欣賞幾道創新性填空題

填空題是高考的重要題型，由于填空題不像選擇題一樣有選擇支的暗示，又不像解答題一樣要過程，所以對填空題要求似乎更高——準確是要求之一，另外就是速度.但往往填空題中也有一些難題，為了更好地適應新穎問題，我們選取幾道富有挑戰性的填空題加以分析研究，希望對大家解答填空題有幫助.

例1．設集合A={a1，a2，a3，a4}，若A中所有三元子集的三個元素之和組成的集合為B={-1，3，5，8}，則集合A= ．

解析：顯然在A的所有三元子集中，每個元素均出現了3次，所以3(a1+a2+a3+a4)=(-1)+3+5+8=15，故a1+a2+a3+a4=5，于是集合A的四個元素分別為5-（-1）=6，5-3=2，5-5=0，5-8=-3，因此A={-3，0，2，6}.

點評：整體考慮，為我們的求解打開了一扇窗.

例2．已知函數f(x)的定義域為R，f(0)=0，f(x)+f(1-x)=1，f(■)=■f(x)，且當0≤x1≤x2≤1時，有f(x1)≤f(x2)，則f(■)的值為_______.

解析：f(0)=0， f(0)+f(1)=1， 得f(1)=1.

在f(x)+f(1-x)=1中令x=■， 得f(■)＝■，令x=2， 得f(2)+f(1)=1， f(2)=0.

由于f(■)=■f(x)， 所以f(■)=■f(■)=■，

f(■)=■f(250)=■f(■)=■f(■)=■，

f(■)=■f(1)=■，

f(■)=■f(■)=■f(■)=■f(■)=■f(■)= ■，

而 ∵ ■＜■＜■， ∴■= f(■)≤ f(■)≤ f(■)= ■，

∴f(■)=■.

點評：本題是一個有難度的問題，挖掘f(■)=■， f(■)=■，利用夾逼法是解決問題的關鍵.

考查目標：夾逼法，特殊與一般的方法，較強的思維能力.

例3．對于連續函數f(x)和g(x)， f(x)-g(x)在閉區間[a，b]上的最大值稱為f(x)與g(x)在閉區間[a， b]上的“絕對差”，記為■(f(x)， g(x)). 若■(■x3， ■x2+2x-m)=■，則m= .

解析：令t(x)=f(x)-g(x)=■x3-(■x2+2x-m)， t′（x）=x2-x-2=(x-2)(+1)，可知當x≥2時， 函數t(x)單調遞增，

所以當x∈[2，3]時， tmax(x)=t(3)=m-■， tmin(x)=t(2)R=m-■.

當m-■＞0時，也有m-■＞0，此時，

f(x)-g(x)max=t(3)=m-■=m-■=■?圯m=■.

當m-■＜0且m-■＜0，即m＜■時，

f(x)-g(x)min=t(2)=m-■=■-m=■?圯m=0.

當m-■＞0且m-■＜0時，不可能.

所以m=0或m=■.

點評：理解新概念，轉化為我們熟悉的問題是解題的關鍵.

例4．在某條件下的汽車測試中，駕駛員在一次加滿油后的連續行駛過程中從汽車儀表盤得到如下信息：

注：油耗=■，可繼續行駛距離=■，平均油耗=■.

從上述信息可以推斷在10∶00—11∶00這1小時內 (填上所有正確判斷的序號).

①行使了80公里；

②行使不足80公里；

③平均油耗超過9.6升/100公里；

④平均油耗恰為9.6升/100公里；

⑤平均車速超過80公里/小時．

解析：實際用油為7.38.行駛距離為＜■×100=76.875，所以①錯誤，②正確.

設V為已用油量，△V為一個小時內的用油量，S為已行駛距離，△S為一個小時內已行的距離，則

■=9.5，■=9.6， 得V+△V=9.6S+9.6△S，

9.5S+△V=9.6S+9.6△S，△V=0.1S+9.6△S，■=■+9.6＞9.6.

所以③正確，④錯誤.⑤由②知錯誤.

故應填上②③.

點評：此題考查考生的閱讀能力和代入公式的計算能力．

例5．如圖，某藥店有一架不準確的天平（其兩臂不等）和一個10克的砝碼.一名患者想要20克中藥，售貨員將砝碼放在左盤中，將藥物放在右盤中，待平衡后交給患者；然后又將藥物放在左盤中，將砝碼放在右盤中，待平衡后再交給患者.設患者實際購買藥物為m克，則m________20克（填“> ”“< ”“=”）.

解析：這與考綱中考查理性思維是相違背的，也就是說要進行精確的計算才能得出結論.正確解法是：設兩臂長分別為b，a（b>a），第一次、第二次稱得的藥物分別為x，y克，則：10b=xa，yb=10a，從而m=x+y=■+■≥2■=20，當且僅當■=■，即a=b 等號成立 . ∵a≠b ，∴m>20克，故應填填“>”.

點評：憑感覺“藥店不吃虧”，填“<”是錯誤的.

例6．在△ABC中，∠A、∠B、∠C的對邊分別為a，b，c，重心為G，若a■+b■+■c■=■，則∠C= .

解析：因為G是三角形的重心，很容易知道■+■+■=■，

于是■=-(■+■)，把這個式子代到中化簡a■+b■+■c■=■中簡化得（b-a）·■=(a-■c)·■.又因為■和■是不共線的向量，因此這個等式只有當b=a，a＝■c的時候才可能成立.再由余弦定理得cosC=-■，所以C=■.

點評：由（b-a）·■=(a-■c)·■c得到b=a，a=■c是解決問題的關鍵.

例7．如圖所示，在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1的面對角線A1B上存在一點P使得AP+D1P取得最小值，則此最小值為__________.

解析：把對角面A1C繞A1B旋轉，使其與△AA1B在同一平面上，連接AD1，則在△AA1D中，AD1=■=■，為所求的最小值．

點評：轉化在同一平面，利用兩點之間線段最短是解決問題是關鍵.

例8．圖（1）為相互成120°的三條線段，長度均為1，圖（2）在第一張圖的線段的前端作兩條與該線段成120°的線段，長度為其一半，圖（3）用圖（2）的方法在每一線段前端生成兩條線段，長度為其一半，重復前面的作法至第n張圖，設第n個圖形所有線段長之和為an，則an= ．

解析：先根據題意可得a1、a2、a3、a4的值，找到其中的關系，進而可得到數列的通項公式．a1=3，a2=3+3×2×■=6， a3=3+3×2×■+3×22×（■）2=9， an-an-1=3，

∴數列{an}為以a1=3為首項，3為公差的等差數列，an=3+(n-1)×3=3n.

點評：本題主要考查數列通項公式的求法，數列的通項公式在數列學習中占據很重要的地位，要強化學習．

例9 ． 將n2（n≥3）個正整數1，2，3，…，n2填入到n×n個方格中，使得每行每列及每條對角線上的數的和相等，這個正方形就叫做n階幻方.如圖就是一個3階幻方，定義f(x)為n階幻方一條對角線的和，例如f(3)＝15，那么f(4)= .

解析：從整體觀察，我們發現每行，每列及每條對角線的和就是這n2個正整數和的■，所以無論這個n為多少都可以求出f(n)＝■=■，而f(4)＝■＝34.

點評:深刻理解數學概念，掌握數學思想方法是會算的必要條件.

例10．某展室有10個展臺，現有3件展品需要展出，要求每件展品獨自占用1個展臺，并且3件展品所選用的展臺既不在兩端又不相鄰，則不同的展出方法有______種；如果進一步要求3件展品所選用的展臺之間間隔不超過兩個展位，則不同的展出方法有 種.

解析：在第一問中，3件展品有A33有不同的排列，再用4塊隔板插入3個展品空出的4個空位之中，有3種情況：一種是1，1，1，4，即其中一塊隔板含有4個展臺，其余各含1個展臺，有C41種方法；另一種是1，1，2，3， 即其中一塊隔板含有3個展臺，還有一塊含2個展臺，其余各含1個展臺，有C41C31種方法;再一種是1，2，2，2，即其中一塊含1個展臺，其余各含2個展臺，有C41種方法.

故共有A33（C41+C41C31+C41）=120種方法.

在第二問中，含有3或4個展臺的隔板只能放在頭尾，故共有A33（C21+C21C31+C41）=72種方法.

例11．在平面直角坐標系中，定義d(P， Q)=x1-x2+y1-y2為兩點P(x1， y1)，Q(x2， y2)之間的“折線距離”.在這個定義下，給出下列命題：①到原點的“折線距離”等于1的點的集合是一個正方形；②到原點的“折線距離”等于的點的集合是一個圓；③到M(-1， 0)， N(1， 0)兩點的“折線距離”之和為4的點的集合是面積為6的六邊形；④到M(-1， 0)，N(1， 0)兩點的“折線距離”差的絕對值為1的點的集合是兩條平行線.其中正確的命題是____________.（寫出所有正確命題的序號）

解析：到原點的“折線距離”等于1的點的集合{（x，y）||x|+|y|=1}，是一個正方形故①正確，②錯誤.

到M（-1，0），N（1，0）兩點的“折線距離”之和為4的點的集合是{（x，y）||x+1|+|y|+|x-1|+|y|=4}，故集合是面積為6的六邊形，則③正確.

到M（-1，0），N（1，0）兩點的“折線距離”差的絕對值為1的點的集合{（x， y）||x+1|+|y|-|x-1|-|y|=1}={（x， y）||x+1|-|x-1|=1}，集合是兩條平行線，故④正確.

故答案為：①③④.

點評：先根據折線距離的定義分別表示出所求的集合，然后根據集合中絕對值的性質進行判定即可．

創新，包括“新”在試題形式，如例題4，“新”在知識內容（例3，例8，例11）或者“新”在解題方法、研究方法（例1，例7）.面對這些創新性問題，一是要讀懂題意，通過轉化，化“新”為“舊“；二是通過深入分析，多方聯想，以“舊”攻“新”；三是創造性地運用數學思想方法，以“新”制“新”.

( 作者單位：福建省永定縣城關中學)

責任編校 徐國堅