一道解幾題的求解之路

幾乎所有的考生都害怕解析幾何，但解析幾何是每年必考的題，看來突破解析幾何這一瓶頸便成了一大重點(diǎn).仔細(xì)分析每年的高考題，我們會發(fā)現(xiàn)解析幾何題具有很強(qiáng)的規(guī)律性，在每一個題中總是若隱若現(xiàn)地出現(xiàn)那種“看似無形卻有形，猶抱琵琶半遮面”的情景，與其大量地去做題，把自己累得喘不過氣來，還不如對每一個題都認(rèn)真分析一番，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，找到共性，這才是事半功倍的做法．

題目：已知定點(diǎn)A（－1，0），F(xiàn)（2，0），定直線l：x=，不在x軸上的動點(diǎn)P與點(diǎn)F的距離是它到直線l的距離的2倍．設(shè)點(diǎn)P的軌跡為E，過點(diǎn)F的直線交E于B，C兩點(diǎn)，直線AB，AC分別交l于點(diǎn)M，N．

（1）求E的方程；

（2）試判斷以線段MN為直徑的圓是否過點(diǎn)F，并說明理由．

該題為2010年高考四川卷第20題，文理相同，第1問是以人教社A版選修2－1P59例題5改編的，第2問是圓錐曲線的一個性質(zhì)，帶有數(shù)學(xué)探究的意味，考查解析幾何的通性通法，考查直線、軌跡方程、雙曲線的定義以及直線與雙曲線的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查平面解析幾何的思想方法和推理運(yùn)算能力．

解法探究

第1問入手容易，我們很快給出了答案x2－=1（y≠0），但多數(shù)同學(xué)漏掉了y≠0，這是我們在求解軌跡問題時容易犯的錯誤，復(fù)習(xí)中應(yīng)予以重視．

對于第2問，同學(xué)們感覺問題比較熟悉，是一個直線與雙曲線位置關(guān)系的綜合問題，求解的基本思路是：將直線方程代入雙曲線方程，圍繞所得的一元二次方程的根，運(yùn)用“設(shè)而不求、整體代入”的思路來解決．

思考：對于待證結(jié)論“以線段MN為直徑的圓是否過點(diǎn)F”，如何轉(zhuǎn)化？

回答：轉(zhuǎn)化為⊥，即#8226;=0．

順著這一頗為自然的思路走下來，有了下面的解法，只是運(yùn)算比較煩瑣．

解法1：①當(dāng)直線BC與x軸不垂直時，設(shè)BC的方程為y=k（x－2）（k≠0），與雙曲線x2－=1聯(lián)立消去y，得（3－k2）x2+4k2x－（4k2+3）=0．由題意知3－k2≠0且Δ>0，設(shè)B（x1，y1），C（x2，y2），則x1+x2=，x1x2=，

y1y2=k2（x1－2）（x2－2）=k2［x1x2－2（x1+x2）+4］=k2-+4=－．因?yàn)閤1，x2≠－1，所以直線AB的方程為y=（x+1），M點(diǎn)的坐標(biāo)為，，=-，，同理可得，=-，．因此#8226;=-2+=+=0．

②當(dāng)直線BC與x軸垂直時，方程為x=2，則B（2，3），C（2，－3），AB的方程為y=x+1，因此M點(diǎn)的坐標(biāo)為，，=－，，同理可得=－，-，因此#8226;=0．

綜上#8226;=0，即⊥．故以線段MN為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)F．

反思：在研究直線與圓錐曲線位置關(guān)系的問題時，若用點(diǎn)斜式和斜截式方程，要考慮斜率是否存在．若不能判斷，則要討論；也可以改變直線方程的形式，避免討論．

如上所述，我們得解法2，根據(jù)題目條件可設(shè)直線BC方程為x=ty+2．

解法2：因?yàn)橹本€BC與x軸不平行，故可設(shè)直線BC的方程為x=ty+2，聯(lián)立方程x2－=1，x=ty+2，消去x，整理得（3t2－1）y2+12ty+9=0．設(shè)B（x1，y1），C（x2，y2），則y1+y2=－，y1y2=，x1+x2=－，x1x2=－．由解法1，#8226;=+=+=0，綜上，#8226;=0，即FM⊥FN．故以線段MN為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)F．

至此，問題雖得到解決，解法2較解法1有所改進(jìn)，但本質(zhì)沒變．

著名的數(shù)學(xué)教育家波利亞說過：“沒有一道題是可以解決得十全十美的，總剩下些工作要做，經(jīng)過充分的探討與鉆研，總會有點(diǎn)滴的發(fā)現(xiàn)，總能改進(jìn)這個解答，而且在任何情況下，我們能提高自己對這個解答的理解水平．”

對于問題，一定要對條件、結(jié)論進(jìn)行分析、研究和轉(zhuǎn)化，從不同的角度和層面去認(rèn)識它．我們已經(jīng)將結(jié)論“以線段MN為直徑的圓是否過點(diǎn)F”轉(zhuǎn)化為#8226;=0，那么結(jié)合題目條件和圖形特征，能進(jìn)行不同的轉(zhuǎn)化嗎？

注意到A，F(xiàn)關(guān)于直線l對稱，結(jié)合雙曲線的對稱性，要證⊥，只需證AM⊥AN，即AB⊥AC．

解法3：由解法2得，y1+y2=－，y1y2=，#8226;=（x1+1）#8226;（x2+1）+y1y2=（ty1+3）#8226;（ty2+3）+y1y2=（t2+1）y1y2+3t（y1+y2）+9=++9=0，所以AB⊥AC，即AM⊥AN．又A，F(xiàn)關(guān)于直線l對稱，所以∠MFN=90°．故以線段MN為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)F．

既然只需證AB⊥AC，設(shè)BC的中點(diǎn)為Q，利用直角三角形的性質(zhì)，只需證明BC=2AQ．

解法4：由解法3，并設(shè)BC的中點(diǎn)為Q（x0，y0），則y0==－，x0=ty0+2=－，AQ2=（x0+1）2+y20=，BC2=（t2+1）［（y1+y2）2－4y1y2］=，所以BC=2AQ，所以AB⊥AC，即AM⊥AN．又A，F(xiàn)關(guān)于直線l對稱，所以∠MFN=90°．故以線段MN為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)F．

解法4中出現(xiàn)了弦的中點(diǎn)，對于涉及弦的中點(diǎn)的問題，都可以用點(diǎn)差法來解決，此題能用嗎？由此得到解法5．

解法5：設(shè)B（x1，y1），C（x2，y2），BC的中點(diǎn)為Q（x0，y0），則x21－=1，x22－=1，兩式相減，得#8226;=3，從而k=kBC===（x0≠2）．因此，y20=3x20－6x0，此式對x0=2也成立．AQ2=（x0+1）2+y20=（x0+1）2+3x20－6x0=（2x0－1）2．設(shè)B，C到直線l的距離為d1，d2，則易得2d1=2x1－1，2d2=2x2－1，BC2=（2d1+2d2）2=（2x1－1+2x2－1）2=4（2x0－1）2，所以BC=2AQ，所以AB⊥AC．又A，F(xiàn)關(guān)于直線l對稱，所以∠MFN=90°．故以線段MN為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)F．

大多數(shù)解析幾何問題最終都被轉(zhuǎn)化成了代數(shù)問題，因此運(yùn)算量大．解析幾何的本質(zhì)是用代數(shù)方法研究幾何問題，更是數(shù)與形的統(tǒng)一、代數(shù)與幾何的結(jié)合，因此，充分挖掘題目中所蘊(yùn)涵的幾何特征，靈活運(yùn)用曲線的定義、性質(zhì)等知識，也會大大地簡化運(yùn)算，優(yōu)化解題過程．那么，此題可以用幾何方法來證明嗎？另外此題中涉及雙曲線第二定義，第二定義在此題中作用何在，難道僅僅是為了給出雙曲線的方程嗎？請同學(xué)們想一想．

經(jīng)過思考，借助前面提到的A，F(xiàn)關(guān)于直線l對稱，有如下解法．

解法6：如圖1，過點(diǎn)B作準(zhǔn)線l的垂線交FM的延長線于點(diǎn)D．過C作準(zhǔn)線l的垂線交FN的延長線于點(diǎn)E．所以∠MFA=∠BDF，∠NFA=∠CEF．

圖1

因?yàn)锳，F(xiàn)關(guān)于直線l對稱，所以B，D關(guān)于直線l對稱，C，E關(guān)于直線l對稱．由已知FB，F(xiàn)C為B，C到直線l距離的2倍．所以FB=BD，F(xiàn)C=CE，所以∠BDF=∠BFM，∠CEF=∠CFN．所以∠MFA=∠BFM，∠NFA=∠CFN．因?yàn)椤螹FA+∠BFM+∠NFA+∠CFN=180°，所以∠MFA+∠NFA=90°，即∠MFN=90°，所以以線段MN為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)F．

結(jié)合圖形，如果能證明NF平分∠AFC，F(xiàn)M平分∠AFB，由∠AFC+∠AFB=180°可得∠MFN=90°．

要證NF平分∠AFC，根據(jù)角平分線定理，只需證=，為此過C作CC1⊥l，垂足為C1，利用雙曲線第二定義及平行線的性質(zhì)可得到結(jié)論．

解法7：如圖2過B作BB1⊥l，垂足為B1，過C作CC1⊥l，垂足為C1，則CC1∥x軸，所以=．

圖2

由雙曲線第二定義可知，=，所以=，所以FN平分∠AFC．同理，F(xiàn)M平分∠AFB．又∠AFC+∠AFB=180°，所以∠MFN=90°，故以線段MN為直徑的圓必經(jīng)過右焦點(diǎn)F．

反思、提煉

在數(shù)學(xué)上，遇到一個真正觸及數(shù)學(xué)本質(zhì)的題目時，要停下匆匆的腳步，認(rèn)真感悟一下，欣賞一下，這樣在你的頭腦中會留下很多的沉淀．當(dāng)類似的情況在今后再發(fā)生的時候，你的沉淀迅速地激活，你的思路大開，便多了很多幫手．接下來讓我們對上述解法進(jìn)行總結(jié)，理清思路、提升認(rèn)識．

解法1、2由以線段MN為直徑的圓必經(jīng)過右焦點(diǎn)F，得到⊥，即#8226;=0出發(fā)，這是解析問題的常規(guī)做法，是我們必須要掌握的方法．

解法3、4、5的關(guān)鍵是能得到A，F(xiàn)關(guān)于直線l對稱，但有局限，是針對此題的一種特殊解法，但能起到簡化運(yùn)算的作用．

解法6、7充分挖掘題目中所蘊(yùn)涵的幾何特征，靈活運(yùn)用曲線的定義、性質(zhì)等知識，揭示了問題的幾何本質(zhì)，證法簡潔漂亮，值得我們深思．

變式、拓展和推廣

對一個數(shù)學(xué)問題的探究思考，最基本的切入點(diǎn)就是要對題目的條件和結(jié)論加以多角度的思考，對問題進(jìn)行推廣、變式、拓展．為此，提出以下問題，供同學(xué)們課后研究．

問題1：能將此題一般化并推廣到圓、橢圓、拋物線中去嗎？給出解答．

問題2：根據(jù)此題條件，編擬新的題目并給出解答．