圓周運動的疑難解答

張雙成

我們常見到的圓周運動問題歸納起來有三類，一類是生活中圓周傳動問題，一類是水平面內(nèi)的圓周運動問題，還有一類是豎直面內(nèi)的圓周運動問題. 下面就如何解決圓周運動中常見的這三類問題總結(jié)如下：

■ 1. 如何解決傳動問題

傳動主要有皮帶傳動（包括齒輪及摩擦直接傳動）和同軸傳動兩種類型. 下面我們通過實例來說明傳動問題的解題思路.

■ 例1車床電機的轉(zhuǎn)速n=1 440 r/min，它的轉(zhuǎn)軸套著齒輪A，A與變速箱中另一個齒輪B嚙合時，變速比調(diào)為1 ∶ 3，齒輪B的轉(zhuǎn)軸上固定待加工的金屬零件，需要通過車刀的切削來加工它的外表面，如圖1所示，已知車刀的刀刃到軸心的距離是3 cm，求這次切削加工的切削速度（即工件表面的線速度）.

■ 解析A、B構(gòu)成齒輪傳動，它們的線速度相等，B與工件構(gòu)成同軸傳動，其角速度相等.

vA=vB即2πn1rA=2πn2rB，由此得：

n2=■n1=8（r/s），又ω=2πn.

所以v工件=2πn工件r工件=0.015 m/s.

■ 2. 水平面內(nèi)圓周運動問題如何分析求解

解決這類問題的關(guān)鍵是做好受力情景與運動情景分析，在此基礎(chǔ)上找出向心力的來源，然后列出動力學(xué)方程.

■ 例2圖2是高速公路彎道的局部圖片，路面有什么特點？為什么要做成這樣呢？

■ 解析要回答這個問題，我們先來看，如果彎道是水平的，情況會怎樣？設(shè)汽車與地面間的最大靜摩擦力是車重的k倍，拐彎半徑是R，為了防止汽車拐彎時側(cè)滑或外翻，則汽車最大限速是多少？

汽車拐彎時，由于它有沿半徑向外滑動的趨勢，所以它受到沿半徑指向圓心的靜摩擦力的作用，靜摩擦力提供了汽車拐彎時需要的向心力. 由向心力公式得：kmg=m■，所以最大速度v=■.

由速度公式可知：由于k值不會很大，汽車過彎道時速度不能太快，特別急轉(zhuǎn)拐彎處，否則易側(cè)滑.

現(xiàn)在我們來討論高速公路拐彎處路面為什么設(shè)計成內(nèi)低外高. 設(shè)汽車的拐彎半徑為R，路面與水平面的傾角為θ，車在拐彎處無側(cè)滑趨勢，這時汽車拐彎時的最大速度為多少？

汽車只受到重力和斜面的支持力，如圖3所示. 支持力的豎直分量與重力平衡，而水平分量（也就是重力與支持力的合力）提供車做圓周運動的向心力. 在豎直方向上有：

FN cos θ=mg（1）

在水平方向上，汽車做勻速圓周運動，由牛頓第二定律可得FN sin θ=m■（2）

由此可解得v=■.

如果汽車拐彎時的車速大于這個臨界速度將會怎么樣呢？由于離心現(xiàn)象，汽車有上滑的趨勢，這時摩擦力方向沿斜面向下，它的水平分量也可以提供一部分向心力，這樣汽車過彎道時的速度可以更快一些. 火車拐彎時軌道的設(shè)計也是這樣的，其力學(xué)原理大致相同.

■ 3. 豎直平面內(nèi)圓周運動問題怎么分析求解

這類問題一般只考慮兩個特殊點即最高點與最低點. 物體在通過這兩點的瞬間其合外力是指向圓心，我們?nèi)钥梢杂门ｎD第二定律對這一時刻列出相應(yīng)動力學(xué)方程，然后求解.

■ 例3半徑為R的光滑半圓柱體固定在水平地面上，頂部有一小物塊，如圖4所示，給小物塊一個初速度v0=■，則物體將（）

A. 沿圓面ABC運動

B. 立即離開圓柱表面做平拋運動

C. 立即離開圓柱表面做半徑更大的圓周運動

D. 先沿圓面AB運動，然后在空中做拋物物線運動

■ 解析物塊在最高點將要飛離圓周的臨界條件是圓柱體對小物塊的支持力恰好為零，這時物塊所需的向心力恰好由重力提供. 由mg=■得v0=■. 根據(jù)題意可知，當(dāng)小物塊下滑時，物體的速度進一步加快，所以小物塊將會離開圓周做平拋運動，答案選B.

■ 例4如圖5所示，在電動機上距水平軸O為r處固定一個質(zhì)量為m的鐵塊，電動機啟動后達到穩(wěn)定狀態(tài)時，以角速度ω做勻速圓周運動，則在轉(zhuǎn)動過程中，電動機對地面的最大壓力與最小壓力的數(shù)值之差為多少？

■ 解析鐵塊在豎直平面內(nèi)以角速度ω做半徑為r的勻速圓周運動，鐵塊做勻速圓周運動的向心力由鐵塊重力及電動機對它的作用力的合力提供. 當(dāng)鐵塊在最低點時，電動機對鐵塊的作用力最大；當(dāng)鐵塊到最高點時，電動機對鐵塊的作用力最小，所以當(dāng)鐵塊運動到最低點時，電動機對地面的壓力最大；鐵塊運動到最高點時，電動機對地面的壓力最小. 顯然這個問題只涉及到最高點與最低點的力學(xué)問題.

現(xiàn)在隔離鐵塊進行分析.

在最高點鐵塊所需的向心力由重力和電機的支持力的合力提供，故有：

mg－N1=mω2r

在最低點電動機的拉力與鐵塊重力的合力提供，故有：

N2－mg=mω2r

隔離電動機進行分析.

當(dāng)鐵塊處于最高點時，電動機對地面的壓力為：

N′1=Mg+N1

當(dāng)鐵塊處于最低點時，電動機對地面的壓力為：

N′2=Mg+N2

所以電動機對地面的最大壓力與最小壓力數(shù)值之差為：

ΔN=N′2－N′1

解之得：ΔN=2mω2r.