展望2012自主招生試題

證明你的結論．

破解 沒有．

法一 f（x）－x=ax2+（b－1）x+c=0無實數根，Δ=（b－1）2－4ac<0；f（f（x））－x=0，a（ax2+bx+c）2+b（ax2+bx+c）+c－x=0，a（ax2+bx+c）2－ax2+ax2+b（ax2+bx+c）+c－x=0．

a（ax2+bx+c－x）（ax2+bx+c+x）+（b+1）ax2+（b2－1）x+c（b+1）=0．

a［ax2+（b－1）x+c］［ax2+（b+1）x+c］+（b+1）［ax2+（b-1）x+c］=0．

［ax2+（b-1）x+c］［a2x2+a（b+1）x+b+ac+1］=0．

于是有ax2+（b－1）x+c=0或a2x2+a（b+1）x+ac+b+1=0．

Δ1=（b－1）2－4ac<0

Δ2=a2（b+1）2－4a2（ac+b+1）=a2［（b－1）2－4ac－4］<－4a2<0．

故均不存在實數根．

法二 若a>0，則f（x）>x（若存在x，使f（x）≤x，則由于y=f（x）的圖象是開口向上的拋物線，因此，必存在x， 使f（x）>x，于是f（x）=x有實數根，矛盾），于是f（f（x））>f（x）>x；

若a<0，則f（x）f（f（x））

+xy；

（2）1+xy+x2y2．

破解 （1）1+xy=1·1+x·y，其中a（x）=1，b（y）=1，c（x）=x，d（y）=y，所以1+xy是P類函數．

（2）1+xy+x2y2不是P類函數． 理由：若1+xy+x2y2是P類函數，那么a（x），c（x）與b（y），d（y）的最高次數都不應該超過兩次，否則，a（x）與b（y）、c（x）與d（y）乘積中次數高于2次的對應項系數之和為0，從而可得：a（x）與c（x）的對應項系數成比例（或者是b（y）與d（y）的對應項系數成比例）． 這樣，1+xy+x2y2=p（x）q（y），而這是不可能的． 證法與下面的一樣． 故可知a（x），c（x），b（y），d（y）的次數都不超過兩次．

設1+xy+x2y2=（a1x2+a2x+a3）（b1y2+b2y+b3）+（c1x2+c2x+c3）（d1x2+d2x+d3）展開后，由對應項的系數相等可得：

a1b1+c1d1=1，a1b2+c1d2=0，a1b3+c1d3=0，a2b2+c2d2=1，a2b1+c2d1=0，a2b3+c2d3=0，a3b1+c3d1=0，a3b2+c3d2=0，a3b3+c3d3=1，所以b1，b2，b3與d1，d2，d3對應成比例，這樣就有1+xy+x2y2=（e1x2+e2x+e3）（f1x2+f2x+f3），于是有e1f1=1，e2f2=1，e3f3=1和e1f2=0，e1f3=0，e2f1=0.因為當e1f2=0時，e1=0或f2=0，這和e1f1=1及e2f2=1相矛盾． 從而知1+xy+x2y2不是P類函數．

評注 在對1+xy+x2y2是否為P類函數的判斷中，兩次采用了反證法．