二輪復習之三角與向量突破

三角函數是高考中的必考內容，隨著近年新課標的推進，試題中有關三角函數與其他知識相結合的考查也越來越多，如三角函數與平面向量、解析幾何、函數、導數、解三角形、數列等知識點的結合．本文就將從幾個常見的方面，對該類問題的解題方法進行相關總結．

1． 串聯情況：三角函數與平面向量的結合是一種最為常見的結合方式，每年的高考中都會有所體現，主要涉及向量的數量積、同角三角函數關系、兩角和差公式等有關知識．

2． 考情分析：三角函數與平面向量的結合在每年的高考試題中均會涉及，多作為填空題、選擇題或者解答題的第一題出現，難度不大，答題格式也較為固定

3． 破解技巧：此類問題通常以平面向量作為有關信息的載體，給出三角函數問題的某些限制條件，從而進一步解決有關三角函數的求值或求取值范圍問題．

4． 經典例題：

已知向量a=cosx，sinx，b=cos，－sin，x∈0，．

（1）用x的式子表示：a#8226;b及a+b；

（2）求函數f（x）=a#8226;b－4a+b的值域．

破解思路 本題以平面向量的數量積為結合點，得到一個具體的三角函數表達式，進而求解其值域．

經典答案 （1）a#8226;b=cosxcos－sinxsin=cos2x，a+b2=1+2cos2x+1=2（1+cos2x）=4cos2x，所以a+b=2cosx，x∈0，．

（2）f（x）=a#8226;b－4a+b=cos2x－8cosx=2cos2x－8cosx－1=2（cosx－2）2－9．

又x∈0，，所以cosx∈［0，1］，故f（x）∈［－7，－1］．

如圖1，梯形ABCD中，AD∥BC，AD⊥AB，AD=1，BC=2，AB=3，P是AB上的一個動點，∠CPB=α，∠DPA=β．

（1）當#8226;最小時，求tan∠DPC的值；

（2）當∠DPC=β時，求#8226;的值．

圖1

破解思路 本題以平面圖形為背景，考查三角和向量的相關知識，新穎別致． 坐標系的建立突破了向量表示的難點，有效降低試題難度，提高解題效率．

經典答案 （1）以A為原點，AB所在直線為x軸，建立如圖1所示的直角坐標系，則A（0，0），B（3，0），C（3，2），D（0，1）. 令P（x，0），0≤x≤3，有=（-x，1），=（3-x，2），所以#8226;=x2-3x+2=x-2-. 當x=時，#8226;最小，此時P，0． 在△CPB中，tanα=，在△DPA中，tanβ=，所以tan∠DPC= tan（π-α-β）=-tan（α+β）== -18．

（2）由（1）知，P（x，0），#8226;=x2-3x+2，tanα=，tanβ=． 因為∠DPC=β，所以α=π-2β，tanα= -tan2β=，所以代入各值并整理得x=，此時#8226;=．

1． 串聯情況：三角函數本就是函數，三角函數與函數的結合在考查中主要體現為對函數性質的考查，或者可以經過換元后，將問題轉化為基本初等函數研究． 如單調性、取值范圍、恒成立等常見問題．

2． 考情分析：此類問題也是必考知識點，多在填空題、選擇題中出現，若單純考查三角函數的有關性質，則難度較低，但是與其他函數結合考查性質時，往往會有一定的難度．

3． 破解技巧：該類問題的突破點在于三角函數的性質與函數性質的聯系，恰當運用換元法可使問題簡化．

4． 經典例題：

已知：定義在（－∞，4］上的減函數f（x），使得f（m－sinx）≤f（－+cos2x）對一切實數x均成立，求實數m的取值范圍．

破解思路 利用三角函數的值域來求解變量的取值范圍，是較為常見的解題思路，在利用單調性列出不等式時，不能忘記函數的定義域．

經典答案 由題意可得m－sinx≥－+cos2x，m－sinx≤4，即m－≥－sin2x+sinx－，m≤4+sinx對x∈R恒成立．

又－sin2x+sinx－=－sinx－－，4+sinx≥3，所以m－≥－，m≤3，所以m+≥，m≤3，所以m=－或≤m≤3．

函數y＝sinα＋cosα－4sinαcosα＋1，且＝k，<α≤，

（1）把y表示成k的函數f（k）；

（2）求f（k）的最大值．

破解思路 第一問的本質是對含有sinα＋cosα和sinαcosα結構的三角函數式的化簡；第二問在通過換元后，其本質就是給定區間上的二次函數問題．

經典答案 （1）因為k＝＝＝＝2sinαcosα，所以（sinα＋cosα）2＝1＋2sinαcosα＝1＋k．

因為<α≤，所以sinα＋cosα>0，所以sinα＋cosα＝，所以y＝－2k＋1．

由于k＝2sinαcosα＝sin2α，<α≤，<α≤π，所以0≤k<1．

所以f（k）＝－2k＋1（0≤k<1）．

（2）設＝t，則k＝t2－1，1≤t<，所以y＝t－（2t2－2）＋1，即y＝－2t2＋t＋3（1≤t<）．

因為關于t的二次函數在區間［1，）內是減函數，所以t＝1時，y取最大值為2．

已知f（x）=4msinx－cos2x（x∈R）．

（1）若m=0，求f（x）的單調遞增區間；

（2）若f（x）的最大值為3，求實數m的值．

破解思路 本題第1問的本質是對y=Asin（ωx+φ）單調性的研究；第2問通過換元后，將其轉化為給定區間上的二次函數問題．

經典答案 （1）當m=0時， f（x）= －cos2x. 令2kπ≤2x≤2kπ+π（k∈Z），得kπ≤x≤kπ+（k∈Z），因此f（x）= －cos2x的單調增區間為kπ，kπ+（k∈Z）.

（2）f（x）=4msinx－cos2x=2sin2x+4msinx－1=2（sinx+m）2－（2m2+1）． 令t=sinx，則g（t）=2（t+m）2－（2m2+1）（－1≤t≤1）．

①若－m≤0，則在t=1時，g（t）取最大值1+4m. 由1+4m=3，

－m≤0得m=；

②若－m>0，則在t=－1時，g（t）取最大值1－4m. 由1－4m=3，

－m>0得m=－；綜上，m=±.

已知a為實數，函數f（θ）=sinθ+a+3，g（θ）=（θ∈R）．

（1）若f（θ）=cosθ，試求a的取值范圍；

（2）若a>1，求函數f（θ）+g（θ）的最小值．

破解思路 運用分離變量的方法將第1問轉化為三角函數的值域問題. 分離變量的方法是高中求字母取值范圍最好的方法. 第2問通過換元轉化為運用基本不等式求最值的問題，應特別注意等號成立的條件，必要時應進行適當的分類討論．

經典答案 （1）f（θ）=cosθ，即sinθ-cosθ=-3-a. 又sinθ-cosθ=sinθ-，所以-≤a+3≤，從而a的取值范圍是［-3-，-3+］．

（2）f（θ）+g（θ）=（sinθ+1）++a+2. 令sinθ+1=x，則01，所以h（x）≥2+a+2，當且僅當x=時，等號成立，由≤2得a≤，所以當1

下面求當a>時，函數h（x）的最小值． 當a>時，>2，求導可得函數h（x）在（0，2］上為減函數． 所以函數h（x）的最小值為h（2）=．

綜上，當1時，函數f（θ）+g（θ）的最小值是．

1． 串聯情況：三角函數與數列的結合，現在越來越常見，此類問題多以數列問題為主要問題，三角函數只是作為影響其的一個因素．

2． 考情分析：此類問題是三角函數與其他知識結合考查的一個新的方向，有一定新意，屬于中檔題，對能力要求較高．

3． 破解技巧：此類問題以三角函數給出數列問題中的相關條件，往往看起來較為煩瑣，突破點在于抓住數列問題的本質，弄清三角函數在題目中所起的作用，解決此類問題仍舊是“有法可依”．

4． 經典例題：

已知數列｛an｝（n∈N）滿足：a1=1，an+1－sin2θ#8226;an=cos2θ#8226;cos2nθ，其中θ∈0，．

（1）當θ=時，求｛an｝的通項公式；

（2）在（1）的條件下，若數列｛bn｝中，bn=sin+cos（n∈N，n≥2），且b1=1，求證：對于n∈N，1≤bn≤恒成立；

（3）對于θ∈0，，設｛an｝的前n項和為Sn，試比較Sn+2與的大小．

破解思路 本題實際研究數列的通項以及證明有關數列的不等式，涉及不等式、恒成立等常見數列不等式問題的處理方法．

經典答案 （1）當θ=時，sin2θ=，cos2θ=0，所以an+1－an=0，即=.

故數列｛an｝是首項為a1=1，公比為的等比數列． 數列｛an｝的通項公式為an=．

（2）由（1）得，an=，所以當n∈N，n≥2時，有bn=sin+cos=sin#8226;+cos#8226;=sin+cos=sin+，b1=1也滿足上式，故當n∈N時，bn=#8226;sin+.

因為n∈N，所以0<≤，<+≤，所以1≤#8226;sin+≤，即1≤bn≤．

（3）由an+1－sin2θ#8226;an=cos2θ#8226;cos2nθ得an+1－sin2θ#8226;an=（cos2θ－sin2θ）#8226;cos2nθ，所以an+1－cos2n+2θ=（an－cos2nθ）sin2θ，即=sin2θ，所以｛an－cos2nθ｝是首項為a1－cos2θ=1－cos2θ=sin2θ，公比為sin2θ的等比數列，故an－cos2nθ=sin2nθ，所以an=cos2nθ+sin2nθ，所以Sn=a1+a2+…+an=（cos2θ+cos4θ+…+cos2nθ）+（sin2θ+sin4θ+…+sin2nθ）=. 因此，Sn+2－＝+2－＝

＝＝－<0，所以Sn+2＜．

1． 串聯情況：三角函數與導數的結合主要體現在用導數研究三角函數的單調性，求三角函數的導函數，以及求三角函數某點處的切線方程等．

2． 考情分析：三角函數與導數結合考查的問題逐步增多，但三角函數只是作為其中的組成要素之一，其本質是導數問題，此類問題往往解題方向較為明確，屬于中檔題．

3． 破解技巧：解決此類問題要熟記三角函數的有關導函數公式，用導數求切線方程的一般方法，以及利用導數處理極值、最值、單調性問題的一般步驟．

4． 經典例題：

已知函數f（x）=4x3－3x2sinθ+的極小值大于零，其中x∈R，θ∈［0，π］．

（1）求θ的取值范圍；

（2）若在θ的取值范圍內的任意θ，函數f（x）在區間（2a－1，a）內都是增函數，求實數a的取值范圍．

破解思路 本題實際是研究函數的極值及單調性問題，三角函數是其中的一個組成部分．

經典答案 （1）f ′（x）=12x2－6xsinθ，令f ′（x）=0，得x1=0，x2=．

函數f（x）存在極值，sinθ≠0，由θ∈［0，π］，只需考慮sinθ>0的情況．

當x變化時， f ′（x）的符號及f（x）的變化情況如表1：

表1

因此，函數f（x）在x=處取得極小值f，且f=－sin3θ+．

要使f>0，必有－sin3θ+>0，可得0

（2）由（1）知，函數f（x）在區間（－∞，0）與，+∞內都是增函數．

由題設，函數f（x）在（2a－1，a）內是增函數，則a須滿足不等式組2a－1

因為0

1． 串聯情況：三角函數與解三角形的結合是一種必然，解三角形問題往往利用正弦定理和余弦定理進行求解，三角函數在其中所體現的作用是：通過具體的三角函數值，確定三角形中角的大小；在一些實際應用問題中，通過角的變化控制相關值的變化．

2． 考情分析：此類問題屬于必考知識點，大題、小題均有涉及，但由于其解題工具（正弦定理、余弦定理）相對單一，所以操作性較強，難度不是很大．

3． 破解技巧：熟練掌握正弦定理和余弦定理，同時掌握處理面積、角度以及實際應用問題的方法．

4． 經典例題：

如圖2，在四邊形ABCD中，AD=8，CD=6，AB=13，∠ADC=90°，且#8226;=50．

（1）求sin∠BAD的值；

（2）設△ABD的面積為S△ABD，△BCD的面積為S△BCD，求的值．

圖2

破解思路 本題利用正弦定理表示面積，以及利用數量積求出相關角的余弦值，通過對實際問題的分析，得到有關問題的求解思路.

經典答案 （1）在Rt△ADC中，AD=8，CD=6，則AC=10，cos∠CAD=，sin∠CAD=．

又#8226;=50，AB=13，所以cos∠BAC==．

因為0°<∠BAC<180°，所以sin∠BAC=．

所以sin∠BAD=sin（∠BAC+∠CAD）=．

（2）S△BAD=AB#8226;AD#8226;sin∠BAD=，S△BAC=AB#8226;AC#8226;sin∠BAC=60，S△ACD=24，則S△BCD=S△ABC+S△ACD－S△BAD=，所以=．

在△ABC中，BC＝，AC＝3，sinC＝2sinA．

（1）求AB的值；

（2）求sin2A－的值．

破解思路 本題利用正弦定理找到邊與角之間的關系，再利用余弦定理找出對應角的三角函數值． 熟知正、余弦定理在解決三角形問題中的相關作用，是快速準確解決該類問題的關鍵．

經典答案 （1）在△ABC中，根據正弦定理，＝．于是AB＝BC＝2BC＝2．

（2）在△ABC中，根據余弦定理，得cosA＝＝．

于是sinA＝＝． 從而sin2A＝2sinAcosA＝，cos2A＝cos2A－sin2A＝．

所以sin2A－＝sin2Acos－cos2Asin＝．

在平面四邊形ABCD中，AB=AD=1，∠BAD=θ，而△BCD是正三角形．

（1）將四邊形ABCD面積S表示為θ的函數；

（2）求S的最大值及此時θ角的值．

破解思路 第1問可利用正弦定理求面積；第2問通過對問題的分析，可得到相關三角函數的表達式，進而將問題轉化為三角函數的最值問題.

經典答案 （1）△ABD的面積S1＝sinθ. 因為△BCD是正三角形，則△BCD的面積S2＝BD2． 在△ABD中，由余弦定理可知BD2＝12＋12－2×1×1×cosθ＝2－2cosθ． 于是四邊形ABCD面積S＝sinθ＋（2－2cosθ），S＝＋sinθ-，其中0<θ<π．

（2）S＝＋sinθ-，由0<θ<π得－<θ－<． 當θ－＝時，S取得最大值1＋，此時θ＝．

1． 串聯情況：三角函數與實際問題相結合是近年來高考應用題考查的熱點，通過設角將實際問題轉化為三角函數最值問題，再運用化簡、求導或基本不等式等方法求出最值．

2． 考情分析：近年高考中，對應用能力的考查越來越多，與三角函數相關的應用題也每年都有，多以填空題或解答題的形式出現，有一定難度，對能力要求較高．

3． 破解技巧：讀懂題意，恰當設角，列出相關函數表達式，最后求出相關最值．

4. 經典例題：

如圖3，開發商欲對邊長為1 km的正方形ABCD地段進行市場開發，擬在該地段的一角建設一個景觀，需要建一條道路EF（點E，F分別在BC，CD上），根據規劃要求△ECF的周長為2 km．

（1）設∠BAE=α，∠DAF=β，試求α+β的大小；

（2）欲使△AEF的面積最小，試確定點E，F的位置．

圖3

破解思路 將實際問題轉化為數學模型，列出相關函數關系，化簡函數，求出最值．

經典答案 （1）設∠BAE=α，∠DAF=β，CE=x，CF=y（0

（2）由（1）知，S△AEF=AE#8226;AF#8226;sin∠EAF=AE#8226;AF=#8226;#8226;=#8226;====．

因為0<α<，所以2α+=，即α=時，△AEF的面積最小，最小面積為－1．

因為tan=，所以tan=－1，故此時BE=DF=－1，所以，當BE=DF=－1時，△AEF的面積最小．

三角函數在高考中每年必考，且難度不大，因此熟練掌握相關性質，靈活運用有關公式，是解決此類問題的關鍵；同時要注意應用數形結合等思想方法來解決問題．