處理圓周運動問題的思路

姜榮

圓周運動是學生常在高中階段遇到的一種曲線運動，是高中物理的一個重要知識點.學習好這塊知識，對后面的天體運動、帶電粒子在場中的運動等相關問題都起著至關重要的作用.下面就談一下處理圓周運動問題的思路及應注意的問題.

■ （一） 明確研究對象

在處理圓周運動問題時，如果涉及到多個物體時，首先明確研究對象，這是研究問題的關鍵.

■ （二） 確定研究對象運動的軌道平面和圓心的位置

要正確地分析圓周運動就必須先畫出物體的運動軌道，然后來確定研究對象運動的軌道平面和圓心的位置，以便確定向心力的方向. 例如，沿半球形碗的光滑內表面，一小球在水平面上做勻速圓周運動，如圖1所示，小球做圓周運動的圓心在與小球同一水平面上的O′點，而不在球心O.

■ （三） 對研究對象進行受力分析，找出向心力的來源

向心力是按力的作用效果命名的，不是一種新的性質力. 向心力可以由某一個力充當，也可以由某個力的分力或幾個力的合力充當. 因為做勻速圓周運動的物體所受的合力必定指向圓心來提供向心力，所以對勻速圓周運動的物體進行受力分析后，找出沿著軌道半徑、指向圓心方向的合力. 這個合力就是向心力. 如上例中物體的向心力由小球所受的彈力和重力的合力（指向O′）來提供.

■ （四） 根據牛頓第二定律列方程

將牛頓第二定律F=ma用于圓周運動，即得：Fn=ma=m■=mRω2，通過運算，就可求出所需的物理量.

下面通過幾個例子來看一下圓周運動問題的處理方法.

■ 例1兩個疊放于轉盤上的物體A和B，如圖2所示，質量分別為m、2m，A、B之間和A、盤之間的動摩擦因數分別為μ和2μ，兩物體隨轉盤一起繞豎直軸OO′做半徑為r的勻速圓周運動，現不斷增加圓盤轉動的角速度，請問哪個接觸面先發生滑動.

■ 解析因為這個問題中有兩個接觸面，所以我們在分析問題時，需要分別對兩個接觸面進行分析. 如果研究A、B接觸面，那么我們應選擇B為研究對象. 如果研究A、盤接觸面，那么我們最好選擇A、B作為一個整體來研究.

先研究A、B接觸面，取B作為研究對象，對B來講，由A、B之間的指向圓心的摩擦力來提供B做圓周運動的向心力，取臨界狀態分析，則μ×2mg=2mrω2 01，得ω01=■，即當ω＞■時，A、B之間發生相對滑動.

再研究A、盤接觸面，取A、B整體作為研究對象，對該整體來講，A、盤之間的指向圓心的摩擦力來提供A、B整體做圓周運動的向心力，同樣取臨界分析，則2μ×3mg=3mrω2 02，得ω02=■，因為ω02大于ω01，所以當轉盤速度達到■時A、B之間首先發生相對滑動.

■ 例2長為L的細線，拴一質量為m的小球，一端固定于O點，讓其在水平面內做勻速圓周運動（這種運動通常稱為圓錐擺運動），如圖3所示，求擺線L與豎直方向的夾角為α時，

（1） 線的拉力F；

（2） 小球運動的線速度的大小；

（3） 小球運動的角速度及周期.

■ 解析（1） 做勻速圓周運動的小球受力如圖4所示，小球受重力mg和繩子的拉力F. 因為小球在水平面內做勻速圓周運動，所以小球受到的合力充當向心力指向圓心O′，且是水平方向. 由平行四邊形定則得小球受到的合力大小為mgtan α，線對小球的拉力大小為F=■.

（2） 由牛頓第二定律得

Fn=mgtanα=m■.

由幾何關系得r=Lsinα.

所以，小球做勻速圓周運動的線速度的大小為v=■

（3） 由牛頓第二定律得

Fn=mgtanα=mrω2，

小球運動的角速度

ω=■

小球運動的周期T=■=2π■.

我們在分析圓周運動問題時還要注意以下兩個問題

1. 注意臨界條件的分析，如例1中，滑動與不滑動的臨界條件是靜摩擦力達到最大靜摩擦力.

■ 例3如圖5所示，用長為l的細繩拴著質量為m的小球在豎直平面內做圓周運動，小球在最高點的速度應滿足什么要求？

■ 解析經分析可知：小球恰好過最高點的臨界條件為繩中拉力恰好為零，此時全部由小球的重力來提供小球的向心力.

即mg=m■，得v0=■.

所以，只要v≥v0即可.

2. 注意隱含條件的挖掘. 有些信息題目并不會直接給出條件，需要通過解題者的分析才能得出.

■ 例4甲、乙兩名溜冰運動員，M甲=80 kg，M乙=40 kg，面對面拉著彈簧秤做圓周運動的溜冰表演，如圖6所示，兩人相距0.9 m，彈簧秤的示數為8.64N，下列判斷中正確的是（）

A. 兩人的線速度相同，約為40 m/s

B. 兩人的角速度相同，為6 rad/s

C. 兩人的運動半徑相同，都是0.45 m

D. 兩人的運動半徑不同，甲為0.3 m，乙為0.6 m

■ 解析由題意可知兩名運動員轉動的角速度應相等，做圓周運動的圓心在兩人的連線上，而且兩人做圓周運動所需的向心力由他們之間的拉力提供，應等大反向.

對甲：F1=m甲r甲ω2，

對乙：F2=m乙r乙ω2，

同時由于F1大小與F2大小相等，所以m甲r甲=m乙r乙，得r甲=0.3 m，r乙=0.6 m.

代入F1=m甲r甲ω2，可得ω=0.6 rad/s.

所以v甲=r甲ω=0.18 m/s，v乙=r乙ω=0.36 m/s. 因此答案選D.