數(shù)列求和型不等式解法揭秘

數(shù)列與不等式均是高中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn)，在高考中都占有較大的比重，常綜合在一起進(jìn)行考查，并以壓軸題的形式出現(xiàn)． 數(shù)列求和型不等式便是高考數(shù)學(xué)壓軸題經(jīng)常出現(xiàn)的問題，因此對其進(jìn)行解題研究就顯得非常必要．

通常情況下，放縮法常常被用于解決數(shù)列求和型不等式問題．其求解途徑一般有兩條：一是先求和再放縮，二是先放縮再求和． 對于第一種途徑，需要該數(shù)列的前n項(xiàng)和能直接求出，或者通過變形后求出． 求和過程中，一般需用到等差、等比求和公式或者使用分組、裂項(xiàng)、倒序相加等方法． 然而更多的情況，數(shù)列是不能直接求和的，因此我們必須選擇第二條途徑，即先對數(shù)列進(jìn)行放縮處理，再做求和運(yùn)算．

證明不等式：++…+<21－．

方案一 構(gòu)造數(shù)列

證明 令bn=21－，cn=．

因?yàn)閎n－bn-1=21－－21－=－=

=

≥

=

=cn，所以bn－bn-1>cn，所以bn-1－bn-2>cn-1，…，b2－b1>c2． 又b1= 21－=2－>=c1，求和得bn>c1+c2+…+cn，即++…+<21－．

思考 上法證明了一個(gè)充分條件，即需證明不等式an

方案二 數(shù)學(xué)歸納法

分析 這是一個(gè)典型的數(shù)列求和型不等式． 由于不等號(hào)兩邊都含有n，即此為一個(gè)與自然數(shù)n相關(guān)的命題，故可以采取數(shù)學(xué)歸納法．

證明 ①當(dāng)n=1時(shí)，左邊=，右邊=21－，左邊<右邊，顯然成立．

②假設(shè)n=k時(shí)不等式成立，即++…+<21－，則當(dāng)n=k+1時(shí)，左邊=++…++<21－+=21－+－+=21－+［2－（2k+3）］，易知2－（2k+3）<0，故上式<21－，即不等式成立．

綜合①②知原不等式成立．

思考 對于初學(xué)者來說，用數(shù)學(xué)歸納法證明與自然數(shù)相關(guān)的命題無疑是最好的選擇． 但是對于部分命題，數(shù)學(xué)歸納法并不是簡便的解法，甚至有些命題根本不能應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法． 比如我們?nèi)魧⑸鲜缴宰髯冃螢?+…+<2，則數(shù)學(xué)歸納法的遞推過程就無法實(shí)現(xiàn)． 此時(shí)我們該怎么辦？

方案三 加強(qiáng)數(shù)學(xué)歸納

++…+<2．

分析 此時(shí)不等式的右邊是常數(shù)，和n無關(guān)． 此時(shí)數(shù)學(xué)歸納法已不起作用，必須用其他的方法． 對此，我們先證明++…+<21－，證明見方案一、二． 表面上看，我們把命題加強(qiáng)了，似乎更難以證明． 但通過構(gòu)建這個(gè)加強(qiáng)命題，使得我們可以繼續(xù)運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法，證明了該加強(qiáng)命題，自然也就完成對原命題的證明．

思考 我們在構(gòu)造加強(qiáng)命題的時(shí)候也可以選擇其他形式，總體思路就是在不等式只含常數(shù)項(xiàng)的一邊添加一個(gè)與n相關(guān)的無窮小量，使得不等號(hào)的兩邊成為都隨著n變化的表達(dá)式，從而滿足數(shù)學(xué)歸納法的適用條件．對于上面的不等式，同樣可以構(gòu)造成++…+<21－等．

方案四：自裂項(xiàng)

分析 細(xì)心的讀者可能已經(jīng)發(fā)現(xiàn)，例1的證明其實(shí)不必使用數(shù)學(xué)歸納法． 在此不等式中，不等號(hào)左邊是數(shù)列和的形式，通項(xiàng)為．考慮到形如的分式是可以裂項(xiàng)求和的，對于本題有<2－，而－顯然易于累加，故可以嘗試用自裂項(xiàng)法求解例1．

證明 略．

思考 此方法的目標(biāo)是對通項(xiàng)進(jìn)行放縮，使其成為另一數(shù)列連續(xù)項(xiàng)之差． 而放縮的度是最難以把握的．下面筆者通過一例說明如何把握放縮的度．

求證：++…+<．

證明 觀察通項(xiàng)，令1，即<．

又∈，，故≥q≥2，所以，當(dāng)q=2時(shí)，

<2-，所以

++…+<2－+－+…+－=2－<．

思考 在上述方法中，我們通過待定系數(shù)法求得q的取值范圍，而q的最終取值由題目對放縮的要求決定．在本例中，若我們對每一項(xiàng)都進(jìn)行放縮，即≤，解得q≤2，故可取q=2；若保持第一項(xiàng)不動(dòng)，從第二項(xiàng)開始放縮，則有+≤，解得q≤，則q∈2，，其中任取一值均可． 這樣的方法有的放矢，避免盲目放縮．

方案五 自等比

分析 考慮例2中不等號(hào)的右邊是一常數(shù)，可以聯(lián)想到等比數(shù)列求和的極限．因此可將不等式左邊放縮至等比數(shù)列，其關(guān)鍵是放縮的度．

證明 觀察通項(xiàng)an=，則連續(xù)兩項(xiàng)之比q==∈，． 故an+1

思考 此法的優(yōu)勢在于我們直接假設(shè)出相鄰兩項(xiàng)的不等關(guān)系a