一道軌跡試題的引申與拓展

在平常的學習中，我們不乏周而復始、簡單重復的解題訓練.其實很多習題，都是一些值得研究的好題.這些試題猶如一顆拋進平靜湖面的小石子，若不加以好好利用，很快就消失于深邃的湖底.若能引申拓展，研究性地進行學習，往往可以成為引領我們拓展思維和認識規律的璀璨明珠.

下面以一道極其平常的軌跡試題為例，引導大家對問題進行一系列的引申與拓展，學會類比思維的方法，體會不同知識間的相互聯系，了解命題者的其中一種命題思路.

問題：已知圓B：（x+1）2+y2=16及點A（1，0），C為圓B上任意一點，線段AC的垂直平分線與線段CB交于點D，求交點D的軌跡G方程.

分析：此題難度不大，利用求軌跡方程的幾何法，易得|DB|+|DA|=4，根據橢圓的定義立得所求軌跡方程為+=1.

但若到此為止，大家總覺得淺嘗輒止.由于所得的軌跡為橢圓，考慮到直線和橢圓的位置關系，是圓錐曲線乃至高考的重點內容，因此，何不借此機會加以適當的引申與拓展呢！為此，在原題的基礎上，我們可設計如下問題：

引申1：若直線y=x與軌跡G交于第一象限內的一點E，求軌跡G在點E的切線方程.

解析：由y=

x，

+=1，得E（1，）.分析可知過點E的切線的斜率必存在，故可設過E點的切線方程為y-=k（x-1），與橢圓方程+=1聯立，可得k=-，故所求的切線方程為y=-x+2.

同學們，不知你們發現沒有：切線方程y=-x+2正好是將點E（1，）的坐標代入橢圓方程+=1化簡所得.于是我們可類比“過圓x2+y2=r2上一點（x0，y0）的切線方程為x0x+y0y=r2”的結論，猜想過橢圓上的一點的切線方程是否也有類似的結論？便可順水推舟，對問題拓展如下：

拓展1：過橢圓+=1（a>b>0）上一點M（x0，y0）的切線方程為+=1.

證明：對橢圓方程+=1兩邊求導，得+·y′=0，得y′=-，故與橢圓相切于點M（x0，y0）的切線斜率為k=-，得切線方程為y-y0=-（x-x0），化簡并把+=1代入，得過橢圓上一點M（x0，y0）的切線方程為+=1.

同學們，橢圓有此結論，你會運用類比，聯想“雙曲線和拋物線也有類似的結論嗎？”于是，很自然地會轉入對以下結論的研究.

拓展2：過雙曲線-=1（a>0，b>0）上一點M（x0，y0）的切線方程為-=1.

拓展3：（1）過拋物線y2=2px（p>0）上一點M（x0，y0）的切線方程為y0y=p（x+x0）.

（2）過拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）上一點M（x0，y0）的切線方程為=ax0x++c.

證明留給同學們自行完成。

講到這里，我估計同學們已經比較滿意.但作為老師的我，總覺得尤興未盡，能不能再將原題進行引申，以加深試題的難度和思維的空間呢！同學們，我們還可設計下面的問題：

引申2：設M（x0，y0）為軌跡G上任意一點，過M點的切線與橢圓H：+=1交于P、Q兩點，橢圓H在P、Q兩點的切線交于點R，求點R的軌跡方程.

解析：設橢圓G上任一點M的坐標為（x0，y0），則lPQ：+=1……①

又設P（x1，y1），Q（x2，y2），R（xR，yR），則過點P、Q的兩切線方程分別為+=1，+=1.又此兩切線的交點為R，則有+=1，+=1.

由于兩點確定唯一的直線，因此lPQ又可表示為+=1……②，結合①式有：=，=.

又因為+=1，消去x0，y0，化簡可得+=1，即為兩切線交點R的軌跡方程.

真是太妙了！過橢圓上一點的切線與外橢圓交于兩點，再過此兩點作外橢圓的切線，兩切線交點的軌跡還是一個橢圓.

同學們，你覺得這是一個偶然的巧合嗎？能有一般的結論嗎？

拓展4：已知兩橢圓C1、C2，且C1在C2的內部，設內橢圓C1的方程為+=1（m>n>0），外橢圓C2的方程為+=1（a>b>0），過橢圓C1上任一點M作C1的切線交橢圓C2于P、Q兩點，過P、Q作橢圓C2的切線，則兩切線交點R的軌跡還是一個橢圓.如此繼續，便形成了一個橢圓系.

證明：設橢圓C1上任一點M的坐標為（x0，y0），則lPQ：+=1……③

又設P（x1，y1），Q（x2，y2），R（xR，yR），則過點P、Q的兩切線方程分別為+=1，+=1.又此兩切線的交點為R，則有+=1，+=1.

因此，lPQ又可表示為+=1……④，結合③式可知=，=.

又因為+=1，消去x0，y0，化簡可得+=1，即為兩切線交點R的軌跡方程.

同學們，根據剛才的研究思路，聰明的你還能提出類似的問題嗎？

同學們，解題不在于多，關鍵在于我們能否抓住問題，進行研究性學習，以拓寬我們的思路與視野。陷入茫茫的題海，只會壓制我們的創新思維。在今后的學習中，愿我們一起能深入探究每一個例題、習題的潛在功能，多一些引申與拓展，開展研究性學習，提高問題的探究能力.

（作者單位：浙江省紹興縣柯橋中學）

責任編校 徐國堅