2012年高考數學應用題熱點預測

數學起源于實際生活，又回歸于現實世界，靈活應用數學知識解決實際問題，一直是高考命題的一個熱點，尤其是力求體現數學“實用性”的新課標高考，這類問題更是受到命題者的青睞.隨著二輪復習的深入，高考的腳步越來越近.有道是“知己知彼，百戰不殆”，在2012年高考中一般會出現哪些類型的應用性問題，我們又該如何面對？愿本文能對考生們有所啟迪.

一、高考應用題的特點

高考應用題都是經過精心加工，變理論型為應用型，結合課本，將知識重新分解組合、綜合拓廣，使之成為立意高、情景新、設問巧，并賦予時代氣息切合現代生活實際的問題.分析這幾年的高考應用題，有以下幾個基本特點：

1． 數學應用題都有一定的生活背景（工業、農業、商業的、橫向學科的…），這一特點要求考生關心國家大事，了解社會信息，講究聯系實際，重視數學在社會生活、生產和科學中的應用.

2． 數學應用題考查考生應用數學的意識，也就是考查考生從所熟悉的生活、生產和其它學科的實際出發，進行觀察、聯想、分析、綜合、抽象、概括和必要的邏輯推理，轉化得出數學模型的能力.這要求考生提高閱讀理解能力，能把日常語言翻譯成數學文字語言、符號語言和圖形語言，也即“讀得懂、譯得出”.

3． 數學應用題以考查考生的數學知識、方法與能力為主，所用到的數學知識、思想、方法都是中學數學中要求的.這要求一方面要有良好的純數學知識基礎，另一方面在解應用題時“分得清”題設條件（包括隱含條件）與所求結論之間的聯系，找到相應的數學模型，從而達到“見題便建模”.

4． 數學應用題的解題表述，一般都有“一解，二設，三由題意得，四求解，五由實際意義定取舍，六寫答案的完整”的步驟與格式.這要求考生在解數學應用題時，要注意表述的簡明、規范，并注意檢驗所得結果的實際意義.

二、高考應用題的分類

高考中出現的應用性問題，通常有四種分類方式.一是按解應用題所用到的主要數學模型，分為函數類、數列類、方程類、不等式類、排列組合類和概率統計類等；二是按應用題所涉及的材料性質，分為與橫向學科有聯系的問題，和有實際生活背景的問題等等；三是按應用題的來源，分為來自課本的問題，來自其它書籍和資料中的問題，來自從實際生活中概括編擬出的問題等等；四是按應用題的難易，分為一般性應用題和復雜性應用題，在新課標高考中，這兩類應用題都有可能出現.

三、新課標高考應用題熱點預測

數學建模法是一種極其重要的思想方法，它是把實際問題抽象成數學語言符號，構建數學模型， 從而解決實際問題.新課標高考數學主要涉及以下幾類數學模型：

預測1. 函數模型

函數是中學數學中最重要的一部分內容，現實世界中普遍存在著的最優化問題，常常可歸結為函數的最值問題，通過建立相應的目標函數，確定變量的限制條件，運用函數知識和方法去解決.

例1. 某化工廠生產某產品的年固定成本為200萬元，每生產1噸需另投入12萬元，設該化工廠一年內共生產該產品x噸并全部銷售完，每噸的銷售收入為R(x)萬元，且

R(x)＝112-■x2 ， 0＜x≤15■-■ . x＞15

(1)求年利潤y（萬元）關于年產量x（噸）的函數解析式；

(2)年產量為多少噸時，該化工廠在這一產品的生產中所獲年利潤最大？

解析：(1)由題意y＝xR(x)－(200＋12x)＝

100x-■x3 -200 ， 0＜x≤151030-（■+12x）. x＞15

(2)當0＜x≤15時，y＝100x－■x3－200，y′＝100－x2，∵x∈(0，10)時，y′ ＞0，x∈(10，15]時，y′ ＜0，∴函數在(0，10)遞增，在(10，15]遞減，∴當且僅當x＝10時，y有最大值■．

當x＞15時，y＝1030－(■＋12x).∵■＋12x＝■＋12(x+1)12≥2■－12＝708，

∴y＝1030－(■＋12x)≤1030－708＝322，當且僅當■＝12(x＋1)，即x＝29時，y取最大值322.

∵322＜■，∴當且僅當x＝10時，y有最大值■．故當年產量為10噸時，該化工廠在這一產品的生產中所獲年利潤最大，最大利潤為■萬元．

說明：本題主要考查了函數在實際問題中的應用.要求考生先寫出函數解析式，再求函數最大值，而求最值往往要利用導數或基本不等式.這類問題在高考中最為常見，能全面考查考生的綜合素質，考生們應特別關注.

預測2. 數列模型

在經濟活動中，諸如增長率、降低率、存款復利、分期付款等與年（月）份有關的實際問題，大多可歸結為數列問題，即通過建立相應的數列模型來解決.在解應用題時，是否是數列問題一是看自變量是否與正整數有關；二是看是否符合一定的規律，可先從特殊的情形入手，再尋找一般的規律.

例2. 在一次人才招聘會上，有甲乙兩家公司分別開出他們的工資標準：甲公司允諾第一年月工資收入為1500元，以后每年月工資比上一年月工資增加230元；乙公司允諾第一年月工資收入為2000元，以后每年月工資在上一年的月工資的基礎上遞增5%.設某人年初被甲、乙兩家公司同時錄取，試問：

（1）若該人分別在甲公司或乙公司連續工作n年，則他在第n年的月工資收入分別是多少？

（2）該人打算連續在一家公司工作10年，僅從工資收入總量較多作為應聘標準（不計其它因素），該人應該選擇哪家公司？為什么？

（3）在甲公司工作比在乙公司工作的月工資收入最多可以多多少，（精確到1元），說明理由.

解析：（1）此人在甲、乙公司第n年的月工資收入分別為an=1500+230（n-1），bn=2000（1+5%）n-1，（n∈N＊）.

（2）若該人在甲公司連續工作10年，則他的工資收入總量為Sn=12（a1+a2+…+a10）=304200元.若該人在乙公司連續工作10年，則他的工資收入總量為Sn=12（a1+a2+…+a10）=301869元.因為在甲公司收入總量高，該人應該選擇甲公司.

（3）問題等價于求cn=an-bn=1270+230n-2000×1.05n-1的最大值.

當n≥2時，cn-cn-1=230-100×1.05n-1.當cn-cn-1＞0，即230-100×1.05n-1＞0時得n＜19.1.因此，當2≤n≤19時，cn-1＜cn；于是當n≥20時，cn＜cn-1.所以c19是數列{cn}的最大值，c19=a19-b19=825.96≈826元.

這就是說，在甲公司工作比在乙公司工作的月工資收入最多可以多826元.

說明：本問題的關鍵在建立第n年的工資收入與工作年數n的函數關系，有了這個函數關系相關問題就可得到圓滿解決.解答第（3）個問題要學會將問題轉化，即求第n年的收入差cn=1270+230n-2000×1.05n-1的最大值.在求cn的最大值時要從cn＞cn-1和cn＜cn-1來確定一個年限區間[2，19]，在這個區間之內和之外討論數列{cn}的單調性，從而得月工資收入差最大為第19年.

預測3. 解三角形模型

所謂解三角形模型，就是利用三角函數知識，三角形的邊角關系來解決實際問題的.在解決實際問題的過程中，將實際問題數學化，將生活語言轉化為圖形語言是關鍵.在圖形中一定能找到解決問題的突破口，使實際問題迎刃而解.

例3. 如圖，在邊長為10的正三角形紙片ABC的邊AB，AC上分別取D，E兩點，使沿線段DE折疊三角形紙片后，頂點A正好落在邊BC上（設為P），在這種情況下，求AD的最小值．

解析：顯然A，P兩點關于折線DE對稱，連結DP，圖（2）中，設∠BAP＝?茲，∠BDP＝2?茲．

再設AD＝x，所以DP＝x，DB＝10－x．

在△ABC中，∠APB＝180°－∠ABP－∠BAP＝120°－?茲．

在△BDP中，由正弦定理知■＝■，即■＝■，

所以x=■.

因為0° ≤?茲≤60°，所以0° ≤120° －2?茲≤120°，所以當120°－2?茲＝90°，即?茲＝15°時，sin（120°－2?茲）＝1．此時x取得最小值■＝20■－30，且∠ADE＝75°．

所以AD的最小值為20■－30．

說明：三角函數解答題主要是以三角恒等變換為工具，綜合考查三角函數的圖象與性質，往往與平面向量的數量積、解三角形相結合，本題就是以一個簡單的實際問題出發設計的一個考查三角形中的正弦定理、三角恒等變換、三角函數性質的題目，完整解答該題必須對三角恒等變換十分熟練．

預測4． 立體幾何模型

諸如航行、建橋、測量、人造衛星，幾何體容積等涉及一定立體圖形屬性的應用問題，常常需要應用立體幾何的性質，或用函數、方程、不等式或用三角函數知識來求解.

例4 請你設計一個LED霓虹燈燈箱.現有一批LED霓虹燈箱材料如圖所示，ABCD是邊長為60cm的正方形LED散片，邊CD上有一以其中點M為圓心，半徑為2cm的半圓形缺損，因此切去陰影部分（含半圓形缺損）所示的四個全等的等腰直角三角形，再沿虛線折起，使得ABCD四個點重合于空間一點P，正好形成一個正四棱柱形狀有蓋的LED霓虹燈燈箱，E、F在AB上是被切去的等腰直角三角形斜邊的兩個端點，設AE=FB=xcm.

（1）用規格長×寬×高=145cm×145cm×75cm外包裝盒來裝你所設計的LED霓虹燈燈箱，燈箱彼此間隔空隙至多0.5cm，請問包裝盒至少能裝多少只LED霓虹燈燈箱（每只燈箱容積V最大時所裝燈箱只數最少）?

（2）若材料成本2元/cm2，霓虹燈燈箱銷售時以霓虹燈燈箱側面積S（cm2）為準，售價為2.4元/cm2.試問每售出一個霓虹燈燈箱可獲最大利潤是多少？

解析：（1）V=(2x)2■（60-2x）=4■x2（30-x）（0＜x＜30-2■），所以，V′=12■x（20-x），當0＜x＜20時，V遞增，當20＜x＜30時，V遞減，所以當x=20時，V最大.此時正四棱柱形燈箱底面邊長20■≈28.3cm，高為10■≈14.2cm.

用規格為145cm×145cm×75cm外包裝盒來裝燈箱，彼此間隔空隙至多0.5cm，至少裝下5×5×5=125個燈箱.

（2）S=602-4x2-（60-2x）2=240x-8x2（0＜x＜30-2■），

所以x=15cm時側面積最大，最大值是240×15-8×152cm2此時獲利最大，最大利潤為（2.4-2）×1800=720元，故每個燈箱最大利潤720元.

說明：用料方案設計問題，一般都要根據幾何體（圓柱、棱柱等）的體積（容積）或表面積公式建立數學模型，再利用導數求出有關最值.

預測5. 解析幾何模型

將“數”與“形”結合起來研究問題是解析幾何的基本方法.用解析幾何解決實際問題的關鍵是：要建立適當合理的坐標系，將實際問題中給定的條件正確地描繪在坐標系內，設立動點（x， y），求出動點的軌跡方程是解決問題的基礎和依據.利用已知條件，對動點軌跡進行討論研究，一定會解決實際問題.

例5． 小李真是個馬大哈，一不小心把手機丟了，這可是花了整整3000元買的多功能手機呀，小李心急如焚，立即報告了相距10am的兩個派出所.而那位拾手機者近不及待地使用了手機.A、B兩個派出所的監聽儀器聽到手機發聲的時間差為6秒，且B處的聲強是A處聲強的4倍（設聲速為am/s，聲強與距離的平方成反比），請你幫助小李確定持手機者的位置.

解析：如圖，以A、B中點為原點，直線AB為軸建立坐標系，則A、B的坐標為A（-5a，0），B（5a，0）.由于A、B兩派出所監聽器聽到手機發聲的時間差為6秒，可知持手機P在雙曲線■-■=1，又由于B處聲強是A處聲強的4倍，故點P又在圓（x+5a）2+y2=4·[（x-5a）2+y2]上.故持手機者P在兩圖形的交點上.

聯立解方程組：

■-■=1， （x+5a）2+y2=4[（x-5a）2+y2]，

得x=■a，y=■.知持手機者P到AB中點的距|OP|為■am，而∠POB的正切值是■.那末由|OP|及∠POB能很快找到拾手機者.

說明：本題利用坐標法將實際問題轉化為數學問題，借助雙曲線和圓的方程使實際問題得到解決，請同學們想一想，雙曲線和圓的方程是怎樣建立起來的？是利用題目中哪些已知條件建立起來的？

預測6．統計與概率模型

在新課標數學教材中，統計與概率是必修3模塊的主打內容，并在選修2-3中進一步拓展.近幾年來，無論是全國卷還是省市卷，無論是大綱版高考，還是新課標高考卷，統計與概率模型應用題幾乎占盡“半壁江山”.

例6．（文科）育新中學的高三(1)班有男同學45名，女同學15名，老師按照分層抽樣的方法組建了一個4人的課外興趣小組．

（1）求某同學被抽到的概率及課外興趣小組中男、女同學的人數；

（2）經過一個月的學習、討論，這個興趣小組決定選出兩名同學做某項實驗，方法是先從小組里選出1名同學做實驗，該同學做完后，再從小組內剩下的同學中選1名同學做實驗，求選出的兩名同學中恰有一名女同學的概率；

(3)實驗結束后，第一次做實驗的同學得到的實驗數據為68，70，71，72，74，第二次做實驗的同學得到的實驗數據為69，70，70，72，74，請問哪位同學的實驗更穩定？并說明理由．

解析：（1）∵P＝■＝■，∴某同學被抽到的概率為■，

設該課外興趣小組中有x名男同學，則■＝■，∴x＝3，故男、女同學的人數分別為3，1.

(2)把3名男同學和1名女同學分別記為a1，a2，a3，b，則選取兩名同學的基本事件有(a1，a2)，(a1，a3)，(a1，b)，(a2，a3)，(a2，b)，(a3，b)共6種情況，其中恰有一名女同學的有3種情況，

∴選出的兩名同學中恰有一名女同學的概率P1＝■＝■.

（3） ∵ ■1=■=71，

■2=■=71，

s21＝■=4，

s22＝■=3.2，

∴■1=■2，s21＞s22，故第二名同學的實驗更穩定．

說明：本題為概率與統計的知識內容，涉及到總體特征數的估計以及古典概型求事件的概率問題.要讀懂題意，分清類型，列出基本事件，查清個數.，利用有關概率與統計的公式解答.

例7．（理科）某商場在店慶日進行抽獎促銷活動，當日在該店消費的顧客可參加抽獎．抽獎箱中有大小完全相同的4個小球，分別標有字“生”“意”“興”“隆”．顧客從中任意取出1個球，記下上面的字后放回箱中，再從中任取1個球，重復以上操作，最多取4次，并規定若取出“隆”字球，則停止取球．獲獎規則如下：依次取到標有“生”“意”“興”“隆”字的球為一等獎；不分順序取到標有“生”“意”“興”“隆”字的球，為二等獎；取到的4個球中有標有“生”“意”“興”三個字的球為三等獎．

（Ⅰ）求分別獲得一、二、三等獎的概率；

（Ⅱ）設摸球次數為?孜，求?孜的分布列和數學期望．

解析：（Ⅰ）設“摸到一等獎、二等獎、三等獎”分別為事件A，B，C，則

P(A)=■×■×■×■=■，

P(B)= ■=■.

三等獎的情況有：“生，生，意，興”；“生，意，意，興”；“生，意，興，興”三種情況．

故 P（C）=（■×■×■×■×A24）+（■×■×■×■×A24）+（■×■×■×■×A24）=■.

（Ⅱ）設摸球的次數為?孜，則?孜=1，2，3．

P（?孜=1）=■， P（?孜=2）=■×■ =■，

P（?孜=3）=■×■×■ =■，P（?孜=4）=1-P（?孜=1）-P（?灼=2）-P（?孜=3）=■．

故取球次數?孜的分布列為：

E?孜=■×1+■×2+■×3+■×4≈2.73．

說明：注重對離散型隨機變量的數學期望意義的理解，關于離散型隨機變量的應用題，關鍵是找出相關變量之間的關系，而列表是一個比較好的方法，它能清晰地反映出變量之間的聯系，有利于解題.在實際問題中有時用期望或方差兩個數字特征來反映事件的優劣.

四、新題導練

1. 如下圖，A，B，C，D是某煤礦的四個采煤點，l是公路，圖中所標線段為道路，ABQP、BCRQ、CDSR近似于正方形.已知四個采煤點每天的采煤量之比約為5∶1∶2∶3，運煤的費用與運煤的路程及所運煤的重量的積成正比.現要從P，Q，R，S中選出一處設立一個運煤中轉站，使四個采煤點的煤運到中轉站的總費用最少，則地點應選在 .

2． 用一張正方形包裝紙把一個棱長為1的正四面體禮品盒包住（按常規，包裝紙可折疊，但不能剪開），則包裝紙的最小面積是__________．

3. 已知某公司生產某品牌服裝的年固定成本為10萬元，每生產千件需另投入2.7萬元，設該公司年內共生產該品牌服裝x千件并全部銷售完，每千件的銷售收入為R(x)萬元，且

R（x）=10.8-■ x2，（0＜x≤10） ■-■．（x＞10）

（1）寫出年利潤W（萬元）關于年產品x（千件）的函數解析式；

（2）年產量為多少千件時，該公司在這一品牌服裝的生產中所獲年利潤最大？（注：年利潤=年銷售收入－年總成本）

4. 某旅游景點2010年利潤為100萬元，因市場競爭，若不開發新項目，預測從2011年起每年利潤比上一年減少4萬元.2011年初，該景點一次性投入90萬元開發新項目，預測在未扣除開發所投入資金的情況下，第n年（n為正整數，2011年為第1年）的利潤為100（1+■）萬元．

（1）設從2011年起的前n年，該景點不開發新項目的累計利潤為An萬元，開發新項目的累計利潤為Bn萬元（須扣除開發所投入資金），求An、Bn的表達式；

（2）依上述預測，該景點從第幾年開始，開發新項目的累計利潤超過不開發新項目的累計利潤？

5. 如圖所示，一科學考察船從港口O出發，沿北偏東?琢角的射線OZ方向航行，而在離港口■a（a為正常數）海里的北偏東?茁角的A處有一個供給科考船物資的小島，其中tan?琢=■，cos?茁=■．現指揮部需要緊急征調沿海岸線港口O正東m（m＞■a）海里的B處的補給船，速往小島A裝運物資供給科考船，該船沿BA方向全速追趕科考船，并在C處相遇．經測算當兩船運行的航向與海岸線OB圍成的三角形OBC的面積最小時，這種補給最適宜．

⑴ 求S關于m的函數關系式S（m）；

⑵ 應征調m為何值處的船只，補給最適宜．

答案：

1. Q點； 2. 2＋■； 3. (1) W=8.1x-■ -10，0＜x≤1098-■-2.7x，x＞10(2) 9千件；4.（1） An=96n+■×（-4）=98n-2n2、Bn=100n-40-■，（2）第5年；5.（1）S(m)=■OB·｜yc｜=■（m＞■a），（2）m=■a.

（作者單位：江蘇省太倉高級中學）

責任編校 徐國堅