小波分析在重力學中的應用

關云鵬 張海龍

摘要：本文在介紹小波分析基本理論的基礎上，進一步討論了小波分析在重力學各領域中應用的可能性及其應用前景。

關鍵詞：小波分析 重力學 小波重力模型

引言

近年來，一種被稱為小波變換的數學理論和方法在科學技術界得到了重視。小波變換綜合了三角函數系與Haar系兩者的優點。用小波基來分解任意函數，它具有良好的“變焦”性能。小波分析是一個新的現代分析學如泛函分析、數值分析、Fourier分析、樣條分析等的完善結晶，被譽為“數學顯微鏡”，它是一種窗口大小不變但形狀可變的時頻局部化分析方法。小波變換能將各種交織在一起的不同頻率的混合信號分解成不同頻率的塊信號，因而能有效地用于如信噪分離、編碼解碼、奇異性檢測、壓縮數據、識別模式以及將非線性問題線性化、非平穩過程平穩化等問題[1]。

小波分析是從信號處理中發展起來的，它能從信噪比低的信號中分離出本質的信號，并進行局部放大以便突出信號的特征，因而特別適合信號處理[2]。重力學中許多物理量都是隨時間或空間變化的信號，如重力儀的測試數據、重力與重力場、固體潮、海洋地形、測高衛星軌道及雷達信號等等，故小波分析在重力學中有著廣闊的應用天地。本文選擇重力學中有代表性的問題，討論小波分析應用的可能性及其應用前景。

1. 重力儀測試

重力儀測試的主要任務是：測試重力儀的各項性能指標并提出合理的改正或補償公式，必要時可為儀器進一步校正提供正確的數據依據。儀器測試是一項具有試驗性質的測量，其主要手段是在某一給定的設計環境下獲取試驗數據，通過加工分析數據以達到儀器測試的目的。

目前儀器測試中存在的主要問題是：儀器各項性能的測試指標遠高于實際性能指標，改正公式難以正確合理地給出，甚至改正公式的物理意義也被歪曲，如非線性、周期誤差等的改正公式不正確導致重力儀的實際精度比試驗時低得多。造成這種情況的原因很大程度上是由于試驗數據的獲取方案與分析未能反映測試儀器的真實性能。

試驗數據是一種隨時間或空間變化的信號，而儀器測試就是研究試驗信號的構成及其特征，儀器測試數據分析的主要手段是信號分析，故小波分析完全適合重力儀的測試數據分析。

小波分解可以表達非線性或更復雜的儀器讀數運行方式，因而建立的改正模型可以是任意復雜的形式，小波濾波具有強去噪能力，試驗信號的提取是本質充分的，故對試驗環境下改正模型及儀器性能指標的確定準確可靠。

測定重力儀的周期誤差就是確定頻譜，小波譜是完全局部化的，理論上可抑制混頻現象，準確可靠，優于Fourier譜。它的估計具有強的抗差能力，不受該譜所在時頻窗外試驗信號的測量誤差影響，因而小波譜計算儀器讀數的周期誤差較Fourier譜方法準確可靠。

儀器讀數的穩定性是重力儀性能的重要指標。小波分析能用來檢測儀器讀數系統的不正常行為，小波分析的奇異點定位及奇異度大小的測定功能可分析儀器在讀數系統上的時間或空間的不穩定時刻或位置，測定其不穩定程度如何。用小波分析方法分析測試數據時，測試數據的長度不宜太短。

2. 建立小波重力模型

地面上的重力測量都是在離散點上進行的，且不同區域的重力點密度分布不均勻。內插與推估是由離散點數據獲得地面上任一點數據的基本方法，其實質是運用濾波方法建立反映離散點數據空間相關關系的最佳模型，運用模型求得任一點的估值。

重力異常是地球物理及重力場研究中的重要物理量。最小二乘內插與推估重力異常是以重力異常協方差為唯一依據，而重力異常協方差是人為定義的，不可能全面反映不同重力點重力異常的空間相關性。此外，由于重力異常是由重力觀測值減去該點的正常重力值求得的，而正常重力是由人為確定的橢球基準計算的，因此點與點之間重力異常的局部空間相關性受橢球基準影響而被消弱，不如其重力觀測值的空間相關性更能反映重力的實際變化。總之，人為定義協方差和將重力觀測值轉化為重力異常，都會消弱重力點之間的空間相關性。眾所周知，重力點的空間相關性表現在不同點空間數據的變化之中，其強弱與否，是否反映實際直接關系到內插與推估的精度。這說明用最小二乘法內插與推估未知點的重力異常比將空間相關性隱蔽在重力觀測值的變化之中而先內插與推估未知點的重力值再求得該點的重力異常的精度低。在地球物理勘探中，研究地殼運動規律或資源引起重力變化的機制時都需要研究表層空間的重力變化特征。因而建立地球表層空間小波重力模型對大地測量及地球物理有關問題的研究都是十分重要的。而小波基能用線性方法展開表層空間重力，從而表達任意復雜的空間相關性。

小波變換的時頻局部化分析方法使得表層空間小波重力模型具有一系列優越的性能，如局部誤差抑制能力，有較準確的譜性能，能表達任意復雜的空間相關性等，能將空間任意點重力之間的任意復雜程度的相關系數用小波基展開而作線性化處理因而能很好地表達非線性、非平穩等復雜的空間重力相關關系，從而克服了最小二乘內插與推估中須人為給定模型的形式及定義協方差的重大缺陷等等，因此表層空間小波重力模型本質地反映了表層空間的全部有用信息，因而推估準確可靠。此外，運用模型的奇異性檢測和多分辨分析的功能可以分析局部地形對重力的影響和地球淺層密度不均勻分布的存在性等信息。顯然，表層空間小波重力模型可很好用于地形改正。

3. 地球引力場的小波系數展開

地球引力場的小波系數即位函數的小波變換，因此求引力場小波系數的關鍵是求大地測量邊值問題解的小波變換。我們知道，小波變換的實質是積分變換，而積分變換法可用來求解大地測量邊值問題，有兩個方案：

① 用小波變換法直接求解大地測量邊值問題，所得解的小波變換即是位函數的小波系數。

② 用Fourier變換法求解重力場的邊值問題，利用小波變換與Fourier變換之間的關系求得解的小波變換即位函數的小波系數。

引力場用小波系數展開，就可利用多分辨分析方法來分析引力場在不同尺度下的結構和性質，利用小波變換的奇異性檢測功能來確定重力異常源的分布及異常程度如何，利用小波變換的空頻局部化分析方法分析重力場的空間域及頻率域的精細結構，從而提高重力場理論在地球物理及衛星大地測量學中的地位和作用。將引力場按小波系數展開有可能進一步提高重力場理論及其與地球物理及空間科學相關理論分析和解決問題的能力。

此外，將引力場用小波系數展開可以大幅度提高重力場的分辨率，至于能達到多高的分辨率應以最高分辨率的重力場不失真為原則。

4. 地球內部結構

小波變換的時頻局部化功能決定了小波分析能用來分析引力潮隨時隨地的變化特征，小波分解可將引潮力位分解成分潮波，這種分解具有多尺度分辨能力和奇異性監測功能，分析潮汐的小波結構有可能得到地球內部構造運動的信息及固體地球（包含大氣圈、水圈）對日、月和其它星體引力的內部反響的信息。

將地球引力場用小波級數展開從而分析重力場在不同尺度下的空間結構，有可能得到關于地球內部密度結構在不同尺度下的信息，運用小波分析的奇異性定位與數值測定方法有可能得到一些引力場源分布與重力異常成因的信息。

研究垂線偏差的小波結構有可能得到一些近地面構造和地殼均衡等信息，而空間異常的小波結構可能提供全球性深部構造的信息，布格異常的小波結構可能提供區域性和局部性淺構造的信息。

研究地表重力的小波分量（可由表層空間小波重力模型得到）與對應的大地水準面高小波分量（可由引力場的小波分量求得）之間的關系，有可能會改善地殼均衡模式，有望不通過假設而根據上述關系間接計算地殼均衡。

5. 衛星軌道分析

衛星信號都是隨時間或衛星軌道空間變化的信號。將衛星軌道攝動按小波級數展開可以得到衛星軌道的精細結構，可能會進一步改善軌道信號的濾波、軌道信號的空頻結構分析、揭示各種保守的和非保守的攝動源的存在與影響規律、軌道改進及星歷預報等效果或能力。

將引力場用小波級數展開，有可能進一步改善用衛星大地測量方法研究地球內部密度分布不均勻性、確定重力異常源在地球內部位置的能力，且有可能提高衛星軌道對地球引力場的敏感性，這無疑是令人鼓舞的。

6. 其它

分析地球動力學參數（如歲差、極移和自轉速度變化等）的小波結構有可能得到一些地球內部物質的物理性質，有可能進一步分析這些參數與地震、板塊運動和其它地球物理現象之間可能存在的聯系。

GPS監測網和精密水準被認為是目前用來監測地殼的水平運動和垂直運動最適當的大地測量方法。小波分析可用來處理一次重復監測的地殼變形運動的空間多尺度特征分析與反演和多次重復觀測的隨時間變化的多尺度變形特征分析與因素分析。用它來分析地質構造與異常變形的存在性及活動規律可能有效，分析地殼變形運動的空間多尺度特征有可能得到地殼變形傳遞（空間）與積累（時間）規律。此外，由于小波分析在處理信噪比低的信號時具有抑制噪聲放大本質信號的功能，因此可以在一定程度上提高監測數據在時間或空間尺度上的分辨，而監測數據在時間和空間尺度上的分辨率是監測網的重要性能之一，也是地殼運動監測的關鍵技術。小波分析便適合于地震信號分析。

用小波分析高程時變與重力時變（非潮汐）有可能得到一些關于地下密度場與地殼構造運動的信息，從而有可能為用絕對重力方法建立區域精密高程基準提供可靠的數值依據[3]。

參考文獻：

[1] 崔錦泰．小波分析導論[M]．西安交通大學出版社，1995．

[2] 王建軍．小波分析理論及應用[R]．武漢大學，1992．

[3] 寧津生．地球形狀及外部重力場[M]．測繪出版社，1998.