三角考點分析及復習對策

縱觀廣東近幾年的高考命題，無論是文科還是理科，三角都是必考內容之一.題量往往是“一大一小”或是“一大”.分數在12分至17分之間.且試題以基礎為主，不管是“小題”還是“大題”，難度都比較小，是廣大考生普遍得分之題.正因為如此，三角才顯得非常重要，它是必得滿分的內容，是奧運賽場上的中國“乒乓軍團”，誰都能失誤，它不能失誤.那么面對這一內容，我們該如何進行恰當地復習呢？本文將從基礎知識入手通過基本題型展示其重要考點及其復習對策，希望對你能有所幫助.

一、抓基本概念，促簡單問題準確無誤

基本概念的準確把握與理解是正確處理與概念密切聯系的基本問題的重要依據，這類試題往往難度小，但涉及多個概念，尚若有一個“拿不準”就可能導致出錯.

例1 下列五個命題：①終邊相同的角一定相等；②第一象限的角一定是銳角；③2α是第二象限角，則α不一定是第一象限角；④91°可以表示為+1°；⑤540°角既可以認為是第一象限的角也可以認為是第二象限的角，其中正確的個數是（ ）

A. 1 個 B. 2個 C. 3個 D. 4個

解析 這五個命題都與基本概念有關，我們逐一來看：①由于30°與360°+30°的終邊相同，顯然①錯.對于②由于360°+30°是第一象的角，因此②也錯.2α是第二象限角，則2kπ+<2α<2kπ+π?kπ+<2α

點評 本題不難，但不一定人人都對.究其原因，與概念的把握與理解有關.

二、抓基本定義，促基礎知識深刻理解

三角函數的定義具有豐富的內涵，它與坐標、距離、三角函數式等都是密切的聯系，抓住這個定義是促使對基礎知識深刻理解的有效途徑.

例2 如下圖，質點P在半徑為2的圓周上逆時針運動，其初始位置為P0（，-），角速度為1，那么點P到x軸距離d關于時間t的函數圖像大致為（ ）

解析 由于P0（，-），∠P0Ox=，按逆時針運動時間t后得∠POP0=t，∠POx=t-，由三角函數定義可知，點P的縱坐標為2sin（t-），那么d=2sin（t

-），由于t=時，d=0，排除A、B，又t=0時，d=，排除D，故正確答案為C.

點評 本題主要考查三角函數定義的應用與三角函數圖像，其中，三角函數定義的應用是重點，沒有它，便不可能產生圖像.題目“不大”，但緊扣定義，稍有不熟，便可能出錯或得不到答案.

三、抓基本圖形，促作圖、識圖、用圖合理

三函數y=sinx，y=cosx，y=tanx的圖像是三角函數的基本圖像，抓住這些函數的作圖、性質（定義域、值域、周期性、對稱性、奇偶性、單調性）、應用等稍作變換，即可得到y=Asin（ωx+?），y=Acos（ωx+?），y=Atan（ωx+?）等函數的作圖、性質及應用.由此將三角函數的“涉圖”問題“一網打盡”.

例3 已知函數f（x）=cos2x

+，g（x）=1+sin2x.

（1）設x=x0是函數y=f（x）圖像的一條對稱軸，求g（x0）的值.

（2）求函數h（x）=f（x）+g（x）的單調遞增區間.

解析 （1）由題設知f（x）=[1+cos（2x+）]，因為x=x0是函數y=f（x）圖像的一條對稱軸，所以2x0+=kπ，即2x0=kπ-（k∈Z）.

所以g（x0）=1+sin2x0=1+sin（kπ-）.

當k為偶數時，g（x0）=1+sin（-）=1-=；

當k為奇數時，g（x0）=1+sin=1+=.

（2）h（x）=f（x）+g（x）=[1+cos（2x+）]+1+sin2x=[cos（2x+）+sin2x]+=

cos2x

+sin2x+=sin2x+

+.

當2kπ-≤2x+≤2kπ+，即kπ-≤x≤kπ+（k∈Z）時，函數h（x）=sin2x+

+是增函數.

故函數h（x）的單調遞增區間是[kπ-，kπ+]（k∈Z）.

點評 本題主要考查三角函數圖像的對稱性與單調性.函數y=sinx與y=cosx的圖像既是軸對稱圖形也是中心對稱圖形，對稱軸是經過最高點或最低點且與軸垂直的直線、對稱中心是該圖形與軸的交點.對于y=Asin（ωx+?），y=Acos（ωx+?）的單調區間，就是借助基本函數y=sinx與y=cosx的單調區間進行求解.

四、抓基本公式，促知識網絡構建

從同角三角函數間的關系式、誘導公式到兩角和與差的三角函數再到二倍角公式，可以看出三角函數的完整的公式體系.由這些公式產生函數的奇偶性、周期性、值域、對稱性等性質，又構成了三角函數的基本知識網絡.近年廣東高考總是圍繞基本公式命題就是希望抓住三角的“綱”，以期“綱舉目張”.

例4 已知sin（α-）=2sin（+α），求：

（1）tan（α+）的值；

（2）的值.

解析 （1）由sin（α-）=2sin（+α）?sin（α+-π）=2sin（α++π）?sin（α+）=2cos（α+）?tan（α+）=2.

（2）由tan（α+）=2?tan（α-）=tan[（α+）-]==.

原式=

=

=

=

===

點評 本題主要考查三角公式的應用，從誘導公式、同角三角函數之間的關系式及兩角和與差的三角函數，全部收入“囊中”.想想近年廣東高考有關三角命題，都是花大力氣在角上做足功夫，此類試題值得我們關注.

五、抓基本方法，促問題與求解結合

基本方法是數學本質的體現，無論哪一章節都存在基本方法或常規方法.它是一種思維的基本模式，當我們面對試題時，思維會“情不自禁”.

（1）消元法

例5 若asin2θ+bcos2θ=c且+=c，則++的值為 .

解析 由asin2θ+bcos2θ=c?asin2θ+b（1-sin2θ）=c?sin2θ=，結合sin2θ+cos2θ=1得cos2θ=代入第二個式子得：a·+b·=c即++=0.

點評 看看條件，再看看欲求值的式子，不難看出，條件式中有θ，而所求的式子中沒有θ.它告訴我們欲從條件邁向結論，必須消去θ，如何消？將是求解的重點與關鍵.

（2）湊角法

例6 設α為銳角，若cosα+

=，則sin（2α+）的值為 .

解析 ∵ α為銳角，即0<α<，∴<α+<+=. ∵ cosα+

=，∴ sinα+

=，sin2（α+）=，cos2（α+）=.

所以sin（2α+）=sin[2（α+）-]=sin2（α+）cos-cos2（α+）sin=.

點評 從角入手，看條件，條件角是α+，而結論角是2α+，兩者有什么關系呢？2α+=2（α+）-，于是求解方法便油然而生.

例7 已知f（x）=，

（1）求f（x）的定義域；

（2）若f（+）=，f（-）=5，且0<α<，<β<，求sin（α+β）的值.

解析 （1）由于f（x）===.

由1+sin2x≠0，得2x≠2kπ-，即x≠kπ-（k∈Z）.

那么，函數f（x）的定義域為x|x≠kπ-

，k∈Z.

（2）由f（+）=， f（-）=，得sin（+α）=，sin（-β）=-.又0<α<，<β<，得cos（+α）=-，cos（-β）=.

那么sin（α+β）=-cos[+（α+β）]=-cos[（+α）-（-β）]=.

點評 本題的第一問是三角函數式的化簡，第二問是應用湊角法求值，也就是將條件化簡后，便可發現實際上是角“+α”，“-β”與角“α+β”之間的關系問題.

六、抓基本思想，促求解思路完善

基本思想是數學的靈魂，是思路分析的先導，對解題思路的產生具有指導意義.因此，抓基本思想，實際上是完善問題的求解思路.

（1）化歸思想

例8 式子化簡后的值為 .

解析 ∵ 1+tan10°=1+==，又=cos5°.

原式====2.

點評 本題求解中的關鍵步驟cos10°+sin10°=2sin40°是如何產生的？是化歸思想起的作用.它告訴我們“化為一個角的三角函數”將是處理三角問題的重要思路.

例9 已知函數f（x）=cos（2x-）+2sin（x-）sin（x+），

（Ⅰ）求函數f（x）的最小正周期和圖像的對稱軸方

程；

（Ⅱ）求函數f（x）在區間[-，]上的值域.

解析 （Ⅰ）∵f（x）=cos（2x-）+2sin（x-）sin（x+

=cos2x+sin2x+（sinx-cosx）（sinx+cosx）

=cos2x+sin2x+sin2x-cos2x

=cos2x+sin2x-cos2x

=sin（2x-）.

∴周期T==π，由2x-=kπ+（k∈Z），得x=+（k∈Z）.

∴函數圖像的對稱軸方程為 x=kπ+（k∈Z）.

（Ⅱ）∵x∈[-，]，∴2x-∈[-，]，因為f（x）=sin（2x-）在區間[-，]上單調遞增，在區間[，]上單調遞減，因此當x=時，f（x）取最大值1.

又∵ f（-）=-

故函數f（x）在區間[-，]上的值域為[-，1].

點評 本題只所以獲解，與將原三角函數式轉化為sin（2x-）有很大關系.為什么會想到實施這一轉化呢？化歸思想.

（2）數形結合思想

例10 設函數f（x）=sin（2x+φ）（-π<φ<0），y=f（x）圖像的一條對稱軸是直線x=.

（Ⅰ）求φ；

（Ⅱ）求函數y=f（x）的單調增區間；

（Ⅲ）畫出函數y=f（x）在區間[0，π]上的圖像

解析 （Ⅰ）∵x=是函數y=f（x）的圖像的對稱軸，∴sin（2×+φ）=±1，∴+φ=kπ+，k∈Z. ∵-π<φ<0，

∴φ=-.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知φ=-，因此y=sin（2x-）.

由題意得2kπ-≤2x-≤2kπ+，k∈Z.

所以函數y=sin（2x-）的單調增區間為[kπ+，kπ+]，k∈Z.

（Ⅲ）由y=sin（2x-），知：

故函數y=f（x）在區間[0，π]上圖像是：

點評 數與形的結合是數學的永恒話題，由“數”想“形”與由“形”想“數”是“數學人”必須具備的基本素質之一.本題的第一問是“由形到數”，第二問與第三問是“由數到形”.數形交融，構成了本題求解的美麗樂章.

七、抓基本應用，促知識與應用統一

三角的應用性體現在兩個方面：其一是三角內容的工具性，很多其它章節的問題，求解時借助三角完成.其二是三角內容的實際應用，由于三角知識的特點，決定了它在實際問題中的作用非凡，與生活密切相關的三角問題，是我們必須關注的問題.

例11 由于衛生的要求游泳池要經常換水（進一些干凈的水同時放掉一些臟水）， 游泳池的水深經常變化，已知廣州某浴場的水深y（米）是時間t（0≤t≤24）（單位小時）的函數，記作y=f（t），下表是某日各時的水深數據：

經長期觀測的曲線y=f（t）可近似地看成函數y=Acosωt+b，

（Ⅰ）根據以上數據，求出函數y=Acosωt+b的最小正周期T，振幅A及函數表達式；

（Ⅱ）依據規定，當水深大于2米時才對游泳愛好者開放，請依據（1）的結論，判斷一天內的上午8∶00至晚上20∶00之間，有多少時間可供游泳愛好者進行運動 .

解析 （1）由表中數據，知T=12，ω==.由t=0，y=2.5，得A+b=2.5.由t=3，y=2，得b=2，所以A=0.5，b=2， 振幅A=，∴y=cost+2.

（2）由題意知，當y>2時，才可對游泳愛好者開放， ∴cost+2>2， cost>0 .

∴2kπ-

由0≤t≤24，故可令k=0，1，2，得0≤t<3或9

∴在規定時間內有6個小時可供游泳愛好者運動，即上午9∶00至下午15∶00.

點評 本題是余弦函數的實際應用問題，難度不大，但求解在草稿紙上必須先作出散點圖，通過散點圖，看出周期、最值，以便求函數解析式.第二問首先結合三角不等式產生變量的范圍，然后，再回到實際問題中去，確定所求的取值.

八、抓基本聯系，促多科知識的完美結合

三角的聯系較為廣泛，最為直接的聯系是解三角形及平面向量，特別是解三角形，幾乎每一道解三角形的問題都離不開三角.值得一提的是近三年廣東試題都命在基本公式的應用上，下一年會不會與解三角形結合呢？

例12 在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知sinB=，且a，b，c成等比數列.

（1）求+的值；

（2）若accosB=12，求a+c的值.

解析 （I）依題意，b2=a+c.

由正弦定理及sinB=，得sinAsinC=sin2B=.

+=+===×=.

（II）由accosB=12，知cosB<0.

由sinB=，得cosB=，從而b2=ac==13.

由余弦定理，得b2=（a+c）2-2ac-2accosB.

代入數值，得13=（a+c）2-2×13×（1+），解得a+c=3.

點評 本題將數列、解三形、三角變換等結合在一起進行設計，試題難度與廣東試題保持一致.求解過程注重整體運算，雖不復雜，但也有“小”技巧，需細心、靈活，方能順利完成.

三角，至少是一道解答題.對于三角的復習我們除了掌握上述所說的八點之外，還一定要注意控制難度，且忌偏題怪題，它浪費時間、浪費精力.三角命的題不是難題，而是百分之八十的考生都可以得分的題，我們要注意的是：不是得分，而是一定要得滿分.

（作者單位：中山市第一中學）

責任編校 徐國堅