勻速圓周運動的多解問題

王剛

多解問題是高考中常見的題型之一，對試題中題設條件的可能性、物理過程的多樣性及物體運動的周期性等因素分析不全，認識不透，往往出現漏解的失誤.然而針對勻速圓周運動的多解問題常涉及物體運動的周期性引起多解或是兩個物體的兩種不同的運動，其一做勻速圓周運動，另一個物體做其他形式的運動.因此，依據等時性建立等式求解待求量是解答此類問題的基本思路.特別需要提醒注意的是，因勻速圓周運動具有周期性，使得前一個周期中發生的事件在后一個周期中同樣可能發生，這就要求我們在表達做勻速圓周運動物體的運動時間時，必須把各種可能都給予考慮，并在計算中進行正確的表達.

■ 例1圖1為測定子彈速度的裝置，兩個薄圓盤分別安裝在同一個勻速轉動的軸上，兩圓盤面平行. 若圓盤以轉速n=3 600 r/min旋轉，子彈以垂直盤面方向射來，先打穿第一個圓盤，再打穿第二個圓盤.測得兩圓盤間距離為1 m，兩圓盤上被子彈穿過的半徑之間的夾角是15°，求子彈穿過第一個圓盤后的速度.

■ 解析子彈在兩圓盤間飛行的時間 t=■，這段時間內圓盤轉過的角度為2kπ+■.

圓盤的角速度?棕=2kπ+■/t=2kπ+■v.

據題意ω=2π×60=120π.

v=■ m/s. （k=0，1，2，3，…）

■ 例2質點P以O為圓心做半徑為R的勻速圓周運動，如圖2所示，周期為T. 當P經過圖中D點時，有一質量為m的另一質點Q受到力F的作用從靜止開始做勻加速直線運動. 為使P、Q兩質點在某時刻的速度相同，則F的大小應滿足什么條件？

■ 解析速度相同包括大小相等和方向相同. 由質點P的旋轉情況可知，只有當P運動到圓周上的C點時P、Q速度方向才相同.即質點P應轉過n+■周（n=0，1，2，3…），經歷的時間

t=n+■T（n=0，1，2，3…）（1）

質點P的速度v=■（2）

在同樣的時間內，質點Q做勻加速直線運動，速度應達到v，由牛頓第二定律及速度公式得

v=■t（3）

聯立以上三式，解得：

F=■（n=0，1，2，3…）

■ 例3如圖3所示，一圓筒水平放置，筒壁上僅有一個小孔A，現圓筒繞其水平軸勻速轉動，當小孔A轉到最高點時，一個小球在小孔A的正上方h高度處無初速釋放，為使小球順利通過圓筒的空間，不與筒壁相碰，求：

（1） 圓筒轉動的角速度.

（2） 在滿足（1）中的最小角速度時圓筒半徑是多少？

■ 解析（1） 小球下落h高度所經歷的時間為t1，所以h=■gt21.

小球進入小孔后，對于圓筒應滿足

ωt1=2kπ+2π（k=0，1，2……）

ω=（2kπ+2π）■（k=0，1，2……）

（2） 最小角速度為：ω=2π■.

小球下落h+2R高度所經歷的時間為t2，

所以h+2R=■gt22.

小球經歷圓筒的時間為：

Δt=t2-t1=■-■.

為使小球順利通過圓筒應有：

Δt=■+kT（k=0，1，2……）

因T=■

解得：R=■（k=0，1，2……）.