平拋運動問題的求解思路

肖麗英

■ 1. 利用運動合成分解的等時性原則求平拋運動的時間和水平速度

■ 例1跳臺滑雪運動員著專用滑雪板，不帶雪杖在助滑路上獲得高速后起跳，在空中飛行一段距離后著陸. 如圖1所示，設一位運動員由a點沿水平方向躍起，到b點著陸時，測得ab間距離l＝40 m，山坡傾角θ＝30°. 試計算運動員起跳的速度和他在空中飛行的時間. （不計空氣阻力，g取10 m/s2）

■ 解析在豎直方向上，運動員從a到b的時間為

t=■=■=■s=2.0 s.

在水平方向上，運動員的初速度為

v0=■=■=■ m/s=10■ m/s.

■ 小結平拋運動常常分解為水平方向的勻速直線運動和豎直方向上的自由落體運動，兩個分運動的時間是相等的. 所以我們應該從豎直方向上求出時間，然后求出水平速度.

■ 2. 從分解速度的角度進行解題

■ 例2如圖2甲所示，以9.8 m/s的初速度水平拋出的物體，飛行一段時間后，垂直地撞在傾角θ為30°的斜面上.可知物體完成這段飛行的時間是（）

A. ■ s B. ■ s

C. ■ s D. 2 s

■ 解析先將物體的末速度v分解為水平分速度vx和豎直分速度vy（如圖2乙所示）. v與vy間的夾角等于斜面的傾角θ. 再根據平拋運動的規律可知物體在豎直方向做自由落體運動，那么我們根據vy=gt就可以求出時間t了.

由tanθ=■，

得vy=■=■=■ m/s=9.8■ m/s.

所以t=■=■ s=■ s.

所以答案為C.

■ 小結如果知道了某一時刻的速度方向，我們常常是從分解速度的角度來研究.

■ 3. 從分解位移的角度進行解題

■ 例3如圖3所示，由傾角為θ的斜面頂端以速度v0水平拋出一鋼球，落到斜面上，求球到達斜面的時間．

■ 解析鋼球做平拋運動，初速度和時間決定水平位移x＝v0t；飛行時間由下落高度決定，y=■gt2，水平位移和豎直位移大小有定量關系：■=tanθ.

代入可得：

■=■=■=tanθt=■.

■ 小結如果知道做平拋運動的位移方向，我們可以把位移分解成水平方向和豎直方向，然后運用平拋運動的規律來研究問題.

■ 4. 從豎直方向是自由落體運動的角度出發求解

■ 例4如圖4所示，M和N是兩塊相互平行的光滑豎直彈性板． 兩板之間的距離為L，高度為H． 現從M板的頂端O以垂直板面的水平速度v0拋出一個小球． 小球在飛行中與M板和N板分別在A點和B點相碰，并最終在兩板間的中點C處落地． 求：

（1） 小球拋出的速度v0與L和H之間滿足的關系；

（2） OA、AB、BC在豎直方向上距離之比．

■ 解析（1） 分析可知運動的全過程中，小球始終保持其水平速度大小v0不變． 設運動全過程飛行時間為t，水平全程長度為S，見圖5，則

t=■，S=v0 t=v0■.

又S＝2.5L，

故2.5L=v0■，v0=2.5L■.

（2） 取小球由B到C為一個時間間隔Δt．小球從O點拋出到C點落地共經過5個Δt．在此5個Δt中下落高度之比為：1 ∶ 3 ∶ 5 ∶ 7 ∶ 9．

由于tOA包括第1個Δt和第2個Δt；tAB包括第3個Δt和第4個Δt，故三段豎直距離之比為：hOA ∶ hAB ∶ hBC＝（1＋3） ∶ （5＋7） ∶ 9＝4 ∶ 12 ∶ 9．

■ 小結要注意反思． 三段豎直距離之比為什么不是1 ∶ 3 ∶ 2.5這個關系，顯然是從初速度為零的勻變速直線運動，在連續相等時間間隔內位移之比為1 ∶ 3 ∶ 5…而來，同時又考慮到BC段時間僅為每段時間的一半，所以下落豎直距離也是一半．這種錯誤，稍加反思即可避免．試想勻加速運動前半程與后半程時間內運動距離怎么能相等呢！

■ 5. 靈活分解求解平拋運動的最值問題

■ 例5如圖6所示，一個小物體由斜面上A點以初速度v0水平拋出，然后落到斜面上B點，已知斜面的傾角為θ，空氣阻力可忽略，求物體在運動過程中離斜面的最遠距離s．

■ 解析方法一：小球的運動可分解成水平方向的勻速直線運動和豎直向下的自由落體運動，如圖7所示． 當物體速度與斜面平行時物體距斜面最遠． 設此過程所經時間t，兩方向位移分別是：

x＝v0 t

y=■gt2

豎直向下速度：vy＝gt

此時由圖可知：vy＝v0 tan θ

根據幾何關系（如圖7所示）：

（x-y/tan θ）sin θ＝s

解得：

s＝■.

方法二：將小球的運動分解成垂直于斜面方向的運動與沿斜面向下的運動；將重力沿這兩方向分解，則物體垂直斜面向上做勻減速直線運動，其初速度vy 0＝v0 sinθ，其加速度ay＝gcosθ． 如圖8所示，當垂直斜面方向速度vy t＝0時，s最大． 由勻變速直線運動公式，得：

s＝■=■=■.