彈性地基上雙層Timoshenko梁的對(duì)偶求解體系

摘要：鑒于已有的研究多基于文克爾（單參數(shù)）地基模型，本文對(duì)雙參數(shù)地基上梁的計(jì)算方法進(jìn)行了較深入的研究。對(duì)關(guān)于彈性地基上雙層Timoshenko梁的各種求解方法以及各類的文獻(xiàn)綜述進(jìn)行了歸納和總結(jié)，并針對(duì)彈性地基上雙層Timoshenko梁的一些特點(diǎn)，通過(guò)對(duì)偶求解體系求解方法對(duì)彈性地基上雙層Timoshenko梁的專題做較深入的研究。

關(guān)鍵詞：彈性地基；雙參數(shù)地基；雙層Timoshenko梁；精細(xì)積分法；哈密頓對(duì)偶求解體系

1 前言

彈性地基梁是直接擱在彈性地基上的結(jié)構(gòu)，它的作用是把上部結(jié)構(gòu)的重量、作用荷載等外力比較均勻地傳給地基，以免地基承受局部過(guò)大的荷載而破壞。如水閘的底版、吊車的軌道、大型房屋結(jié)構(gòu)的條形基礎(chǔ)、公路鐵路的路基路面及其橋梁、建筑結(jié)構(gòu)的底梁等等，都是為了避免地基直接承受較大的上部荷載而設(shè)置的下部結(jié)構(gòu)物[1][2]。它在橫、軸向荷載下的受力分析極為復(fù)雜，而地基梁承受著整個(gè)建筑物的重量和外來(lái)荷載，所以它的安全度關(guān)系著整個(gè)建筑物能否正常使用，故靜力計(jì)算對(duì)上述結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)具有重要意義。本課題是目前工程界關(guān)心的熱點(diǎn)。

2 狀態(tài)空間表達(dá)式的建立

研究梁在受力作用下的應(yīng)力和變形時(shí)，為了簡(jiǎn)化問(wèn)題，得出合乎實(shí)際的計(jì)算模型，按照問(wèn)題的性質(zhì)，往往省略一些次要因素，而根據(jù)主要因素提出基本假設(shè)[3][4][7]。這里使用的Timoshenko梁在經(jīng)典梁的基本假定（材料力學(xué)基本假定和平截面假定）上考慮了梁的剪切變形。

下面建立彈性地基上剛性鉸接雙層梁受橫向力N(N為壓力)時(shí)的計(jì)算簡(jiǎn)圖[5]：

根據(jù)梁1、2的撓度相等（）且

可列出彈性地基上剛性鉸接雙層Timoshenko梁的6個(gè)狀態(tài)空間控制方程如下：

式中，分別為梁1、2的抗推剛度。

為了單位統(tǒng)一使計(jì)算方便，有利于后面的編程計(jì)算，用作替換，無(wú)量剛化

則上式變?yōu)椋?/p>

化為簡(jiǎn)寫矩陣形式：

根據(jù)邊界條件（）和常微分方程相關(guān)理論，可得到狀態(tài)空間表達(dá)式的解為:

3 算例

如圖所示，兩端自由雙層剛性鉸接的階梯梁，受軸向荷載，已知，

通過(guò)MATLAB編程計(jì)算得到以下結(jié)果：

4 算例結(jié)果分析

雙層Timoshenko梁由于基底系數(shù)的取值的大小，上層梁與下層梁所受的彎矩有明顯的不同（上層梁的基底系數(shù)為0），在相同的剛度條件下，基底系數(shù)越大，彎矩愈小。本課題研究方法通用性強(qiáng)，適用于各種情況的內(nèi)力求解，且對(duì)于復(fù)雜受力情況，計(jì)算方法簡(jiǎn)單方便，計(jì)算結(jié)果精度高。算例為對(duì)雙層剛性鉸接的階梯梁，受力復(fù)雜，用該方法就可以很容易得到精確結(jié)果。

通過(guò)例題編程計(jì)算可知雙參數(shù)地基模型所得的結(jié)果較文克爾地基模型更符合實(shí)際情況，以從理論上改進(jìn)文克爾模型中地基不連續(xù)的缺陷，在數(shù)學(xué)上更簡(jiǎn)單[7~8]。

5 結(jié)論和建議

在充分了解國(guó)內(nèi)關(guān)于彈性地基上Timoshenko梁的計(jì)算方法、力學(xué)性能的研究現(xiàn)狀后，本文建立彈性地基上雙層Timoshenko梁彎曲問(wèn)題的哈密頓對(duì)偶求解體系，用精細(xì)積分法求該體系的高精度數(shù)值解，利用MATLAB編程，推導(dǎo)出一套高效的計(jì)算方法。由計(jì)算結(jié)果可得出以下結(jié)論：

5.1 對(duì)彈性地基上雙層Timoshenko梁的計(jì)算分析，得出在簡(jiǎn)彎梁假定下，精細(xì)積分法計(jì)算之后的彎矩和剪力誤差大幅度地降低。

5.2 考慮梁的剪切變形比忽略梁的剪切變形更符合實(shí)際，具有更高的精度，且此方法簡(jiǎn)單，有利于在實(shí)際中推廣。此方法可應(yīng)用于變截面、變參數(shù)彈性地基上Timoshenko梁的計(jì)算中。

參考文獻(xiàn)

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