用數學注釋的花園

李利

瑪麗有一座美麗的花園，她絲毫不知道在葉片和沃土中潛藏著哪些奇怪的東西。作物根部深處有分形和網絡，而在大波斯菊、蝴蝶花、金盞花和雛菊里面，斐波那契數正凝視著她。

她像平時一樣照料著她的花園。每到一處，總出現一些不平常的事情，但是她都忽視了，只迷戀于自然界呈現在表面上的美景。

她先去整理她的蕨類植物。她在把枯死的蕨葉除去，使新的提琴狀頭部露出時，并沒有認識到等角螺線正在迎候她，也沒有注意到蕨葉的分形構造。突然，當微風轉向時，她猛然聞到了忍冬花的香氣?？v眼望去，她看到它已越過籬笆，伸入豌豆叢中。她斷定確實需要將它仔細修剪一番。她不知道螺旋線正在起作用，即呈左手螺旋狀的忍冬花藤已經纏繞在呈右手螺旋狀的某些豌豆藤上了。需要用手小心地防止它們損壞她新種的豌豆。

接著她來到為了使花園產生一點異國情調而種植的棕櫚樹下面除草。樹枝在微風中擺動，她沒有意識到漸伸線正在擦著她的肩頭。

她沾沾自喜地望著她的玉米。她對種植玉米曾經躊躇過，但終于因玉米幼株長勢喜人而決定種植。她不知道玉米粒的三重聯結會在玉米穗內形成。

整個花園正在逐漸成形，植物正在茁壯成長，這景況是多么喜人??！在贊美槭樹上新的綠葉時，她知道它們的形狀中蘊藏著某種可愛的東西——自然界的對稱線是很盡職的。而自然界的葉序則只有受過訓練的眼睛才會從萌生在植物枝莖上的葉子中看出。

她舉目四顧，把注意力集中在一片胡蘿卜土地上。她對胡蘿卜的長勢感到驕傲，并且認為需要把它們弄得稀疏些，以保證收獲個頭均勻而且大小合宜的胡蘿卜。她不想讓自然界用胡蘿卜來鑲嵌空間。

她沒有意識到花園中到處是等角螺線。它們存在于雛菊和其他花卉的頭狀花序之中，許多生長著的東西會形成這種螺線，因為它們長大時要保持形狀不變。

氣溫漸漸高了，所以她決定在太陽下山時再繼續作業。同時她作出一個最后的評價──贊美她用心選擇的花卉、菜蔬和其他植物搭配得如此得當。但是她又一次忽略了什么。她的花園充滿著球形、圓錐、多面體和其他幾何形狀，可是她并未覺察到它們。

當自然界在花園中創造著奇跡時，大多數人卻對自然界習以為常。例如在下圖中，人們能在甘藍小花中找到點對稱，在葉中找到線對稱。自然界清楚地知道如何利用有限的材料和空間工作，并產生出最和諧的形式。因此，在春季的每一天，這位園丁都懵懵懂懂地走進她的領地。她要找出每天給她帶來快樂的新的生長和繁盛，卻不注意在她的園地里開放著的美麗的數學鮮花。

分形能表現為對稱地變化、生長的對象，或隨機地非對稱地變化的對象。在任一種情形中，分形都是按照用來描述和支配一個初始對象的生長的一些數學規則和模式而變化的。人們把一個幾何分形看作無盡的生成模式──不斷以較小式樣復制自己的模式。于是當一個幾何分形的一部分被放大時，它看起來恰如原來的式樣。反之，當歐幾里得幾何對象例如圓的一部分被放大時，它看起來就逐漸地不那么彎曲了。蕨類植物是分形復制的理想例子。如果你瞄準分形蕨的任何部分，它看來就像原來的蕨葉。分形蕨可以在計算機上生成。

網絡是把一個問題或狀況用較簡單的圖表現出來的數學圖形。網絡被歐拉用在柯尼斯堡橋問題中。他把這些問題簡化成一個簡單的圖形，經過分析把它解決了。

斐波那契數即 1，1，2，3，5，8，13，21，…。斐波那契（比薩的倫納多）是中世紀的主要數學家之一。雖然他在算術、代數和幾何領域都作出過重大貢獻，但他在今天則僅因這一數列而聞名，這正是他的《算盤書》（Liber Abaci）中一個難題的解。在19世紀，法國數學家愛德華·盧卡斯編的一本娛樂性數學書中有這個問題。斐波那契的名字與這數列聯系起來就在此時。在自然界，這數列出現在下列植物中：

·花瓣數是斐波那契數的花（延齡草、野玫瑰、美洲血根草、大波斯菊、耬斗菜、百合花、蝴蝶花）。

·葉、細枝和莖的排列形式稱做葉序。選擇莖上一片葉子，從它開始數葉片（假定沒有一片折斷），直至與所選葉片在同一直線上的葉片為止。數得的葉片數（所選第一片不計）在許多植物中通常是斐波那契數，例如榆樹、櫻桃樹或梨樹。

·松果數：如果數出松果上的左手和右手螺線，這兩個數往往是相鄰的斐波那契數。對于向日葵和其他花卉的頭狀花序來說，情況也是如此。菠蘿也是一樣。觀察菠蘿的底部，數出由六邊形狀鱗皮組成的左右螺線數。它們應該是相鄰的斐波那契數。

螺線和螺旋線：螺線是出現在自然界許多場所的數學形式，例如提琴頭蕨類植物、藤蔓、貝殼、龍卷風、颶風、松果、銀河、旋渦的曲線。有平坦螺線、三維螺線、右手和左手螺線、等角螺線、對數螺線、雙曲螺線、阿基米德螺線，而螺旋線則是數學所描述的許多螺線類型中的幾種。等角螺線出現在自然界的鸚鵡螺殼、向日葵頭狀花序、圓形織網蛛的網等生長形式中。等角螺線的幾個特性是：螺線切線同螺線半徑所形成的角是全等的（故名等角）；以幾何速率增大，因此任何半徑被螺線分割成的線段形成幾何級數；長大時形狀不變。

漸伸線：當一根繩正沿著另一曲線（這里是圓）繞上或脫下時，它描出一條漸伸線。漸伸線的形狀見于鷹嘴、鯊魚背鰭和棕櫚樹懸葉尖端。

三重聯結：三重聯結是3個線段的交會點，交點處的3個角都是120°。許多自然事件是由于邊界或空間利用率所引起的一些限制而產生的。三重聯結是某些自然事件所趨向的一個平衡點。除了別的場合以外，三重聯結見于肥皂泡群、玉米棒子上谷粒的構成、地面或石塊的裂縫。

對稱：對稱是人們在蝴蝶軀體、葉片形狀、人體結構、圓的完美性中看到和感覺到的完全平衡。從數學的觀點看來，一個對象被認為具有軸對稱的條件是：人們能找到一條線把它分成全同的兩部分，如果有可能沿這線折疊，這兩部分將互相完全重疊。一個對象具有點對稱的條件是：對于一個特定的點，存在著無窮多條這樣的對稱軸，例如一個圓對它的中心點來說具有點對稱。

鑲嵌：鑲嵌一個平面，就是說能用平坦的拼磚覆蓋這個平面，并且拼磚間沒有空隙，也不互相交疊，例如用正六邊形、正方形或其他形狀的拼磚進行的鑲嵌?？臻g的鑲嵌或充填則用立方體或截頭八面體等三維對象。