繩拉船模型的速度分解及其應用

項其杰

■ 一、 問題的由來

大家經常會遇到這樣的關于速度分解的題目：如圖1所示，某人站在岸上通過繞過定滑輪的繩子向岸邊拉船，他拉繩子的速率v保持不變，當拉船的繩子與水平面成θ角時，船前進速度u為多大？

初次接觸這道題目，學生最易出現的速度矢量分解圖有兩個，見圖2、圖3，兩個圖所得到的結論均為u=vcosθ.

■ 二、 問題的分析

圖2錯誤的原因是沒有分清哪個是研究對象，哪個速度是合速度. 而是把繩收縮的速度作為合速度，把它按水平和豎直方向正交分解，因小船是沿水平方向運動，所以這樣的分解中豎直向上的分速度是沒有物理意義的，結論自然也是錯誤的.

圖3分解的雖是實際速度，即合速度，但沒有正交分解，錯誤原因是其中的一個分運動并不是豎直向下的，而應是繩以定滑輪O為軸沿順時針方向的轉動，這個分運動的方向應垂直于繩.

另外，由剛才兩圖得到的結論都表明u＜v.倘若小船經過一個極短時間Δt從位置A運動到位置B，如圖4所示，則AB線段表示小船在這段時間內的位移大小，而OA與OB之差則表示這段時間內繩子收縮的距離，也即人的位移大小，很顯然OA與OB之差小于AB，同除以時間Δt應得到u＞v，這也與剛才的結論不符合.

■ 三、 問題的解決

其實，當認為繩子不可伸長時，對于用繩聯結的兩個物體，若速度沿繩方向，則兩物體速度必相同，否則繩子就處于松弛狀態或者被拉斷了；若兩物體速度不沿繩子方向，則兩物體速度在沿繩方向的分量必定相同. 本題中，人的速度全在沿繩方向上，因此，只要將小船速度沿繩方向和垂直繩子方向進行分解（垂直繩子方向的分量表示小船繞O點的轉動），再令兩物體沿繩方向的速度相等即可求出. 作出速度矢量的平行四邊形. 由圖5可知船的速度大小為：

u=■.

■ 四、 模型的應用

■ 例1如圖6所示，物塊A通過光滑的定滑輪用細繩與圓環B相連，A位于光滑的水平桌面上，B套在光滑的豎直桿上. 當細繩與水平方向的夾角為θ時，A的速度為v，此時B的速度u為多少？

■ 解析B的速度u為“實際速度”，即合速度. 將B的速度分別沿繩的方向和垂直于繩的方向進行分解，如圖7所示. 由圖可得：

u=■.

■ 例2如圖8所示，在水平面上小車A通過光滑的定滑輪用細繩拉一物塊B，小車A的速度為v1＝5 m/s.當細繩與水平方向的夾角分別為30°和60°時，物塊B的速度v2為多少？

■ 解析將A、B的速度v1、v2都分別沿繩的方向和垂直于繩的方向進行分解，在沿繩的方向上A、B的速度相等，即：

v1cos30°=v2cos60°

所以v2=5■ m/s.

■ 例3如圖9所示，桿OA長為R，可繞過O點的水平軸在豎直平面內轉動，其端點A系著一跨過定滑輪B、C的不可伸長的輕繩，繩的另一端系一物塊M. 滑輪的半徑可忽略，B在O的正上方，OB之間的距離為H. 某一時刻，當繩的BA段與OB之間的夾角為α時，桿的角速度為ω，求此時物塊M的速率vM.

■ 解析桿的端點A點繞O點做圓周運動，其速度vA的方向與桿OA垂直，在所考察時其速度大小為：

vA=ωR.

對于速度vA作如圖10所示的正交分解，即沿繩BA方向和垂直于BA方向進行分解，沿繩BA方向的分量就是物塊M的速率vM，因為物塊只有沿繩方向的速度，所以

vM=vAcosβ.

由正弦定理知，

■=■.

由以上各式得vM=ωHsinα.

■ 五、 模型的延伸

上面的分解方法對于求解面接觸物體的速度問題也是可以的.

■ 例4一個半徑為R的半圓柱體沿水平方向向右以速度v0勻速運動. 在半圓柱體上擱置一根豎直桿，此桿只能沿豎直方向運動，如圖11所示. 當桿與半圓柱體接觸點P與柱心的連線與豎直方向的夾角為θ，求豎直桿運動的速度.

■ 解析將兩物體的速度分別沿彈力的方向和垂直于彈力的方向進行分解，令兩物體沿彈力方向的速度相等即可求出.設豎直桿運動的速度為v1，方向豎直向上，由于彈力方向沿OP方向，所以v0、v1在OP方向的投影相等，即有

v0sinθ=v1cosθ，

解得v1=v0tanθ.

對于連接體中物體之間的速度關系分析思路是：把兩物體的速度沿著某一共同的方向進行分解，如例2中的繩子方向，例4中的彈力方向，利用在該方向上的速度分量相等建立關系式進行求解.