中學數學學案教學的研究與展望

所謂學案，就是引導和幫助學生自主學習、探究的方案[3]。符合課改理念的學案教學，能夠作為一種有效方式，激發和調動學生主動進行數學學習。它既是數學教學改革的實踐嘗試，又是當前素質教育研究的熱點。那么，目前數學學案教學國內外研究現狀如何？將來的研究方向是什么？為了解決這些問題，本文從數學學案概念、教學模式、學案類型、教學效果等四個方面進行闡述，并在此基礎上展望學案的后續研究方向。

2011年，《全日制義務教育數學課程標準（修訂稿）》在課程基本理念中強調：“學生學習應當是一個生動活潑的、主動的和富有個性的過程。除接受學習外，動手實踐、自主探索與合作交流同樣是學習數學的重要方式。學生應當有足夠的時間和空間經歷觀察、實驗、猜測、計算、推理、驗證等活動過程。”為了真正確定學生的學習主體的、中心的地位，教師要像樂隊指揮、球隊教練那樣，調動起學生的主動性和學習的熱情，讓他們真正地參與活動過程。為此，許多數學教育研究者深入教學一線，開展學案教學改革，真正解決教與學的矛盾。

一、數學學案相關概念的梳理界定

通過期刊網檢索和相關資料查詢，目前國內外相關數學學案教學的研究主要集中在以下六個方面：一是數學學案內涵的界定，二是數學學案設計原則的分析，三是數學學案構成要素的思考，四是數學學案教學模式的理論與實踐研究，五是數學學案教學類型的案例分析，六是數學學案教學效果的實驗研究。

1.數學學案的內涵

（1）學案的含義

許多專家學者對學案一詞給出了自己的界定，雖然所使用的文字不盡相同，但對學案內涵的理解基本一致。學者們的主要觀點有以下幾種。

學案是教師依據教材和課程標準，遵循教學原理和教育規律創編的供學生自學、探究、研討、練習、梳理、總結的文字資料。學案，是教師在充分調查了解學情、大綱、教材內容的基礎上，根據教材的特點和教學要求，從學習者的角度為學生設計的指導學生進行自主學習的導學材料。學案是指由教師集體在廣泛調研學生的學習現狀、研究學生建構自主學習的諸種因素及可能性的前提下，集思廣益，精心編寫的指導學生自主學習的教學輔助材料。簡言之，學案即學習材料。

學案是相對教案而言的，它是在素質教育思想的指導下，由教師根據教學任務、學生的知識基礎、能力水平、學法特點和心理特征等設計的或在教師指導下為學生設計的培養創新意識、訓練和發展學習能力的供學生在整個學習過程使用的學習方案。學案，是教師在教學理論與學習理論的指導下，在二度消化教材與分析學情的基礎上，根據《課程標準》的要求和學生的認知水平與知識經驗，并以學生的學為出發點，把學習的內容、目標、要求和學習方法等要素有機地融入到學習過程之中而編寫的一個引導和幫助學生自主學習、探究的方案。簡言之，學案即學習方案。

由此可見，學案的內涵是豐富的、多層面的，無論學案是一種學習材料，或是一種學習方案，亦或是一種學習案例，它都是以學生的“學”為出發點，其內涵主要有以下三點：其一，學案是教材的深度理解與加工器。學案不僅反映教師對教材的理解，還要考慮到學生的認知特點、知識儲備，所以它是對教材進行的深度加工。其二，學案是教師的教學方向與指揮棒。雖然學生接受知識的認知過程決定了學案知識的呈現方式，但也離不開教師的總指揮，教師要有計劃地調控教學方向。其三，學案是學生的學習向導與路線圖。學生按照學案規定的路線開展學習，在學案層層遞進的引導下，尋求知識養成的捷徑。

（2）學案與教案的區別

《百科全書大詞典》、《教育大詞典》等工具性書籍并未給“學案”以確切的定義，實際上，“學案”一詞是在教學實踐中，逐漸由“教案”衍生而來的。有的學者認為“教案”突出“教”，側重“學會”；而“學案”突出“學”，側重于“會學”。有的學者認為教案是“封閉”的，是教師為完成某一教學任務而編寫的教學方案；而學案是“開放”的，是學生如何學習的劇本，主要幫助學生形成知識體系。有的學者從設計理念、角度和針對性出發，認為教案的使用者是教師個人，為學生提供的是一種接受知識的“跑道”；學案的使用者是學生，是針對學生自主學習而設計的，為學生學習提供一種自主發展的“通道”[3]。

筆者認為，教案與學案的主要差異有以下三點：（1）教學理念不同。教案往往遵循一定的教學規律，而學案的教學理念更為自主、開放和創造。（2）使用主體不同。教案的使用主體是教師，而學案是教師和學生共同使用的導學方案。（3）教學環節不同。教案環節的設置以教師構思為主，主要應用于課堂授課環節；學案環節的設置以學生學習活動的組織為出發點，同時體現在教學各個環節。實際上，討論教案與學案的不同，并非要割裂兩者，或區分伯仲，“存異”是為了“求同”，教案與學案不可避免存在許多共性與交叉點。不管使用教案還是學案，最終都是為了實現教與學的最佳結合。

2.數學學案的原則

基于對學案內涵的理解，專家學者們對學案設計的原則提出如下觀點（詳見表1）。

表1 專家學者們對學案設計原則的描述

學者們對學案的每一種原則都進行了詳盡的闡述，都是學案教學實踐經驗的提煉，充分反映了學案在教學中的作用。每種學案原則可能也適用于其他一些教學模式。筆者認為，學案設計所需遵循的原則主要有以下四點：

（1）學案的導向性

學案有明確的指向性，引導學生積極融入到數學學習活動中。學案學習目標、內容、問題的一一展開，不僅是教師教學思路的引導性呈現，更是學生在知識不同學習階段有可能面臨的一些問題，學案層層遞進的導向性特征明顯。

（2）學案的探究性

學案有利于培養學生問題意識，循序漸進激發學生探究欲望。學案的編寫就是教師智慧的結晶，是教師對教學探究的成果；學案操作過程中教師的教和學生的學都要進行探究，要掌握一定的方法；學案如何與其他教輔資料、課后作業配套使用，也是需要探究的問題。

（3）學案的靈動性

教師教無定法，但學生學有可依；教師機動靈活，且學生靈感閃爍。學案在學習內容上是開放的，同一個知識點可以有不同的學案呈現方式；學生學習學案的方法也是靈動的，可以將學案單獨作為教材使用，或作為課前預習的資料，或作為練習題皆可，一切都根據學生自身的學習能力而定；學案不僅在課堂上使用，在課前、課后的其他時間也可以使用。

（4）學案的發展性

在學案的教學中，教師和學生都能夠得到可持續發展。學生在使用學案進行主動、操作性學習的同時，不僅增強了對知識的理解，而且學習能力也得到了提高。

3.數學學案的構成要素

學者們在編制數學學案時，對學案的構成要素即結構進行了如下探討。有學者從“學案”的內容出發，認為學案應包括學習目標、學習重點、學習難點、學法指導、師生互動的設計、梯度訓練題、推薦作業七個部分。有學者從學案的內涵出發，認為一份完整的學案應包含學習課題、內容分析、學習目標、學習重難點、學法指導、學習過程、達標測評與資源鏈接。有學者認為學案包括學習目標、學法指導、自學檢測、問題討論、基礎訓練、能力訓練、學習小結、推薦作業。

思考數學學案的構成要素，不僅能夠為學案編制提供編寫框架，而且能夠更好地設計數學學案的內容。筆者認為，無論哪種結構的數學學案，它都立足于兩類要素，一是教師“導”的要素。包括：數學思想的提煉、數學能力的洞察、數學交流的培養、數學評價的養成、數學課堂教學目標的預設和數學相關背景知識的梳理等。二是學生“探”的要素。包括：數學知識的嵌入和理解、數學活動的參與和領悟、數學問題的解決和遷移，以及數學方法的掌握與運用。所有這些要素融合于一體，并得到有機調控，才能真正發揮學案的完整性、有效性。

二、數學學案教學的模式

在了解學案內涵的同時，我們也對數學學案教學模式的可行性進行理論溯源，發現布魯納的“發現學習”理論、皮亞杰的“建構主義學習”理論、馬赫穆托夫的“問題教學法”、魯姆的“掌握學習法”、維果茨基的“最近發展區學習理論”、加德納的“多元智能理論”等都為學案教學提供了理論指導；弗萊雷的“提問教學法”、羅杰斯的“人本主義理論”和奧蘇伯爾的“有意義學習理論”等都啟發數學學案的教學交流對話的主體轉向學生，重視讓每位學生自發投入學案學習。

許多教學理論都給學案教學以很大的啟發，建立在這些理論基礎上的數學學案教學模式都充分踐行著教與學相統一的理念。

有學者認為，無論是新授課還是復習課，數學學案教學模式可以總結為四個基本階段：導向、導學、導練、升華階段。有學者從高中數學學案教學實際出發，提出學案課堂教學模式為：問題探索、討論交流、揭示本質、知識整理、鞏固練習。有學者認為，數學學案教學模式包括三個基本環節：依案自學、討論創新、總結檢測。

綜上，每種數學學案教學模式的發展都是在一定的基礎上進行的，它有國內外許多科學合理的理論作為基礎。學案教學充分體現了課程改革的基本理念，如重視學生實踐能力、創新能力的培養，倡導自主、探究、合作的學習方式，凸顯學生主體性發展等。數學學案教學同樣遵循教師教學原則和學生認知規律，實現以學為中心，以教為主導的和諧發展。

三、中學數學學案的教學類型

對于數學學案教學類型的研究，大致可以分為兩類：一是根據學案“題型”進行分類，另一種是根據學案“課型”來分類。根據學案題目類型，可以分為填空式、選擇式、表格式、問題式、習題式、辯誤式、例題式。實際上，在一份學案中往往涉及到幾種題型的相互組合。所以，我們可以從不同的學案類型入手來進行案例分析。

例如：“數學概念課”的學案設計需關注新概念與原有概念的聯系，并建立概念與實際情境的聯系，以幫助學生理解概念的內涵；引導學生對概念進行分類，弄清概念的外延；“命題定理課”學案設計需讓學生從實際問題中感受到命題、定理學習的必要性，并能夠通過嘗試、猜測、驗證等活動，探究定理的形成過程，學會用定理解決其他數學問題；“公式法則課”學案設計要讓學生能推導法則，能舉例說明公式法則的意義，能判斷使用公式法則的時機，并會利用公式進行正確的計算，同時經歷公式的推導過程，并由此體會和感悟數學思想；“解題課”學案設計要為學生提供能應用相應數學知識解決的一些生活實際問題，并能體會此種解題方法是一類最優化問題的數學模型，讓學生通過解題了解數學的應用價值；“專題復習課”學案設計要讓學生掌握運用數學思想解決一類相關問題的基本方法，并發現此類問題中的不確定因素，正確利用數學方法解決某類問題。

四、中學數學學案的教學效果

數學學案不同課型的教學設計，究竟能夠給數學教學帶來怎樣的實效呢？為此，我國許多學校都開展了學案教學的實驗研究，不僅有各個實驗班的點上的研究，還有各個實驗學校甚至是一類學校層面的研究，實驗研究著眼于學生發展的現實性與可能性，使學生在各自基礎上得到不同的發展。

浙江金華一中1997年首次在全國提出“學案教學法”；2008年，烏丹三中制定了“示案自學、分組討論、點撥引導、達標訓練、反饋小結”五步走的學案教學方案。另外，還有蘇州唯亭學校、北京第一七一中學、濰坊中學、浮橋中學等都以初中、高中不同年級的學生為研究對象，進行了數學學案教學的實驗研究，結果均證明了數學學案教學的有效性。筆者認為數學學案教學主要有以下三方面的價值體現。

1.有助于轉變和發展學生數學學習方式

數學學案教學模式的適用，充分發揮了教師“導”的功能，將學習的主動權還給學生，讓學生在探究中學習、在思考中討論、在交流中感悟，有利于學生學習方式的轉變和發展。

2.有利于完善和優化教師數學教學方法

數學學案教學不僅能培養學生數學學習能力，也能夠引導教師積極探索，完善和優化學案教學方法。

3.有利于豐富和發展數學學科學案教學和學習理論

就當前數學教學實際而言，發展數學學科學案教學、學習理論，對我們進一步掌握學案的內涵、作用、學生能力發展等一系列問題具有重要意義。

五、數學學案教學研究的方向展望

綜合以上各個層面的研究，我們發現，專家學者們對數學學案的研究涉及面相當廣泛，但更多的是實驗的組織與成果論述，在調查與實證研究方面仍有許多困惑與不足。筆者認為，未來的研究工作應以數學學案教學為主線，將理論線（內涵、原則、模式等），實驗線（問卷、實驗、訪談等），教材線（案例、方案、體系等）三位一體進行整合研究。具體包括以下幾個方面。

1.系統思考、有效整合數學學案教學的內涵與教學模式

研究數學學案教學的內涵，可以有效促進學生自主學習能力的養成。研究不僅著眼于數學中哪些內容適合學案教學，研究“外顯”的解題活動類型的數學學案，也關注“內隱”的創造性思維建構類型的學案，如數感、空間想象、問題解決等。

數學學案教學的模式科學合理、動態發展。雖然學案教學模式的實施和課堂操作程序各有不同，但都是一個動態發展的過程，它是由無數個數學教學和學習環節構成，主旨是使學生的學習過程不僅稱為一個接受知識的過程，同時稱為一個發現問題、分析問題的過程。所以，我們的研究應充分體現課改理念的學案教學模式，培養學生學習能力的數學學案教學方法等。

2.量化研究、質性探究數學學案教學與學生知識養成、能力發展的關系

目前，對于數學學案教學的調查研究多集中于一個學校的幾個班級，樣本較小，且研究結果沒有得到深入細致的分析，對于數學學案教學的質性化研究也幾乎沒有。因此，需要積極開展學生數學知識理解層面的量化研究，和學生認知能力發展層面的質性研究。

開展量化研究，探究學案教學模式下，學生數學三大知識領域：數與代數、幾何與圖形、統計與概率的知識掌握程度。以選擇題和填空題為主確定問卷內容，以網絡調研的方式進行，不僅可以打破時間、空間的限制，而且可以自動生成數據庫數據，按照所需調研的內容進行遴選和統計。

開展質性研究，聚焦學生八大能力維度：數感、符號感、運算能力、模型思想、空間觀念、幾何直觀、推理能力、數據分析觀念，不同的能力維度有各自的類型和層次。以解答題為主設計問卷內容，以質性探究的形式展開調研，制定評價標準，劃定知識層次、能力維度，通過學生的回答評價其學習能力。

3.探究、剖析數學學案教學對教師教學行為和學生學習方式的影響

在數學學案教學中需重視教師的教和學生的學，研究如何整合數學學案教學與學習。基于學案教學理念，教師教學行為的構成，教學信念、教學環境、教學態度的變化研究；學生年級、性別、數學成績等因素與學案教學效果的影響研究，以及學生學習行為、學習方法、學習興趣、學習態度與學案教學的關系，相互作用研究等。這一研究有助于尋求促進學生參與數學學習的學案教學策略和方法。

4.編制、使用數學學案教材

研究者們給出的數學學案的結構與題型設計各不相同，大多數學案所采用的數學案例還沒有系統化，缺乏有引領價值的數學學案教材。所以，學案教學的研究應著眼于數學學案教材的編制和推廣適用。就目前而言，學案教材在初中（7-9年級）使用最具操作的可行性。研究首先要確定數學學案編制的原則、方法和階段性要求，接著統一每個章、節、各個學習活動單元的學案結構，組織有豐富數學學案教學經驗的教師研討交流，開發各種優秀的、可選擇的數學學案資源；同時，在教材試用的過程中通過調查、實證研究不斷修正，逐漸形成一套基于多數學生學情的初中數學學案教材。

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（責任編輯 劉永慶）