shí)，等效重力加速度g′3=2g，方向向下. 小球到最高點(diǎn)時(shí)，T3+mg′3=m■繩對(duì)小球的拉力大小為T(mén)3=m■－2mg.