品味圓錐曲線中的創新問題

■江蘇省沭陽高級中學 梁洪星

圓錐曲線中的創新問題主要圍繞“定義的巧用、離心率的求解、焦點三角形的面積、焦點弦長問題、軌跡方程的探究、直線與圓錐曲線的位置關系探究,以及定值、定點、最值和范圍”等展開,凸現“設而不解,整體思維”的合理簡化運算的數學素養。

一、構建不等關系求圓錐曲線離心率的值或范圍

品味：求離心率的值或范圍,常依據題設構造a、c的齊二次式,借助基本不等式、平面幾何性質和曲線本身范圍構建關于a、c的不等關系,本題中在構建a、c滿足的不等關系時既用到不等式取等號的條件,又用到雙曲線上任一點到其對應焦點的距離不小于ca的幾何性質。

二、直線和圓錐曲線位置關系中的探索性問題

圖1

(1)求橢圓C的方程。

(2)P是橢圓C上除頂點外的任意點,直線B2P交x軸于點Q,直線A1B2交A2P于點E。設A2P的斜率為k,EQ的斜率為m,試問：2m-k是否為定值?并說明理由。

品味：利用向量運算探究a,b,c,e的關系是基礎,當知道直線與圓錐曲線的一個交點去確定另一個交點時,是通過聯立直線方程與圓錐曲線方程的方程組,應用一元二次方程根與系數的關系確定,凸顯直線和圓錐曲線中“設而不解,整體思維”的簡化運算基本方法的應用。

三、參數法探求動點的軌跡方程或進而簡化求最值問題

例3 (2019年南陽中學高三月考)已知平面上一定點C(2,0)和直線l：x=8,P為該平面上一動點,作PQ⊥l,垂足為Q,且

(1)求動點P的軌跡方程;

(2)注意圓的特征合理選用參數方程構建二次函數來求最值。

由題意知,圓N的圓心為(0,1),則E,F

品味：直接找不出動點的橫坐標x與縱坐標y之間的關系,則可借助中間變量(參數可能不止一個),使x,y之間建立起聯系,然后再從所求式子中消去參數,得出動點的軌跡方程。注意題設參數隱含的范圍對橫、縱坐標的限制作用。

四、合理選擇參變量探究直線恒過定點問題

例4 (2019年泰州期末)在平面直角坐標系xOy中,橢圓C的標準方程為=1,其左頂點為A。過原點O的直線(與坐標軸不重合)與橢圓C交于P,Q兩點,直線PA,QA分別與y軸交于M,N兩點。試問：以MN為直徑的圓是否經過定點(與直線PQ的斜率無關)?請證明你的結論。

設M(0,yM),由A,M,P三點共線得

品味：本題探究以MN為直徑的圓是否經過定點,需要將圓的方程(含參數)寫出來,那么重點就是要求出M,N兩點的坐標。而M,N兩點是由直線PA,QA派生出來的,我們得先探討P,Q的坐標。這里提供了兩種方法：第一種,設直線PQ的方程為y=kx,通過解方程組求得各個量,引入了參量k;第二種,直接設出P,Q的坐標,用參量x0,y0表示其他量。從運算的角度容易看出,解法二稍勝一籌。這道題給我們的啟示是：在設參的選取上,解答方案通常有兩種：設直線或設點,只有合理選參,才能減少運算。本題用到圓的直徑式方程(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0(圓的直徑的端點是A(x1,y1)、B(x2,y2))。

五、由圖形的對稱性猜想定點并證明一般情形

例5(2019年鎮江高三上學期期末)已知橢圓+y2=1的右焦點F(1,0),過F作兩條互相垂直的弦AB,CD,設AB,CD的中點分別為M,N。證明：直線MN必過定點,并求出此定點坐標。

證法1：若直線MN的斜率存在,則kMN所以直線MN的方程為

證法2：動直線MN最多過一個定點,由對稱性可知,定點必在x軸上,設x=與x軸的交點為,下證動直線MN過定點

品味：求解直線和曲線過定點問題,常常注意圖形的對稱性,由特殊位置猜測出定點,再在一般情況下進行檢驗。如本題,在解交點時用到輪換式,猜定點時斜率不存在和特殊化處理都用到圖形的對稱性。

六、與圓錐曲線有關的最值或范圍問題

例6(2019年江西4月質檢)已知橢圓的離心率為e=

(1)求橢圓E的方程;

(2)過點B(3,0)且斜率大于0的直線l與橢圓E相交于P,Q兩點,直線AP,AQ與x軸相交于點M,N,求|BM|+|BN|的取值范圍。

解析：(1)利用待定系數法易求得橢圓E的方程為

(2)巧設直線方程,再聯立橢圓方程,消去x得到關于y的一元二次方程,由判別式大于零,運用韋達定理,再將|BM|+|BN|表示為關于m的函數式,分離常數,進而可得結果。

設直線l的方程為x=my+3,P(x1,y1),Q(x2,y2)。

品味：解決圓錐曲線中的最值或范圍問題一般有兩種途徑：一是利用幾何意義,特別是用圓錐曲線的定義和平面幾何的有關結論來解決,非常巧妙;二是將圓錐曲線中的最值或范圍問題轉化為函數問題,然后根據函數的特征選用參數法、配方法、判別式法、三角函數有界法、函數單調性法及均值不等式法,本題第(2)問就是用的單調性法來求|BM|+|BN|的范圍的。