被“約束”的平拋物體的飛行時間

陳金秀

■ 一、 思考的起點

如果一個平拋的物體，在一個無限大的沒有任何障礙與約束的空間中，它將永遠運動下去，見圖1. 在運動的過程中，平拋物體的速度和位移都在不斷地隨時間發生變化，具體規律如下：

速度：vx=v0，vy=gt，v=■，tan α=■=■.

位移：x=v0t，y=■gt2，

s=■，tan θ=■=■.

如圖2所示，就是在有“約束”的情況下，如在某一高度平拋小球，或要求平拋的小球以特定的角度到達斜面，平拋物體就會有一個確定的飛行時間. 在飛行的末時刻，平拋物體會有確定的速度，對應飛行過程，物體會有相應的位移.

平拋運動中速度和位移隨時間變化的規律是求解飛行時間的起點和依據.

■ 二、 典型的情境

■ 1. 被有限的空間約束

■ 例1在同一平臺上的O點拋出的三個物體，它們做平拋運動的軌跡均在紙面內，如圖3所示，則三個物體在空中的飛行時間tA、tB、tC的關系分別是（）

A. tA>tB>tC

B. tA＝tB＝tC

C. tA

D. 不好判斷，與拋出時的初速度大小有關

■ 解析平拋運動合運動和分運動具有等時性. 從豎直方向看，y=■gt2，結合A、B、C三點距O點的高度，可以明確地得出A是正確答案. 如果從水平方向看，雖然xC>xB>xA，但由于三個物體水平方向的速度關系為vc0>vB0>vA0，所以用x=v0t無法進行時間的判斷.

■ 例2在傾角為37°的斜面上，從A點以6 m/s的初速度水平拋出一個小球，小球落在B點，如圖4所示. 求小球在空中飛行的時間. （g取10 m/s2）

■ 解析如圖5所示，本題中，平拋運動的位移恰和起落點間的斜面重合，借用斜面傾角和位移的方向相同，可以進行飛行時間的求解.

設小球落到B點時運動時間為t，

則tan θ=■=■=■故t=■=0.9 s.

觀察解題過程還可以得知：飛行時間取決于平拋物體的初速度和斜面的傾角.

■ 例3一小球以2 m/s的速度從樓梯頂部水平飛出，如圖6所示，若臺階寬度均為0.25 m，高度為0.2 m，則小球將在什么時間與哪個臺階相碰？（g=10 m/s2）

■ 解析作如圖7所示的輔助斜面，小球在碰到臺階前必將和假想中的輔助斜面碰撞，先求小球和假想斜面的碰撞時間和位置.

仿例1有：■=tan θ，即■=■，故t=0.32 s，x=0.64 m. 由于每個臺階寬為0.25 m，所以小球會落在標號為4的臺階上. 4號臺階距拋出點豎直方向的距離為0.6 m，故由y=■gt2，得到實際飛行時間為0.2■ s.

■ 例4如圖8所示，豎直固定圓弧的半徑R=1 m，一個小球從圓心O處以初速度v0=1.5 m/s水平射出，求經過多長時間落到圓弧上？（g取10 m/s2）

■ 解析建立如圖9所示坐標系. 設小球經過時間t后運動到圓弧上，則由平拋規律有x=v0t，y=■gt2，同一圓上各點應滿足x2+y2=R2，三式聯立解得，t=0.4 s.

■ 小結找出約束的空間幾何特點，如下落的高度、斜面的傾角、圓的軌跡等，再和平拋運動中位移隨時間的變化規律恰當結合，是解決此類問題的方法.

■ 2. 被特定的速度約束

■ 例5一以初速度v0水平拋出的小球落到一傾角為θ的斜面上時，其速度方向與斜面垂直，求小球在空中的飛行時間.

■ 解析依題意，對小球的末速度進行如圖10所示的分解，有tan θ=■，

解得：t=■.

■ 例6從空中同一點沿水平方向同時拋出兩個小球，它們的初速度大小分別為v1和v2，初速度方向相反，則經過多長時間兩小球速度之間的夾角為90°？

■ 解析如圖11所示，因為α和β互余，所以有tan α·tan β=1，且由平拋規律有tan α=■，tan β=■，聯立各式解得t=■.

■ 小結速度隨時間的變化不僅體現在速度的大小上，還體現在速度的方向上，特定的速度對應著相應的時間，洞察并用好速度的方向，是解好此類題的關鍵.

■ 三、 思路再梳理

平拋物體被“約束”的具體情境還有很多.

■ 例7A、B兩小球以l＝6 m長的細線相連. 兩球先后從同一地點以相同的初速度v0＝4.5 m/s水平拋出，相隔Δt＝0.8 s. A球拋出多長時間，線剛好被拉直？

■ 解析兩小球平拋的軌跡是重合的，設A拋出時間t后，線被拉直，此時AB間的距離為l＝6 m，如圖12所示. 由題意有：Δx＝v0 Δt＝4.5×0.8 m＝3.6 m；Δy＝yA－yB＝■gt2－■g（t－Δt）2＝－3.2＋8t；且有（Δx）2＋（Δy）2＝l2，解得t＝1 s.

雖然具體情境千差萬別，但把握住平拋運動中各物理量隨時間變化的規律，挖掘出“約束”背后的關系式，是求解飛行時間的基本思路.