這個解法是怎么想到的

問題：已知函數f（x）=ax3+bx2+cx（a，b，c∈R）在區間[0，1]上是增函數，在區間（-∞，0]與[1，+∞）上是減函數，且f ′（）=.

（1）求f（x）的解析式；

（2）若在區間[0，m]（m>0）上恒有f（x）≤x成立，求實數m的取值范圍.

第（2）問的解法：因為-2x3+3x2≤x，化簡得x（2x-1）（x-1）≥0，解得0≤x≤或x≥1.因為在區間[0，m]（m>0）上恒有f（x）≤x成立，所以0

在學習《導數及其應用》后，有一同學拿來上面問題第（2）問的解法問我：“老師，這個解法很簡潔漂亮，可怎么想到的呢？”

我反問該同學：“你原來是怎么做的？”

同學接口就說，因為這個問題是恒成立問題，所以我就是按照老師教的求解恒成立問題的方法做的，邊說還邊在紙上寫下過程：

因為在區間[0，m]（m>0）上恒有f（x）≤x成立，所以-2x3+3x2-x≤0對x∈[0，m]恒成立，即（-2x3+3x2-x）max≤0，x∈[0，m].

令g（x）=-2x3+3x2-x，則g′（x）=-6x2+6x-1，若g′（x）=0，解得x=，所以g（x）在（-∞，）和（，+∞）遞減，在（，）遞增，又g（0）=0，故g（x）大致圖像如下（如圖1），由圖像知0

寫到這里，該同學停下了筆，并說后面只要求出x0即可，可自己不會求了，并向我投來尋求幫助的眼光.

“因為x0是圖像與x軸的交點，所以x0實際就是…”，我問道.

“x0就是方程g（x）=0的一個根，由圖1知，并且是中間的一個根，老師這個根我會求了，因為g（x）=-2x3+3x2-x=0，解得x=0或x=1或x=，故x0=.”

到這里，同學已經清楚前面解法的由來，實際上，參考解法是在恒成立問題的常規解法上“優化”而來！

練習題.已知角θ的頂點與原點重合，始邊與x軸的正半軸重合，終邊在直線y=2x上，則cos2θ=（ ）

A. - B. - C. D.

解法1：（分類討論）因為終邊在直線y=2x上，設P（t，2t）（t≠0）為θ角終邊上任意一點，則cosθ=.當t>0時，cosθ=；當t<0時，cosθ=-.因此，cos2θ=2cos2θ-1=-1=-.

解法2：因為終邊在直線y=2x上，所以tanθ=2，因為cos2θ=cos2θ-sin2θ===-.

注：解法2是注意到了直線斜率與傾斜角正切值的關系，并利用了余弦二倍角公式和“化弦為切”得到的.

（作者單位：浙江省紹興縣越崎中學）

責任編校 徐國堅