和一元二次方程有關的常見錯誤分析

【摘 要】一元二次方程是九年級上冊的內容，學生在學習時由于概念不清經常會發生一些典型的錯誤，本文例舉了作者在實際教學中學生經常出現的和一元二次方程有關的一些錯誤，剖析了產生這些錯誤的原因以及正確的解法。

【關鍵詞】一元二次方程；二次項系數；一般形式；根的判別式

一元二次方程是九年級數學上冊部分的內容，它在整個初中教材中的地位是非常重要的。本章內容既是一元一次方程的延伸與拓展，又為后面學習二次函數打下了基礎。有些學生在學習過程中對基本知識和概念沒有理解掌握，從而在解題過程中經常會出現一些錯誤。現在就一元二次方程有關常見解題的典型錯誤作一分析。

一、對一元二次方程的概念不清而導致的錯誤

例1：下列方程是一元二次方程的是 （填序號）

（1）（1）x+=1

（2）(x+1)(2x-1)=2x2

（3）ax2+bx+c=0

（4）x3=x2(x+1)

錯解：選（1）、（2）、（3）

分析：由于一元二次方程是只含有一個未知數并且未知數的最高次數是二次的整式方程。故（1）顯然不對，因為（1）是分式方程，不具備整式方程的條件；（2）表面上是一元二次方程，但是合并同類項后二次項消去了，故實際上是一元一次方程；（3）沒有強調a≠0且a、b、c是常數；（4）表面上是三次方程，但是化簡后為一元二次方程。故正解為（4）。

二、忽視了二次項系數a≠0這個限制條件

例2：已知關于x的一元二次方程（m+2）x2+x+m2-4=0的一個根是0，求m的值。

錯解：∵0是方程的一個根，即有（m＋2）×0＋0＋m2－4＝0， ∴m＝±2

分析：此解法是學生沒有對一元二次方程的定義真正理解，事實上，當m＝-2時，方程就不是一元二次方程，而是一元一次方程，不符合題意，要舍去，故m=2.

例3：已知方程（a－3）x|a-1|＋2ax－1＝0是關于x的一元二次方程，求a的值.

錯解：∵方程是一元二次方程，

∴|a-1|＝2，故a＝3或－1

分析：此解法只顧及了未知數是最高次數是2這一必要條件，而忽視了二次項系數不等于0這個限制條件。

正解:由題意知|a-1|＝2，且a－3≠0

∴a≠3∴a＝－1。

三、過于重視二次項系數a≠0這個限制條件

例4：若關于x1的方程kx2+2x+1=0有實數根，則k的取值范圍是 。

錯解：k?燮1且k≠0

分析：由于學生沒有認真審題，錯誤地將原方程默認為一元二次方程，故在考慮根的判別式≥0時又考慮到二次項系數k≠0，導致出現考慮問題不全面的錯誤。正確的解題思路應分兩種情況，即k=0和k≠0，當k=0時，方程為一元一次方程，有一個實數根；當k≠0時，方程為一元二次方程，此時需滿足根的判別式4-4k?叟0，也就是k?燮1且k≠0；綜上所述當k?燮1時，此方程有實數根。

四、解方程時約去了方程兩邊含未知數的代數式

例5：解方程5x（x-2）＝3(x-2)

錯解：方程兩邊同時除以（x-2），

得5x＝3， ∴x＝0.6.

分析：方程兩邊同時除以（x-2），導致原方程在降次過程中失去了一個根，丟掉了x＝2這個根。正解：移項得5x（x-2）－3(x-2) ＝0，即（5x-3）（x－2）＝0，

∴x1＝0.6， x2＝2。

五、都是沒有把方程化為一般形式惹的禍

例6：若關于x的方程(m2-2m)x2-2x+1=-x2是一元二次方程，則m的取值范圍是 。

錯解：由題意得：m2-2m≠0，得m≠2且m≠0

分析：由于一元二次方程是形如ax2+bx+c=0(a≠0，a、b、c為常數)，故沒有將方程化為一般式是不能判斷其是否為一元二次方程的，正確的解法應先移項，化為一般式(m2-2m+1)x2-2x+1=0，由題意得：m2-2m+1≠0，故m≠1。

例7：用公式法解方程3x2－4x＝2

錯解：∵a＝3，b＝－4，c＝2，

∴b2－4ac＝(－4)2－4×3×2＝－8＜0，

∴原方程無解。

分析：運用公式法解一元二次方程時，沒有把方程轉化成ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的形式。正確解法應化為一般式3 x2－4x－2＝0，∴b2－4ac＝(－4)2－4×3×（－2）＝40＞0，

∴原方程解為：x1=，x2=

六、忽略了根的判別式

例8：若關于x的方程x2+2(m-1)x+4m2=0的兩根互為倒數，求m的值。

錯解：設兩根為x1、x2，由題意得：x1x2=1，即==1，∴m=±

分析：由于求解過程中沒有考慮根的判別式，故導致求出的有不符合要求的m沒有舍去。正確的解法是在求得m的值后，再計算一下根的判別式，得：b2-4ac=-12m2-8m+4，當m=時，b2-4ac=-3<0，原方程無實數根，故舍去；當m=-時，b2-4ac=5>0，原方程有兩個不相等的實數根，∴m=。

例9：已知x為實數，滿足方程(x2+3x)2-5(x2+3x)-24=0，則x2+3x= 。

錯解：因式分解得：(x2+3x+3)(x2+3x-8)=0，∴x2+3x+3=0或x2+3x-8=0于是x2+3x=-3或8。

分析：由于x為實數，所以在求得x2+3x+3=0或x2+3x-8=0后，沒有進一步檢驗這兩個方程有無實數根，導致結果出現錯誤。對于方程x2+3x+3=0，其b2-4ac=-3<0，故無實數根，應予以舍去；對于方程x2+3x=8，其b2-4ac>0，故x2+3x=8。

七、解應用題時沒有認真審題導致忘記舍根

例10：某商場銷售一批名牌襯衫，平均每天可售出20件，每件贏利40元，為了擴大銷售，增加贏利，盡快減少庫存，商場決定采取適當的降價措施，經調查發現，如果每件襯衫每降價1元，商場平均每天可多售出2件。若商場平均每天要贏利1200元，每件襯衫應降價多少元？

錯解：設每件襯衫應降價x元。

(40-x)(20+2x)=1200

800+80x-20x-2x2-1200=0

x2-30x+200=0

(x-10)(x-20)=0

x1=10，x2=20

答：每件襯衫應降價10元或20元時，商場平均每天要贏利1200元。

分析：由于沒有認真審題，題中要求盡快減少庫存，而降價20元比降價10元每天的銷量多，庫存減少快，故本題應舍去x1=10，所以每件襯衫應降價20元時商場每天的盈利為1200元。

【參考文獻】

[1]何乃忠主編《新課程有效教學疑難問題操作性解讀》 教育科學出版社

[2]王安文 《一元二次方程中的典型錯誤分析》 成都教育學院學報 2003年第6期

（作者單位：江蘇省靖江外國語學校）