計數原理

１． 計數原理的重點

（1）理解分類計數與分步計數的基本概念及適用范圍；

（2）能夠熟練運用排列、組合公式解決問題；

（3）掌握解排列、組合問題的常規技巧，能舉一反三；

（4）熟練運用二項展開式的通項公式求特定項及特定項的系數．

２． 計數原理的難點

（1）排列、組合的綜合應用，解題方法的靈活多變；

（2）有序還是無序問題的區別，解答方法的選擇依據；

（3）平均分組問題易混淆，要遵循先分組后排列的原則；

（4）多項展開式的特定項系數問題以及系數最大項問題．

1． 排列問題

（1）特殊元素優先排，特殊位置優先排；（2）相鄰問題利用捆綁法；（3）不相鄰問題利用插空法；（4）正難則反問題利用間接法．

2． 組合問題

（1）平均分組問題利用除法；（2）非均勻分組問題利用閘板法；（3）遵循先選后排的解答順序．

3． 二項式定理

（1）利用通項公式求特定項及其系數；（2）利用排列組合知識求系數；（3）利用賦值法求系數和．

如圖1，在某城市中，M，N兩地之間有整齊的道路網，若規定只能向東或向北兩個方向沿圖中路線前進，則從M到N的不同走法共有（ ）

Ａ． 25種

Ｂ． 15種

Ｃ． 13種

Ｄ． 10種

思索 從圖中可以看出要從M到N，無論哪條線路都必須經過中間的“路口”，而中間有5個這樣的“路口”，所以可以從經過“路口”的多少來分類解決．

破解 設“路口”為A1，A2，A3，A4，A5． 由M經過一個“路口”到N的方案有5種；由M經過兩個“路口”到N的方案有4種；由M經過三個“路口”到N的方案有3種；由M經過四個“路口”到N的方案有2種；由M經過五個“路口”到N的方案有1種． 由分類計數原理知共有15種，故選B．

用1、2、3、4、5、6組成六位數（沒有重復數字），要求任何相鄰兩個數字的奇偶性不同，且1和2相鄰，這樣的六位數的個數是_____．

思索 一方面此題有相鄰元素，所以首先考慮捆綁法，其次有不完全相鄰元素需要考慮插空法；另一方面考慮到此題元素總數不多，因此也可以利用兩個計數原理解決．