有關曲線運動高考題賞析

王曉春

曲線運動在高中物理中既是學習的重點，又是學習的難點. 因為曲線運動比直線運動的過程復雜，對空間感的要求高；而且在以后學習萬有引力、機械能、電場、磁場時都有涉及，所以，每年高考題中曲線運動的內容也比較多. 下面就近年出現在高考題中的曲線運動問題和大家一起來賞析.

■ 一、 運動的合成

運動的合成和分解，是處理曲線運動的基本方法，遵循平行四邊形定則. 合運動和分運動具有等時性，而分運動之間又是相互獨立的，其運動的規律由該分運動方向上的受力情況決定.

■ 例1（2009廣東）船在靜水中的航速為v1，水流的速度為v2. 為使船行駛到河正對岸的碼頭，則v1相對v2的方向應為（）

ABC D

■ 解析根據運動的合成與分解的知識，可知要使船垂直達到對岸即要船的合速度指向對岸. 根據平行四邊行定則，C正確.

■ 點評這條高考題說明高考并非條條都是難題，要增強自信心.

■ 例2（2009江蘇）在無風的情況下，跳傘運動員從水平飛行的飛機上跳傘，下落過程中受到空氣阻力，下列描繪下落速度的水平分量大小vx、豎直分量大小vy與時間t的圖象，可能正確的是（）

A BC D

■ 解析因為有空氣阻力，所以該運動員所做的不是平拋運動，其水平方向和豎直方向的運動由各個方向的受力情況決定. 水平方向只受空氣阻力，所以做減速運動，由于空氣阻力的大小隨速度的減小而減小，所以其加速度應該減小，vx-t圖象正確的是B. 豎直方向所受重力大于空氣阻力，做加速運動，但空氣阻力的大小隨速度的增大而增大，其加速度減小，所以vy-t圖象上各點切線的斜率應該隨時間減小，C、D兩選項都不對. 本題正確的是B.

■ 點評這是條中等難度的高考題. 它要求考生理解分運動的獨立性，運動規律由該分運動方向的受力情況決定，并能用v-t圖象表示非勻變速運動.

■ 例3（2011上海）如圖1，人沿平直的河岸以速度v行走，且通過不可伸長的繩拖船，船沿繩的方向行進，此過程中繩始終與水面平行. 當繩與河岸的夾角為α，船的速率為（）

A. vsinα B. ■

C. vcosα D. ■

■ 解析以繩牽連的兩物體，其速度沿繩方向的分速度應該相等. 因為船沿繩的方向行進，其速率應該等于人的速度沿繩方向的分量，所以v船=vcosα，故選C.

■ 點評這是一條易錯題，要求考生真正理解以繩牽連的兩物體的速度關系.

■ 二、 平拋運動

平拋運動是曲線運動的主要實例，平拋運動的處理方法就是運動的分解和合成.

■ 例4（2011海南）如圖2，水平地面上有一個坑，其豎直截面為半圓. ab為沿水平方向的直徑. 若在a點以初速度v0沿ab方向拋出一小球，小球會擊中坑壁上的c點. 已知c點與水平地面的距離為圓半徑的一半，求圓的半徑.

■ 解析設圓半徑為r，質點做平拋運動，則：

x=v0t①

y=0.5r=■gt2②

過c點做cd⊥ab于d點，Rt△acd∽Rt△cbd可得：

cd2=ad·db即為：■2=x（2r-x）③

由①②③得：r=■v20.

■ 點評本題出現兩解的原因是小球的落點c可能有落在圓心的左側或右側兩種情況. 在曲線運動中，運用幾何知識來解題是常見情況，所以平時學習要注重這方面的訓練.

■ 例5（2010天津）如圖3所示，在高為h的平臺邊緣水平拋出小球A，同時在水平地面上距臺面邊緣水平距離為s處豎直上拋小球B，兩球運動軌跡在同一豎直平面內，不計空氣阻力，重力加速度為g. 若兩球能在空中相遇，則小球A的初速度vA應大于_______，A、B兩球初速度之比vA ∶ vB為_______.

■ 解析對A球，落地時間t落=■.

若兩球能在空中相遇，則：

A球射程xA=vAt落＞s，∴ vA>s■.

設經過時間t后相遇，則：s=vAt.

yA+yB=h，即■gt2+vBt-■gt2=h，

得：t=■，

s=vA■，

所以■=■.

■ 點評兩個物體相遇問題，對空間位置關系的分析是至關重要的. 而本題還由于地面位置的限制，要分析能否相遇的條件，所以有一定難度.

■ 例6（2010北京）如圖4，跳臺滑雪運動員經過一段加速滑行后從Ｏ點水平飛出，經過3.0 ｓ落到斜坡上的Ａ點. 已知Ｏ點是斜坡的起點，斜坡與水平面的夾角θ=37°，運動員的質量m=50 kg. 不計空氣阻力. （取sin37°=0.60，cos37°=0.80；g取10 m/s2），求:

（1） A點與O點的距離大小；

（2） 運動員離開O點時的速度大小.

■ 解析（1） 運動員在豎直方向做自由落體運動，有A點與O點的距離

Lsin37°=■gt2得tL=75 m.

（2） 設運動員離開O點的速度為v0，運動員在水平方向做勻速直線運動，即

Lcos37°=v0t

得v0=20 m/s.

■ 點評由于運動員的起落點都在斜面上，所以運動員的水平位移與總位移的夾角等于斜面的傾角.

■ 三、 圓周運動

運用牛頓運動定律處理圓周運動問題是高中物理的難點.

■ 例7（2011安徽）一般的曲線運動可以分成很多小段，每小段都可以看成圓周運動的一部分，即把整條曲線用一系列不同半徑的小圓弧來代替. 如圖5（a）所示，曲線上A點的曲率圓定義為：通過A點和曲線上緊鄰A點兩側的兩點作一圓，在極限情況下，這個圓就叫做A點的曲率圓，其半徑ρ叫做A點的曲率半徑. 現將一物體沿與水平面成α角的方向以速度v0拋出，如圖5（b）所示. 則在其軌跡最高點P處的曲率半徑是（）

（A） ■ （B） ■

（C） ■ （D） ■

■ 解析斜拋物體的運動可以分解為水平方向的勻速直線運動和豎直方向的豎直上拋運動，在最高點有

水平方向vx=v0cosα；豎直方向速度為零.

根據牛頓第二定律，mg=m■得：ρ=■，故選C.

■ 點評該題給出了一個沒有學過的物理模型，需要考生進行知識的遷移，運用學過的模型解決問題，具有一定的難度.

■ 例8（2010南通模擬卷）豎直平面內光滑圓軌道外側，一小球以某一水平速度v0從A點出發沿圓軌道運動，至B點時脫離軌道，最終落在水平面上的C點，不計空氣阻力. 下列說法中不正確的是（）

A. 在B點時，小球對圓軌道的壓力為零

B. B到C過程，小球做勻變速運動

C. 在A點時，小球對圓軌道壓力大于其重力

D. A到B過程，小球水平方向的加速度先增加后減小

■ 解析在A點，mg-N=m■可知N

在B點，小球離開球面，N=0，A正確；

在A、B兩點，水平方向不受力，水平方向加速度為零. 而從A到B的過程中，水平方向有力的作用，水平方向加速度不為零，所以D正確；

從B到C，小球只受重力，做勻變速曲線運動，B正確.

所以，該題選不正確的是C.

■ 點評物體的受力情況決定了運動的性質. 該題中由于物體在不同位置和不同過程中受力情況的不同，對考生的的能力有較高的要求. 另外，本題要求選不正確的選項，也是考生容易犯錯的地方.

■ 例9（2010蘇南四市調查卷）如圖7所示，水平轉臺高1.25 m，半徑0.2 m，可繞通過圓心處的豎直轉軸轉動. 轉臺的同一半徑上放有質量均為0.4 kg的小物塊A、B（可看成質點），A與轉軸間的距離為0.1 m，B位于轉臺邊緣處，A、B間用長0.1 m的細線相連，A、B與水平轉臺間最大靜摩擦力均為0.54 N，取g=10 m/s2.

（1） 當轉臺的角速度達到多大時細線上出現張力？

（2） 當轉臺的角速度達到多大時A物塊開始滑動？

（3） 若A物塊恰好將要滑動時細線斷開，此后轉臺保持勻速轉動，求B物塊落地瞬間A、B兩物塊間的水平距離. 不計空氣阻力，計算時取π=3.

■ 解析（1） 由 f =mω2r可知，B先達到臨界狀態，當滿足 f m=mω21r時線上出現張力，

解得ω1=■=■■ rad/s.

（2） 當角速度繼續增大，A受力也達到最大靜摩擦力時，A開始滑動，

此時 f m-T=mω′2■ f m+T=mω′2r

解得ω′=■=3 rad/s.

（3） 細線斷開后，B沿水平切線方向飛出做平拋運動.

由h=■gt2得t=0.5s，且vB=ω′r=0.6 m/s.

所以B的水平射程xB=vBt=0.3 m.

細線斷開后，A相對靜止在轉臺上，t時間轉過的角度θ=ω′t=1.5 rad，即■.

故AB間水平距離l=■=0.28 m.

■ 點評臨界狀態的確定，要求對物體受力情況的變化進行仔細的分析. 該題出現了兩處臨界狀態的分析，在第三問還要求建立三維的空間關系，所以難度較大.

平拋運動自測題參考答案

1. A2. C3. C4. B5. C6. C7. D

8. 豎直，自由落體

9. （1） 10（2） 1.5（3） 2.5

10. 37.5 m/s，3.2 m

11. （1） 2000 m（2） 224 m/s，與水平方向的夾角為arctan 2

12. 1 m/s≤v≤1.4 m/s

13. 17.3 m/s，2 s

圓周運動自測題參考答案

1. B2. D3. C4. C5. C6. AC7. AC8. ABC9. C

10. 2 ∶ 2 ∶ 1；2 ∶ 1 ∶ 1；4 ∶ 2 ∶ 1

11. 100，200

12. （1） 0.16 N（2） 略

13. 5×103 N、4×103 N、10■ m/s

14. 2.4 rad/s≤ω≤3.16 rad/s；0.27 N、1.09 N

曲線運動自測題參考答案

1. C 2. D 3. D 4. C 5. B6. B 7. D 8. C 9. A 10. B

11. 解析：對上方小球，有mg-N1＝mlω2/2，對下方小球，又有N2-mg＝mlω2/2. 將ω=■代入，解得N1＝mg/2，N2＝3mg/2. N1是壓力，N2是拉力.

12. 解析：（1） 由mgl＝■mv20，T1-mg＝mv20/l，N-Mg-T1＝0，解得N＝Mg+3mg.

（2） 由T2+mg＝mv2/l，T2-Mg＝0，解得v=■.

13. B14. ABC 15. BC 16. C17. BD18. AD19. A 20. AC

21. 解析：（1） 由tan45°＝gt/v0＝20/v0，得v0＝20 m/s.

（2） 由cos60°＝■，得v＝40 m/s.

（3） 由■=gt′，h=■gt2，得h＝60 m.

（4） 由x＝v0 t′，得x＝40■ m.

22. 解析：（1） 對A、B兩物塊，分別有：

0.4m1g-T＝m1rω2；0.4m2g+T＝m2（r+l）ω2.

可得ω=■≈4.08 rad/s.

（2） A、B均相對于圓盤滑動時，對A來說是最大靜摩擦力與拉力的差值等于所需向心力，對B來說是最大靜摩擦力與拉力的和等于所需向心力.燒斷A、B間的線，A、B受的拉力立即減為零，這樣最大靜摩擦力充當A的向心力將偏大而立即變為數值較小的靜摩擦力，使A仍相對靜止；而最大靜摩擦力充當B的向心力將不足而使B相對于圓盤做離心運動.