積分學中的元素法

摘 要：用積分學解決物理學中的一些實際問題時，首先要用“元素法”把所要解決的實際問題轉化成某種類型的積分。本文以重積分為例，系統地闡述“元素法”的基本原理。

關鍵詞：元素法； 區域可加函數； 可加函數的導數； 可加函數的微分

中圖分類號：0241.83 文獻標識碼：A 文章編號：1006-3315（2012）05-144-001

一、區域可加函數

定義1 任意一個區域函數Φ(V)，如果對于任意兩個無公共內點的區域V1、V2，恒滿足條件Φ(V1＋V2)＝Φ(V1)＋Φ(V2)則稱Φ(V)為區域可加函數。

如，長度、面積、質量、功等等這些常見的量，都是區域可加函數的例子。

二、區域可加函數的導數和微分

定義2取可加函數定義域內一點M的任意領域△Vm，做比值

Φ（△Vm）=■并在域△Vm縮為點μ（△Vm→0）的條件下取極限。如果極限存在，即

Φ（m）=■Φ（△Vm）=■■

則稱此極限ψ(m)為區域可加函數Φ(V)，在點M處對域V的導數，表為Φ＇(V)，即

Φ'（V）=■■=■■=■=Φ(m)

定義3 量Φ(△Vm)的主要部分，也就是在△Vm→0時等價于Φ(△Vm)且正比于△Vm那個量，叫做區域可加函數Φ(V)在點M處的微分，我們把它表為dΦ(V)。

函數Φ(V)的微分，等于Φ(V)對域的導函數乘以域V的微分dV，即

dΦ(V)=Φ'(V)dV=?鬃(m)dV

微分dΦ(V)也叫做區域函數Φ(V)的元素。

三、積分學中的元素法

定理1如果區域可加函數Φ(V)的導數ψ(m)是連續的（或分段連續），那么函數Φ(V)在區域V上的數值Φ(V)等于

Φ(V)=■DΦ(V)=■Φ(m)dV （1）

下面來證明定理1，為此先引進兩個引理。

引理1 設區域V可分為K個部分區域V1、V2…VK，而區域可加函數Φ(V)在每一個區域Vi（i＝1、2、3…K）的■均小于某一數值μ，則在區域V上也有

■＜μ

[證]從不等式

■＜μ，■＜μ，……，■＜μ，

得到

Φ(V1)μV1，Φ(V2)μV2，……，Φ(Vk)μVk，

從而

Φ(V0)=■Φ(V1)≤■Φ(Vi)＜μ■Vi=μV

因此有■＜μ （證畢）

引理2如果區域可加函數Φ(V)的導數ψ(m)恒為零，那么函數Φ(V)本身對于每一區域也等于零。

[證]根據引便1即可證明引理2，在此從略。

[定理1的證明]

首先假定給定的函數ψ(m)是連續的。我們引進一個區域可加函數

F(V)=■Φ(m)dV顯然函數ψ(V)的導數與ψ(m)相等。

再引進一個輔助函數ψ(V)-Φ(V)，由于它們的導數都是ψ(m)，所以其差的導數處處為零，由引理2，這個差自身恒等于零，于是對于任意區域V，有

Φ(V)=F(V)=■Φ(M)dV （2）

如果ψ(m)是分段連續的，那么我們把區域V分成有限個區域使得在每一區域中ψ(m)是連續的。在每一個區域中，定理已經證明了是正確的。把這些對于每一個部分區域成立的結果綜合起來，我們就得到等式（2）在一切區域V中都成立。（證畢）

定理1雖然是以三重積分為例證明的，但是該定理對于定積分、二重積分、曲線積分、曲面積分等照樣成立，證明方法也類似。下面僅給出關于曲面積分的定理。

定理2如果在曲面上區域可加函數Φ(Σ)的導數ψ(m)是連續的或分段連續的，那么對于一區域Σ，有

Φ(Σ)=■ψ(M)d?滓 （3）

參考文獻：

[1]Φ別爾曼特.數學解析教程.高等教育出版社，1956

[2]托爾斯托夫.數學解析教程.高等教育出版社，1962

[3]何琛，史濟懷.教學分析教程，1985