注重課堂問題設(shè)計優(yōu)化學(xué)生思維能力

心理學(xué)認(rèn)為，思維總是和解決問題聯(lián)系在一起，人們?yōu)榻鉀Q問題而思維，思維總是指向解決問題.教師在課堂上設(shè)計的問題，不僅能鞏固與檢測教學(xué)效果，而且能促進(jìn)學(xué)生把知識轉(zhuǎn)化為技能，優(yōu)化學(xué)生的思維與能力.因此，課堂教學(xué)中需要教師精心設(shè)計問題，優(yōu)化學(xué)生的思維品質(zhì)，提高學(xué)生的能力.

下面筆者針對培養(yǎng)學(xué)生的不同思維和能力，談?wù)務(wù)n堂問題的設(shè)計.

一、設(shè)計直觀性問題，培養(yǎng)直覺思維

直覺思維是不受固定的邏輯規(guī)則約束，直接領(lǐng)悟事物本質(zhì)的一種思維方式，它是思維中最活躍最積極最有創(chuàng)造性的成分.著名數(shù)學(xué)家吳文俊說：“只有推理，缺乏數(shù)學(xué)直覺是不會有創(chuàng)造性的.”培養(yǎng)學(xué)生的直覺思維能力的方法靈活多樣，其中最有效的辦法是讓學(xué)生主動地去觀察，觀察是誘發(fā)直覺思維的最主要形式.因此，課堂教學(xué)中應(yīng)設(shè)計直觀性問題，提高學(xué)生的觀察能力，以培養(yǎng)學(xué)生的直覺思維.

【例1】（1）（2009年湖北高考）已知關(guān)于x的不等式ax-1x+1＜0的解集是(-∞，-1)∪(-12，+∞).則a=.

（2）（2010年銀川模擬）如圖，四棱錐P—ABCD的底面ABCD是邊長為1的菱形，∠BCD=60°，E是CD的中點(diǎn)，PA⊥平面ABCD，PA=3.

①證明：平面PBE⊥平面PAB；

②求二面角A—BE—P的大小.

分析：(1)本例利用直覺思維，意識到解集中的-1，-12是不等式的零根，顯然-12是分子ax-1=0的解，可得a值.（2）認(rèn)真觀察，分析題目條件，依靠直覺思維得出∠PBA是二面角A—BE—P的平面角，再加以證明，可使問題目標(biāo)明確，化難為易.

在課堂教學(xué)中，若能設(shè)計出訓(xùn)練學(xué)生直覺思維的直觀性問題，可以使學(xué)生解題目標(biāo)更明確，化難為易，迅速解決問題.

二、設(shè)計模糊性問題，培養(yǎng)批判性思維

“錯誤是正確的先導(dǎo)”，由于基礎(chǔ)知識不扎實或思維上的偏差，常會出現(xiàn)這樣或那樣的錯誤.對此，教師應(yīng)針對學(xué)生常犯的一些隱晦的錯誤，設(shè)計模糊性問題，故意設(shè)計問題陷阱，讓學(xué)生出現(xiàn)暫時性的失敗感，主動去分析錯誤，尋找治“錯”良方，在知錯中改，改錯中防，彌補(bǔ)自己在知識上的缺陷和思維上的缺陷，防止錯誤認(rèn)識的再遷移，從而增強(qiáng)思維的嚴(yán)密性和批判性，提高解決問題的準(zhǔn)確性.

【例2】（1）若a、b、c為任意向量，(a·b)·c=a·(b·c)成立嗎？為什么？

（2）比較2+3i和4+3i的大小.

（3）等差數(shù)列中a2+a5=a7，對嗎？

三、設(shè)計相關(guān)性問題，培養(yǎng)思維動態(tài)性

聯(lián)想是使人由一個事物轉(zhuǎn)移到另一個相關(guān)事物上的一種動態(tài)思維.它能在研究和解決有關(guān)數(shù)學(xué)問題時，采用某種方式或手段，將問題轉(zhuǎn)化為相關(guān)問題，進(jìn)而達(dá)到解決的目的.通過聯(lián)想轉(zhuǎn)化，如數(shù)形轉(zhuǎn)化、動靜轉(zhuǎn)化、函數(shù)與方程之間的轉(zhuǎn)化、代數(shù)與幾何之間的轉(zhuǎn)化等，可使復(fù)雜問題直觀化.在課堂教學(xué)中設(shè)計相關(guān)性問題，可使學(xué)生樹立相互聯(lián)系的辯證思想，培養(yǎng)學(xué)生的問題轉(zhuǎn)化能力和訓(xùn)練學(xué)生的動態(tài)思維.

【例3】（1）(2007年安徽高考)如果點(diǎn)P在平面區(qū)域

2x-y+2≥0

x-2y+1≤0

x+y-2≤0上，點(diǎn)Q在曲線x2+(y+1)2=1上，那么｜PQ｜的最小值為（）.

A.5-1B.45-1C.22-1D.2-1

(2)（2007年浙江高考）設(shè)m為實數(shù)，若

四、設(shè)計逆向性問題，培養(yǎng)逆向思維

在課堂教學(xué)中，對問題進(jìn)行逆向變換，即把問題的已知條件和未知條件進(jìn)行變換，或?qū)⒁恍?shù)學(xué)概念、定理、公式等進(jìn)行逆向應(yīng)用.另外，設(shè)計運(yùn)用分析法、反證法等逆向考慮問題的方法來解決問題，以訓(xùn)練學(xué)生的逆向思維，讓學(xué)生樹立“正難則反”的思維方式.

【例4】（1）α=β是tanα=tanβ的（）條件.

（2）如何由y=13sin(2x+π3)的圖象得到y(tǒng)=sinx的圖象？

分析：（1）利用逆否命題的等價性；（2）利用三角函數(shù)圖象變換的方式逆向.

逆向性問題對鍛煉學(xué)生逆向思維具有很大的作用，特別是一些關(guān)于數(shù)學(xué)概念的判斷題.

五、設(shè)計類比性問題，訓(xùn)練求同歸納思維

問題設(shè)計的較高目標(biāo)是培養(yǎng)學(xué)生舉一反三的能力.精心設(shè)計問題，將問題分類，把具有共同特征的不同問題歸為一類，形成類比性問題，實行多題一解.這樣，讓學(xué)生集中力量解決同類問題中的本質(zhì)問題，歸納出這類問題的解決方法和規(guī)律，從而達(dá)到觸類旁通的目的，訓(xùn)練學(xué)生求同歸納思維.

【例5】

（1）（2009年廣東高考）已知橢圓G的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，長軸在x軸上，離心率為32，且G上一點(diǎn)到G的兩個焦點(diǎn)的距離之和為12，則橢圓G的方程為．

（2）（2007年江蘇高考）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知△ABC頂點(diǎn)A(-4，0)和C(4，0)，頂點(diǎn)B在橢圓x225+y29=1上，則sinA+sinCsinB=.

（3）（2009年北京高考）橢圓x29+y22=1的焦點(diǎn)為F1、F2，點(diǎn)P在橢圓上，若｜PF1｜=4，則｜PF2｜=；∠F1PF2的小大為.

分析：通過以上三例可以讓學(xué)生總結(jié)出解決橢圓焦點(diǎn)三角形問題的基本思路：應(yīng)用橢圓的定義.

通過歸類訓(xùn)練，把知識從一個問題遷移到另一個問題上，從而達(dá)到舉一反三、觸類旁通的功效.

六、設(shè)計發(fā)散性問題，培養(yǎng)發(fā)散性思維

發(fā)散性思維是一種沿著不同方向去選取和重組信息，不依常規(guī)尋求變異，從多方面尋求答案的思維方式.它是較為活躍具有很大創(chuàng)造性的思維方式，數(shù)學(xué)中的發(fā)散性問題對訓(xùn)練學(xué)生的發(fā)散性思維，提高學(xué)生的創(chuàng)新能力起著巨大的作用.發(fā)散性問題設(shè)計有以下方式.

1.一題多變

通過變換題目的條件、題型、要求、情境等，由一題發(fā)散成多題，對學(xué)生進(jìn)行一題多變訓(xùn)練，不僅能夠強(qiáng)化對基礎(chǔ)知識的理解和記憶，而且能夠拓寬、深化解題思路，探索解題規(guī)律，培養(yǎng)創(chuàng)新能力和思維品質(zhì)，增強(qiáng)應(yīng)變能力，從而達(dá)到舉一反三、觸類旁通的目的.

【例6】已知橢圓x29+y22=1的焦點(diǎn)為F1、F2，在橢圓上求一點(diǎn)P，使∠F1PF2=90°.

變式1：已知橢圓x29+y22=1的焦點(diǎn)為F1、F2，P為橢圓上一點(diǎn)，當(dāng)∠F1PF2為鈍角時，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)的范圍是.

變式2：已知橢圓

x2m+5+y2m=1

上存在一點(diǎn)P，有∠F1PF2=90°，求m的范圍.

變式3：（2009年上海高考）已知F1、F2是橢圓C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的兩個焦點(diǎn)，P為橢圓C上一點(diǎn)，且PF1⊥PF2.若△PF1F2的面積為9，則b=.

分析：

通過一題多變的設(shè)計，培養(yǎng)了學(xué)生思維的變通性.

2.一題多解

對同一問題多角度地探索解題思路，形成一題多解，既能使學(xué)生的思維朝著不同方向發(fā)散，靈活地運(yùn)用知識，又能通過比較，選擇最合理、最簡捷的思路，培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性、流暢性.在課堂問題設(shè)計時，教師要有意識地偏重可用多種思路完成的典型題，并鼓勵學(xué)生不拘泥于常規(guī)方法，尋求變異，勇于創(chuàng)新.

【例7】求sin220°+cos250°+sin20°cos50°的值.

分析：本例解法有拆角、立方公式、降次、配方、余弦定理等五種以上的解題思路.

通過一題多解，引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用各種知識，沿不同途徑思考問題，通過比較提煉出最佳解法，從而達(dá)到優(yōu)化解題思路的目的.

通過一題多變、一題多解等發(fā)散性問題的設(shè)計，可做到對學(xué)生一題多測、一題多得，從而發(fā)展學(xué)生的發(fā)散性思維，提高學(xué)生的創(chuàng)新意識和創(chuàng)新能力.

七、設(shè)計開放性問題，培養(yǎng)探索性思維

隨著素質(zhì)教育的不斷深入，人們開始認(rèn)識到開放性問題在培養(yǎng)和檢測學(xué)生創(chuàng)新能力的重要作用.這類問題立意新穎，構(gòu)思精巧，自由度大，要求學(xué)生自己去研究，去探索，去發(fā)現(xiàn)，去解決.美國心理學(xué)家布魯納說：“探索是數(shù)學(xué)的生命線.”可見，此類問題在數(shù)學(xué)中的地位和作用.

在課堂教學(xué)中，設(shè)計出探索條件、探索結(jié)論、探索存在等的開放性問題，不僅有利于培養(yǎng)學(xué)生的探索能力，而且還能為學(xué)生提供廣闊的創(chuàng)造性思維空間.

【例8】（1）如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各邊都相等，M是PC上的一動點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)M滿足時，平面MBD⊥平面PCD.（只要填寫一個你認(rèn)為是正確的條件即可）

（2）（2009年廣東高考）已知橢圓G的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，長軸在x軸上，離心率為32，兩個焦點(diǎn)分別為F1和F2，橢圓G上一點(diǎn)到F1和F2的距離之和為12.圓Ck:x2+y2+2kx-4y-21=0(k∈R)的圓心為點(diǎn)Ak.

①求橢圓G的方程；②求△AkF1F2的面積；③問是否存在圓Ck包圍橢圓G?請說明理由.

（3）設(shè)f(x)=ex-e-x2，g(x)=ex+e-x2，對于任意的x，y，請化簡如下兩式：

①f(x)g(y)+g(x)f(y)；②g(x)g(y)+f(x)·f(y)；據(jù)此你還能發(fā)現(xiàn)什么結(jié)論，試寫出發(fā)現(xiàn)過程.

分析：（1）屬于結(jié)論不唯一的開放性問題，探索結(jié)論.（2）屬于存在性問題，探究存在性.（3）屬于探究過程（可聯(lián)系三角函數(shù)的和差公式、倍角公式探索）.

八、設(shè)計一般性問題，培養(yǎng)特殊化思維

數(shù)學(xué)中，從特殊到一般的思考方式就是先考察問題的某些簡單特殊情形，通過對特殊情形的探究，找出一般規(guī)律，從而發(fā)現(xiàn)解決問題的方法.加強(qiáng)學(xué)生的“特例”意識，因此需要在課堂教學(xué)中設(shè)計一般性問題，讓學(xué)生通過對一般性問題中的個別特殊情況進(jìn)行觀察和分析，發(fā)現(xiàn)問題的結(jié)論，從而找到解決問題的途徑.尋找一般性問題的“極端情形”是解決一般性問題的出發(fā)點(diǎn)，也是培養(yǎng)學(xué)生特殊化思維的關(guān)鍵所在.

【例9】

（1）過拋物線y=ax2(a＞0)的焦點(diǎn)F，作一直線交拋物線于M、N兩點(diǎn)，若FM、FN的長分別是p、q，則1p+1q=（）.

(2)設(shè)｛an｝，｛bn｝是公比不相等的兩個等比數(shù)列，設(shè)cn=an+bn，證明：數(shù)列｛cn｝不是等比數(shù)列.

分析：（1）考慮MN的任意性和結(jié)果的唯一性，取拋物線的通徑可使問題迅速準(zhǔn)確地解決.（2）否定一個命題，只需一個反例即可，本例只需證c22≠c1·c3.

對于一般性問題的設(shè)計就是訓(xùn)練學(xué)生在一般性問題中提取不失一般性的特殊信息的能力，從而培養(yǎng)學(xué)生的特殊化思維和創(chuàng)新思維.

九、設(shè)計應(yīng)用性問題，提高數(shù)學(xué)應(yīng)用能力

加強(qiáng)數(shù)學(xué)應(yīng)用意識是時代發(fā)展的需要，同時也是數(shù)學(xué)學(xué)科的特點(diǎn)所決定的.設(shè)計應(yīng)用問題，可以發(fā)揮數(shù)學(xué)在實際問題中的應(yīng)用，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣，使學(xué)生受到實際問題抽象為數(shù)學(xué)問題的訓(xùn)練，形成應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識，培養(yǎng)學(xué)生分析問題、解決問題的能力.但是設(shè)計此類問題時，要注意問題類型、數(shù)量化、形式化的抽象程度，問題的難易程度和學(xué)生的知識內(nèi)容范圍及能力水平.

【例10】（2010年湖北理數(shù)17）為了在夏季降溫和冬季供暖時減少能源損耗，房屋的屋頂和外墻需要建造隔熱層.某幢建筑物要建造可使用20年的隔熱層，每厘米厚的隔熱層建造成本為6萬元.該建筑物每年的能源消耗費(fèi)用C(x)（單位：萬元）與隔熱層厚度x（單位：cm）滿足關(guān)系：C(x)=k3x+5(0≤x≤10)，若不建隔熱層，每年能源消耗費(fèi)用為8萬元.設(shè)f(x)為隔熱層建造費(fèi)用與20年的能源消耗費(fèi)用之和.

（Ⅰ）求k的值及f(x)的表達(dá)式.

（Ⅱ）隔熱層修建多厚時，總費(fèi)用f(x)達(dá)到最小，并求最小值.

十、設(shè)計信息遷移問題，提高知識遷移能力

信息遷移題是指以學(xué)生已有的知識為基礎(chǔ)，設(shè)計一個陌生的數(shù)學(xué)情境，或定義一個概念，或規(guī)定一種運(yùn)算，或給出一個規(guī)劃，通過閱讀相關(guān)信息，根據(jù)題目引入新內(nèi)容進(jìn)行解答的一類新題型.信息遷移題背景新穎，構(gòu)思巧妙，形式多樣，融綜合性、應(yīng)用性、開放性、創(chuàng)新性于一體，可以較好地考查學(xué)生的學(xué)習(xí)能力，閱讀理解能力，數(shù)學(xué)思維能力，知識的遷移能力和思維品質(zhì).

【例11】（1）（2010年四川理數(shù)16）設(shè)S為復(fù)數(shù)集C的非空子集.若對任意x，y∈S，都有x+y，x-y，xy∈S，則稱S為封閉集.下列命題：

①集合S＝{a＋bi|（a，b為整數(shù)，i為虛數(shù)單位）}為封閉集；

②若S為封閉集，則一定有0∈S；

③封閉集一定是無限集；

④若S為封閉集，則滿足STC的任意集合T也是封閉集.

其中真命題是.（寫出所有真命題的序號）

（2）（2011年廣東文10）設(shè)f(x)，g(x)，h(x)是R上的任意實值函數(shù)．如下定義兩個函數(shù)(fg)(x)和(f·g)(x)；對任意x∈R，(fg)(x)=f(g(x));(f·g)(x)=f(x)g(x)．則下列等式恒成立的是（）.

A．((fg)·h)(x)=((f·h)(g·h))(x)

B．((f·g)h)(x)=((fh)·(gh))(x)

C．((fg)h)(x)=((fh)(gh))(x)

D．((f·g)·h)(x)=((f·h)·(g·h))(x)

（3）（2011年四川理16）函數(shù)f(x)的定義域為A，若x1，x2∈A且f(x1)=f(x2)時總有x1=x2，則稱f(x)為單函數(shù)．例如，函數(shù)f(x)=2x+1(x∈R)是單函數(shù)．下列命題：

①函數(shù)f(x)2=x2(x∈R)是單函數(shù)；

②若f(x)為單函數(shù)，x1，x2∈A且x1≠x2，則f(x1)≠f(x2)；

③若f:A→B為單函數(shù)，則對于任意b∈B，它至多有一個原象；

④函數(shù)f(x)在某區(qū)間上具有單調(diào)性，則f(x)一定是單函數(shù)．

其中的真命題是．（寫出所有真命題的編號）

分析：（1）定義新概念;（2）定義新運(yùn)算;（3）定義一類新函數(shù).

十一、設(shè)計綜合性問題，培養(yǎng)綜合邏輯思維

在高三總復(fù)習(xí)階段，若能在數(shù)學(xué)知識網(wǎng)絡(luò)的交匯點(diǎn)上設(shè)計出考查學(xué)生多種知識和多種技能的綜合性問題，就可以培養(yǎng)學(xué)生綜合運(yùn)用知識及分析問題、解決問題的能力，提高學(xué)生的綜合邏輯思維能力.

【例12】（2007年北京高考）如圖，有一塊半橢圓形鋼板，其半軸長為2r，短半軸長為r，計劃將此鋼板切割成等腰梯形的形狀，下底AB是半橢圓的短軸，上底CD的端點(diǎn)在橢圓上，記CD=2x，梯形面積為S．

（I）求面積S以x為自變量的函數(shù)式，并寫出其定義域；

（II）求面積S的最大值．

多年的教學(xué)實踐使我深深感到：教師在設(shè)計問題上多花一點(diǎn)時間，學(xué)生就會少浪費(fèi)一點(diǎn)時間；設(shè)計的問題精一點(diǎn)，學(xué)生就會學(xué)得活一點(diǎn)，做得好一點(diǎn).由此可見，精心設(shè)計課堂問題，是發(fā)揮學(xué)生主體作用，發(fā)展學(xué)生思維能力，減輕學(xué)生課業(yè)負(fù)擔(dān)，提高教學(xué)效率的有效途徑.

（責(zé)任編輯黃春香）