巧解填空題 妙拿高考分

縱觀近幾年高考試題，填空題的題型在原來(lái)的基礎(chǔ)上有了一些新的變化與發(fā)展． 如何才能正確、合理、迅速地完成一道填空題，從而在高考中取勝呢？筆者現(xiàn)談幾招常用“招數(shù)”，以助同學(xué)們從容應(yīng)付.

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所謂直接法，就是從題設(shè)條件出發(fā)，利用定義、性質(zhì)、定理、公式等，經(jīng)過(guò)變形、推理、計(jì)算得到答案的方法.

■ 若函數(shù)y=■sin2x+acos2x的圖象關(guān)于直線x=■對(duì)稱，則實(shí)數(shù)a=_______.

解析 函數(shù)圖象關(guān)于直線x=■對(duì)稱，等價(jià)于f■－x=f■+x恒成立． 若將此式直接展開運(yùn)算，這樣就加大了難度，不僅耗時(shí)而且容易出錯(cuò). 一般地，在運(yùn)用充要條件求解時(shí)，我們可以先運(yùn)用必要性求出解，然后檢驗(yàn)解是否正確. 由于此題是一個(gè)填空題，不需要解答過(guò)程并且解只有一個(gè)，因此我們還可以跳過(guò)檢驗(yàn)解是否正確的過(guò)程. 故本題可以這樣考慮：令x=■，則f■=f（0），從而a=■.

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特例法就是選取符合條件的特殊情形來(lái)處理問(wèn)題的方法，主要包括特殊值法、特殊函數(shù)法、特殊位置法等.當(dāng)題目提供的信息暗示答案唯一或其為定值時(shí)，我們可以把題中變化的量用特殊值來(lái)代替，從而避免推理論證的過(guò)程.

■ 如圖1，在三棱柱的側(cè)棱A1A和B1B上各有一動(dòng)點(diǎn)P，Q，其滿足A1P=BQ，過(guò)P，Q，C三點(diǎn)的截面把棱柱分成兩部分，則從上到下的兩部分體積之比為______.

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圖1

解析 盡管P，Q分別在側(cè)棱A1A和B1B上運(yùn)動(dòng)，但是從上到下兩部分的體積之比為定值，所以我們可以選取P，Q兩點(diǎn)的特殊位置來(lái)考慮. 讓P點(diǎn)無(wú)限接近A1，Q點(diǎn)無(wú)限接近B，從而使得P點(diǎn)與A1點(diǎn)重合，Q點(diǎn)與B點(diǎn)重合. 此時(shí)，設(shè)三棱柱的體積為V，則下部分三棱錐體積為■，上部分體積為■. 所以上下兩部分的體積之比為2∶1.

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對(duì)于一些含有幾何背景的填空題，我們可以根據(jù)題設(shè)條件的幾何意義，畫出相應(yīng)的輔助圖形，然后借助圖形的直觀性，快速、準(zhǔn)確地得出答案.

■ 若關(guān)于x的方程kx－lnx=0有實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是___.

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圖2

解析 由于方程、不等式、函數(shù)三者之間存在著內(nèi)在聯(lián)系，因此，對(duì)于方程問(wèn)題和不等式問(wèn)題，我們均可以借助函數(shù)的圖象來(lái)解題． 在此題中，關(guān)于x的方程kx－lnx=0有實(shí)數(shù)解，也就是說(shuō)，函數(shù)y=kx的圖象和y=lnx的圖象有公共點(diǎn). 如圖２所示，由題意，我們只需求出函數(shù)y=lnx的圖象過(guò)原點(diǎn)的切線l的斜率． 設(shè)切點(diǎn)的坐標(biāo)為（x0，lnx0），由于（lnx）′=■，故kl=■，從而■=■，解得x0=e，所以kl=■． 故實(shí)數(shù)k的取值范圍是－∞，■.

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所謂歸納法，就是先“走幾步”（寫出前幾項(xiàng)），再“瞧一瞧”（進(jìn)行規(guī)律歸納），憑直覺對(duì)問(wèn)題的結(jié)論作出猜測(cè)，從而獲取答案的方法. 歸納法多用于探索規(guī)律的一類題.

■ 圖3是一個(gè)算法的程序框圖，當(dāng)輸入f0（x）=cosx時(shí)，其輸出的結(jié)果是_________.

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圖3

解析 由程序框圖可知，此算法的功能是“計(jì)算遞推數(shù)列｛fn（x）｝： f0（x）=cosx， fn（x）=f ′n－1（x）（n∈N?鄢）中的f2008（x）”.顯然，若先求出通項(xiàng)公式，再求f2008（x）比較煩瑣，因此我們可以先“走幾步”，再找規(guī)律猜答案. f1（x）=－sinx， f■（x）= －cosx， f3（x）=sinx， f4（x）=cosx， f5（x）= －sinx，…我們發(fā)現(xiàn)遞推數(shù)列｛fn（x）｝具有周期性，并且其最小正周期為4. 故可以猜測(cè)f2008（x）=cosx，即輸出的結(jié)果為cosx.

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兩個(gè)（或兩類）對(duì)象在某些屬性上相同或相似，而且其中的一個(gè)（或一類）對(duì)象還具有其他特定屬性，從而推出另一個(gè)（或另一類）對(duì)象也具有該特定屬性的方法稱之為類比法. “類比”的載體可以是平面到空間的升維，也可以是方法的遷移、策略上的推廣等.

■ 如圖4，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)三角形ABC的頂點(diǎn)分別為A（0，a），B（b，0），C（c，0），點(diǎn)P（0，p）是線段AO上的一點(diǎn)（異于端點(diǎn)），這里a，b，c，p均為非零實(shí)數(shù).設(shè)直線BP，CP分別與邊AC，AB交于點(diǎn)E，F(xiàn)，某同學(xué)已正確求得直線OE的方程為■－■x+■－■y=0，則直線OF的方程為_______x+■－■y=0.

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圖4

解析 本題的常規(guī)解法是先求出直線CF和AB的方程，從而求得兩直線的交點(diǎn)F的坐標(biāo)，然后再寫出直線OF的方程，但過(guò)程較為煩冗，容易出錯(cuò). 不難發(fā)現(xiàn)，直線OE是由直線BP與AC的交點(diǎn)E和原點(diǎn)O確定的，直線OF是由直線CP與AB的交點(diǎn)F和原點(diǎn)O確定的，也就是說(shuō)，直線OE和直線OF的形成過(guò)程類似，二者不同之處在于點(diǎn)B和點(diǎn)C所處位置不同，因此我們可以考慮運(yùn)用類比法求解. 把直線OE的方程■－■x+■－■y=0中涉及點(diǎn)C的橫坐標(biāo)c和點(diǎn)B的橫坐標(biāo)b相互交換，我們便可得到直線OF的方程中x的系數(shù)，即為■－■.

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結(jié)論法就是直接運(yùn)用從課本或習(xí)題中總結(jié)出來(lái)的規(guī)律性結(jié)論或變形公式來(lái)解決問(wèn)題的方法. 利用它們解答填空題，具有起點(diǎn)高、速度快、準(zhǔn)確性強(qiáng)等優(yōu)點(diǎn).

■ 等差數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和為Sn，若■=a5■+a2007■，且A，B，C三點(diǎn)共線（該直線不過(guò)原點(diǎn)），則S2011=___________.

解析 根據(jù)“A，B，C三點(diǎn)共線”，我們可聯(lián)想到平面向量中的一個(gè)重要結(jié)論“若■=λ■+μ■（λ，μ∈R），且A，B，C三點(diǎn)共線，則λ+μ=1”，再結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)性質(zhì)“若m+n=p+q（m，n，p，q∈N?鄢），則am+an=ap+aq”，因此本題我們可以如下解決.

由題意可得a5+a2007=1. 又因?yàn)椋鸻n｝是等差數(shù)列，所以a1+a2011=a5+a2007=1. 所以S2011=■=1005.5.

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對(duì)等法就是根據(jù)題設(shè)條件和結(jié)論中變量含有“對(duì)等地位”的特征，從而將問(wèn)題簡(jiǎn)化，最終解決問(wèn)題的方法. 值得注意的是，使用對(duì)等法的前提是題設(shè)條件和結(jié)論中變量都含有“對(duì)等地位”的特征，否則會(huì)運(yùn)用錯(cuò)誤.

■ 設(shè)a，b，c為正實(shí)數(shù)，且滿足abc=1，則■+■+■的最小值是_______.

解析 本題的常規(guī)解法是構(gòu)造條件，運(yùn)用基本不等式求解，但是這種方法非常麻煩. 不難發(fā)現(xiàn)，變量a，b，c在所給題設(shè)條件中地位都對(duì)等，因此，當(dāng)a，b，c相等時(shí)，■+■+■應(yīng)該取得最值. 把a(bǔ)=b=c代入abc=1中，解得a=b=c=1，此時(shí)■+■+■=■，故可以大膽猜測(cè)結(jié)果為■. ■