2012年高考概率與統計命題預測

高考，是為高校選拔人才，不是從高一升到高二那么簡單.選拔，就要分出層次，而命題者一定要突出能力、突出運用、突出思維的創新、突出方法和效率.從這個角度上說，高考復習的最后階段，一定要有針對性.考生越是盲目地、大量地做“垃圾題”，越是心里沒底.概率與統計是每年高考必考的內容之一，過去的2011年理科命了“三小一大”共四題，滿分28分，占總分的18.7％。2012年的高考將會命多少題？又可能是哪些題呢？請看這里進行的2012年高考概率與統計命題預測.它將突出針對性、新穎性、預測性.

1． 設計“小、巧、活”的概率試題

概率涉及數學的方方面面，也涉及生活的各個角落.設計概率方面的選擇題或填空題，將以鮮活的素材為背景、以“小、巧、活”為突出特點.此類題在求解時，對題意的準確理解與合理應用將是重點.

例1 甲、乙、丙三人按下面的規則進行乒乓球比賽：第一局由甲、乙參加而丙輪空，以后每一局由前一局的獲勝者與輪空者進行比賽，而前一局的失敗者輪空，比賽按這種規則一直進行到其中一人連勝兩局時停止，設在每局中參賽者勝負的概率均為■，且各局勝負相互獨立，則打滿3局比賽還未停止的概率為 .

解析 設Ak，Bk，Ck分別表示甲、乙、丙在第k局中獲勝．

由獨立事件同時發生與互斥事件至少有一個發生的概率公式知，打滿3局比賽還未停止的概率為P（A1C2B3）+P（B1C2A3）=■+■=■．

點評 本題求解時，要理解“打滿3局比賽還未停止”是什么意思？如何來安排每一局的結果將是求解的重點.顯然，對每一局結果安排，若有一個不合理，產生錯誤是必然的.

2． 設計精美的排列、組合或二項式定理試題

排列、組合與二項式定理是一對連體“姐妹”，它是概率與統計中的一個小的分支，由于是排列、組合是求解概率的基礎，因此，對它的考查有時會溶入求概率之中，而二項式定理就稍顯“孤單”，有時也只好單獨“上陣”了.

例2 若f（x）=（1+x）m+（1+2x）n（m，n∈N）展開式中x的系數為11，當x2的系數最小時， f（x）展開式中x奇數次冪的系數之和為 .

解析 （1）由題意，得C1m+2C1n=11，即m+2n=11.

由于x2的系數為：C2m+4C2n=■+2n（n-1）=m2-■m+■.

因為，m∈N，得m=5、n=3時，x2的系數最小.

此時f（x）=（1+x）5+（1+2x）3=a0+a1x+a2x2+…+a5x5.

令x=1及x=-1，得a0+a1+a2+a3+a4+a5=59，a0-a1+a2-a3+a4-a5=-1，

兩式相減相加，得a1+a3+a5=30.

點評 本題考查二項式定理，將通項公式、二項式展開及系數和等盡收囊中.特別指出，在二次函數求最值時，并非常規，要注意到m∈N，否則，就會出錯或求不出結果.

3． 設計新穎的統計案例試題

線性回歸在近年高考命題中經常出現，解答題與填空題均有，這一內容可以說是必修3統計中的一部分.而作為新課標新增內容之一的統計案例倒是未出現，于是，我們預測設計新穎的統計案例試題，將非線性回歸巧妙的溶解在線性回歸之中，也是可能的情況之一.

例3 某同學建立在如下數據的基礎上

研究兩變量t與y之間的關系，并借助研究結果對t=10時，y的值進行預測.他發現樣本點分布在y=bt3+a的附近，那么，他的預測結果為 .（注：■=1.02）

解析 令x=t3 ，將所給數據轉化為下列數表：

于是x=25，y=26，■（xi-x）（yi-y）=2446，■（xi-x）2=2390，得b=■=■=■=1.02，又由a=y-bx=26-1.02×25＝0.5，

即y=1.02x+0.5，得y=1.02t3+0.5，當t=10時，得y=1020.5.

點評 本題是非線性回歸問題，求解中首先注意到數據轉化，然后再結合最小二乘法求解回歸系數系數，雖然，看上去與線性回歸沒有太大的區別，但就其觀念與所考的知識點卻有很大差異.

4． 即興設計圖案，考查均值的應用試題

即興設計圖案，借助圖案考查均值的應用是離散型隨機變量的均值與方差中隨處可見的試題.此類題的特點是，首先，圖案的設計具有隨意性，由此導致涉及的問題具有新穎性與靈活性.其次，結合的知識與技能具有不定性.由上述兩點，決定了求解此類題，必須認真分析、研究圖案特性，將其包含明顯的與隱含的條件全部挖掘出來，并得到充分利用.

例4 某商場為吸引顧客消費推出一項優惠活動.活動規則如下：消費額每滿100元可轉動如圖所示的轉盤一次，并獲得相應金額的返券，假定指針等可能地停在任一位置. 若指針停在A區域返券60元；停在B區域返券30元；停在C區域不返券. 例如：消費218元，可轉動轉盤2次，所獲得的返券金額是兩次金額之和.

（1）若某位顧客消費128元，求返券金額不低于30元的概率；

（2）若某位顧客恰好消費280元，并按規則參與了活動，他獲得返券的金額記為X元.求隨機變量X的分布列和數學期望.

解析 設指針落在A，B，C區域分別記為事件A，B，C，則P（A）=■，

P（B）=■，P（C）=■.

（1）若返券金額不低于30元，則指針落在A或B區域.

∴P=P（A）+P（B）=■+■=■.

即消費128元的顧客，返券金額不低于30元的概率是■.

（2）由題意得，該顧客可轉動轉盤2次.

隨機變量X的可能值為0，30，60，90，120.

P（X=0）=■×■=■，P（X=30）=■×■×2=■，P（X=60）=■×■×2+■×■=■， P（X=90）=■×■×2=■，P（X=120）=■×■=■.

所以，隨機變量X的分布列為：

其數學期望:

EX=0×■+30×■+60×■+90×■+120×■=40.

點評 本題建立在轉動圓盤圖案的基礎上開展，通過幾何概型產生概率問題.在本題的概率計算過程中，互斥事件的概率與獨立事件的概率都得到了充分的應用.

5． 結合數表設計統計及概率的應用試題

數表是概率與統計中的特有“產品”，如：統計數表、頻率分布表，以及結合具體問題，即興設計的某個特殊數表等，這些表將問題的基本信息統統給出，當我們面對此類問題時，首先，要對信息進行必要的篩選，取其“精華”，去其“糟粕”.其次，確定結合的知識點，然后進行應用.

例5 為發布消費物價指數CPI(是根據與居民生活有關的產品及勞務價格統計出來的物價變動指標，通常作為觀察通貨膨脹水平的重要指標)，某省城市社會經濟調查隊對某種商品的周銷售量（單位：千個）進行統計，最近100周的統計結果如下表所示：

(1)根據上面統計結果，求周銷售量分別為2千個，3千個和4千個的頻率；

(2)已知每千個該種商品的銷售利潤為2千元，?孜表示該種商品兩周銷售利潤的和（單位：千元）.若以上述頻率作為概率，且各周的銷售量相互獨立，求?孜的分布列和數學期望.

解析 (1)周銷售量為2千個，3千個和4千個的頻率分別為0.2，0.5和0.3.

(2)?孜的可能值為8，10，12，14，16，且

P（?孜=8）=0.22=0.04，P（?孜=10）=2×0.2×0.5=0.2，

P（?孜=12）=0.52+2×0.2×0.3=0.37，P（?孜=14）=2×0.5×0.3=0.3，P（?孜=16）=0.32=0.09，?孜的分布列為:

E?孜=8×0.04+10×0.2+12×0.37+14×0.3+16×0.09=12.4千元.

點評 本題建立在頻率分布表的基礎上進行設計，難度與2011年理科試題的難度一致.求解時，只要我們能對頻率分布表中的信息準確提取，再合理應用就能產生正確結論.

6． 將統計與獨立性檢驗聯合設計試題

將統計與獨立性檢驗聯合設計試題在2010年廣東文科卷中曾出現過，同年在遼寧的文、理試卷中也都出現過.此類題在當年的試卷評析中都得到了充分的肯定，遺憾地到了2011年在全國各地居然“絕跡”，今年呢？它有很大的危險性.

例6 某食品廠為了檢查甲、乙兩條自動包裝流水線的生產情況，隨即在這兩條流水線上各抽取40件產品作為樣本稱出它們的重量（單位：克）， 重量值落在(495， 510]的產品為合格品，否則為不合格品．圖是甲流水線樣本的頻率分布直方圖，表是乙流水線樣本頻數分布表．

(Ⅰ) 若以頻率作為概率，從甲流水線上任取5件產品，求其中合格品的件數X的數學期望．

（Ⅱ）從乙流水線樣本的不合格品中任意取2件，求其中超過合格品重量的件數Y的分布列．

（Ⅲ）由以上統計數據完成下面2×2列聯表，并回答有多大的把握認為“產品的包裝質量與兩條自動包裝流水線的選擇有關”．

附：下面的臨界值表供參考：

(參考公式：K2=■，其中n=a＋b+c＋d)

解析 （Ⅰ）由圖１知，甲樣本中合格品數為（0.06+0.09+0.03）×5×40=36，

故合格品的頻率為■=0.9，據此可估計從甲流水線上任取一件產品為合格口的概率為P=0.9，那么Ｘ～Ｂ（５，０.9）=4.5.

（Ⅱ）由表1知乙流水線樣本中不合格品共10個，超過合格品重量的有4件，則Y的取值為0，1，2.且P（Y=k）=■（k=0，1，2），

∴Y的分布列為:

（Ⅲ）2×２列聯表如下：

∵K2=■=■≈3.117＞2.706，

∴有90％的把握認為產品的包裝質量與兩條自動包裝流水線的選擇有關．

點評 本題的設計很有特點，第一問考查二項分布；第二問考查起幾何分布；第三問考查獨立性檢驗.將這三個重要的知識點巧妙的融合在一起，難度并不大，適合廣東高考.值得我們關注.

7． 結合創新思維，設計新型概率、統計試題

每年高考都會有創新題，這些題往往給出新定義，引入新術語，讓考生在閱讀理解的基礎上分析題意、完成求解，看看歷史，曾經出現過空氣污染與笑臉圖、生產流水線上的頻率分布直方圖等.這些題都給考生留下了很深的印象.

例7 某射擊小組有甲、乙兩名射手，甲的命中率為P1=■，乙的命中率為P2，在射擊比武活動中每人射擊兩發子彈則完成一次檢測，在一次檢測中，若兩人命中次數相等且都不少于一發，則稱該射擊小組為“先進和諧組”.

（1）若P2=■，求該小組在一次檢測中榮獲“先進和諧組”的概率；

（2）計劃在2011年每月進行1次檢測，設這12次檢測中該小組獲得“先進和諧組”的次數為?孜，如果E?孜≥5，求P2的取值范圍.

解析 （1）設該小組在一次檢測中榮獲“先進和諧組”為事件A，

則P（A）=（C12·■·■）（C12·■·■）+（C22·■·■） （C22·■·■）=■.

（2）該小組在一次檢測中榮獲“先進和諧組”的概率P=（C12·■·■）[C12·P2·（1-P2）]+（C22·■·■）（C22·P22）=■P2-■P22.

由題意可知：12次檢測中該小組獲得“先進和諧組”的次數?孜服從二項分布?孜~Ｂ（12，P）.

于是E?孜=12P，即E?孜=12（■P2-■P22）.

由E?孜≥5知12（■P2-■P22）≥5?圯■≤P2≤1.

點評 本題很“精干”，第一問考查相互獨立事件的概率，第二問建立在第一問思路的基礎上，考查二項分布及不等式的求解，即基礎又具靈活性，確實是一道好題.

8． 結合數學的其它知識，設計概率、統計的綜合性試題

將概率、統計與其它數學知識結合起來設計考題，是近年命題的一個特點.看看2011年全國新課標試題將分段函數融入概率與統計之中，試題新穎別致，耐人尋味.

例8 已知集合A={x｜x2-7x+6≤0，x∈N?鄢}集合，集合B={x｜｜x-3｜≤3，x∈N?鄢}，M={（x，y）｜x∈A，y∈B}.

（1）求從集合M中任取一個元素是（3，5）的概率；

（2）從集合M中任取一個元素，求x+y≥10的概率；

（3）設?孜為隨機變量，?孜=x+y且?孜是4的倍數，寫出?孜的分布列，并求E?孜.

解析 由x2－７x＋６≤０?圯１≤x≤６即M＝{1，2，3，4，5，6}，又x-3≤3?圯0≤x≤６即B={1，2，3，4，5，6}.

（1）設從M中任取一個元素是（3，5）的事件為B，則P（B）=■，

所以從M中任取一個元素是（3，5）的概率為■.

（2）設從M中任取一個元素，x+y≥10的事件為C，有（4，6），（6，4），（5，5），（5，6），（6，5），（6，6）.

則P（C）=■=■，所以從M中任取一個元素x+y≥10的概率為■.

（3）?孜可能取的值為4， 8，12，對應的基本事件分別為（1，3），（2，2），（3，1），（2，6），（3，5），（4，4），（5，3），（6，2），（6，6），共9個，此時，P（?孜=4）=■=■，P（?孜=8）=■，P（?孜=12）=■，于是?孜的分布列為：

由此得E?孜=4×■+8×■+12×■=■.

點評 本題將不等式的求解、古典概型結合在一起進行設計，在第三問中耍了一個小小的花招，引入隨機變量?孜，并規定了?孜滿足兩個條件，也許在此處會有考生上當.

“急中生智”，現在時間不多了，也是創造奇跡的時候了，只要復習得法，方向正確，分數一定會上去的，相信，你就是其中之一.

(作者單位：中山市第一中學)

責任編校 徐國堅