分類整合思想 破解函數之利器

分類與整合思想不僅是解決數學問題的常用方法，也是其他自然科學和社會科學研究的基本邏輯方法． 高考把對分類與整合思想的考查放在比較重要的位置，并以解答題為主進行考查．

設a>0，討論函數f（x）=lnx+a（1－a）x2－2（1－a）x的單調性．

解析

′（x）=.

當a≠1時，方程2a（1－a）x2－2（1－a）#8226;x+1=0的判別式Δ=12（a－1）a－.

①當00，f′（x）有2個零點，設為x1，x2（應寫成a表示），且0

f（x）在（0，x1）與（x2，+∞）內遞增，在（x1，x2）內遞減；②當≤a<1時，Δ≤0，f（x）在（0，+∞）內遞增；③當a=1時，f′（x）=>0（x>0），f（x）在（0，+∞）內遞增；④當a>1時，Δ>0，f′（x）有2個零點，設為x1，x2，且x1<0

（2010山東）已知函數f（x）=lnx－ax+－1（a∈R）.

（1）當a≤時，討論f（x）的單調性；

（2）略.

點撥

例1及其變式解法的共同點在哪里？如何分類討論？應用了哪些數學思想方法？

解后反思

例1及其變式是一類高考的常見題型——討論含參函數f（x）的單調性.

通常的解法是對函數求導后轉化為求解含參數的二次（或一次）不等式，一般要對二次項系數符號、判別式符號、兩根的大小關系進行分類討論.

主要應用了分類討論與等價轉化的思想.

已知函數f（x）=（x－k）ex.

（1）求f（x）的單調區間；

（2）求f（x）在區間［0，1］上的最小值.

解析

（1）f

′（x）=（x－k+1）ex，可得f（x）的遞減區間是（－∞，k－1）；遞增區間是（k－1，+∞）.

（2）①當k≤1時，函數f（x）在［0，1］上遞增，所以f（x）min=f（0）=－k；②當1

（2010天津文）已知函數f（x）=ax3－x2+1（x∈R），其中a>0.

（1）略；

（2）若在區間－，上，f（x）>0恒成立，求a的取值范圍.

變式解析

討論a值得f（x）min的不同表達式，令f（x）min>0解得a.

點撥

例2及其變式解題的共同之處在哪里？它們為什么要分類討論？如何進行分類討論？

解后反思

例2是利用導數求函數在已知區間上的最值，這也是高考函數題中的重要題型之一.

例2的變式是關于不等式恒成立的問題，也轉化為考查函數在已知區間上的最值.

因為參數不同，所求最值不同而引起討論，討論時按極值點與已知區間的位置關系進行分類.

已知a>0，且a≠1，函數f（x）=loga（1－ax）.

（1）求f（x）的定義域，并判斷f（x）的單調性；

（2）略；

（3）當a=e時，設h（x）=（1－ef（x））#8226;（x2－m+1），若函數h（x）的極值存在，求實數m的取值范圍以及h（x）的極值.

解析

（1）（2）略；

（3）由（1）知f（x）的定義域為（－∞，0），h（x）=ex（x2－m+1）（x<0），h′（x）=ex（x2+2x－m+1），令h′（x）=0，即x2+2x－m+1=0，由題意應有Δ≥0，即m≥0.

①當m=0時，h′（x）=0有實根x=

－1，在點左、右兩側均有h′（x）>0，故h（x）無極值；②當0

－1－，可解得h（x）的極大值為2e-1-（1+）.

綜上所述m>0（以下略）.

（2０0８福建文）已知函數f（x）=x3+mx2+nx－2的圖象過點（-1，-6），且函數g（x）=f

′（x）+6x的圖象關于y軸對稱.

（1）求m、n的值及y=f（x）的單調區間；（2）若a＞0，求y=f（x）在區間（a－1，a+1）內的極值.

點撥

例3及其變式如何進行分類討論？分析例3與例2解法的異同點.

解后反思

例3及其變式都是用求導及分類討論的方法求函數的極值，由于函數含參數或定義域含參數而引起討論.

例3與例2的相同點在于分類時都是討論極值點與給定區間的位置關系，而區別在于最值除可能在極值點取得外，也可在區間端點取得.

已知函數f（x）=+，曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程為x+2y－3=0.

（1）求a，b的值；

（2）證明：當x>0，且x≠1時，f（x）>.

解析：（1）略.

（2）由（1）知f（x）=+，所以f（x）－=2lnx－，設函數h（x）=2lnx－（x>0），則h′（x）=

－，所以當x≠1時，h′（x）<0，而h（1）=0，故當x∈（0，1）時，h（x）>0，因此h（x）>0；當x∈（1，+∞）時，h（x）<0，因此h（x）>0，所以原命題成立.

（2011陜西文）設f（x）=lnx，g（x）=f（x）+f

′（x）．

（1）略；

（2）討論g（x）與g的大小關系（本小題解法與例4（2）類似）；

（3）略.

2010全國卷Ⅱ22（1）改編：設函數f（x）=1－e-x，g（x）=，比較f（x）與g（x）的大小.

點撥

分析例4及變式，它們應用了哪些數學思想方法？并說明用構造函數法解此類題的一般步驟.

解后反思

例4及其變式是證明含一元變量的不等式（或比較兩個函數大小）的問題，應用了函數思想的思想方法，解決此類問題一般用構造函數法：作差（使不等式右邊為0）→變形→構造新函數→求導→判斷該函數單調性→討論函數值的正負…

已知函數f（x）=ax++c（a>0）的圖象在點（1，f（1））處的切線方程為y=x-1.

（1）用a表示出b，c；

（2）若f（x）≥lnx在［1，+∞）上恒成立，求a的取值范圍；

（3）略.

解析：（1）略；

（2）由（1）知，f（x）=ax++1－2a，令g（x）=f（x）－lnx=ax++1－2a－lnx，x∈［1，+∞），則g（1）=0.

g′（x）=.

①當01，若11，則g′（x）>0，g（x）是增函數，所以g（x）>g（1）=0，即f（x）>lnx.

綜上所述，a≥.

（2011全國理）已知函數f（x）=+，曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程為x+2y－3=0.

（1）求a，b的值；

（2）如果當x>0，且x≠1時，f（x）>+，求k的取值范圍.

分析例5及其變式，此類題有共性嗎？解法有共性嗎？請比較例4、例5兩類題解法的異同點.

解后反思

例5及其變式是一類題型：把問題轉化為已知一個含參數的一元不等式恒成立，求參數的取值范圍.

這類題解法的一般步驟是：作差（使不等式右邊為0）→變形→構造新函數→求導數→討論該函數的單調性→討論函數值的正負（或求函數的最值（或確界），令最值（或確界）與0滿足一種大小關系）→確定參數取值范圍.

此類題中有些題解法不唯一.

在高三復習的最后階段，我們可采取類比同類問題的解法、歸納解題規律的方式，此法可使我們的復習事半功倍.