培養學生類比與聯想能力,提高解題速度

隨著新課程改革的不斷深入，教學評價不斷完善，現在的檢測題目（特別是中考題）越來越靈活，學生要在兩個小時完成這些題目，就要有較快的解題能力。有的學生在考完試后對老師說：“這道題我會的，可惜時間不夠”這種現象較多，究其原因，主要是因為解題速度不夠快。筆者一直在初級中學擔任畢業班數學教學工作，多年來比較重視培養學生的類比推理與聯想的能力，從而提高學生的解題速度，效果令人滿意，中考數學成績不斷提高，2011年中考我校數學平均分名列我區鄉鎮中學第一名，受到同行的肯定及上級教育行政部門的表彰，2011年被八步區教育局評為中考先進個人。下面我將自己的膚淺做法與各位分享，懇請指教。

所謂類比，就是由兩個對象的某些相同或相似的性質，推斷它們在其他性質上也有可能相同或相似的一種推理形式。聯想是由某種事物而想到其他相關事物的思維活動，在數學解題中，往往需要在通過類比的基礎上進行嘗試，從相類似的題目聯想到另一道題的解法，然后沒法證明或否定猜想，進而達到解決問題的目的。

一、對兩個問題的結論類似進行類比

對一些問題，如果它們的結論類似，于是將它跟已知的題目進行類比，聯想到已知題目的做法，并用相同的做法進行嘗試，從而找到解題的突破口。

例如八年級下冊《梯形》的題目：

已知：如圖在梯形ABCD中，AB∥CD，AB=5，CD=9，AD=7，求BC邊的值范圍。

我在教學這道題的時候，雖然學生已經學完梯形的知識，知道梯形的輔助線做法，但大部分學生仍無從下手，于是我便啟發學生這道題與“已知三角形的兩邊，求第三邊的取值范圍”相類似，聯想能不能將梯形轉化為三角形，用解決三角形的方法（知道兩邊求第三邊的取值方法）去解？學生很快便找到解決的方法：

過點B作BE∥AD交BC于點E（轉化為三角形）

在⊿BCE中，學生聯想到已知三角形兩邊求第三邊的方法，BE－CE＜BC＜BE+CE，易求得3＜BC＜11。

二、對探究相同的知識進行類比

如果所學的知識探究的內容與已學過的知識內容相類似，于是聯想已學內容的方法，解決新知識。初中教材有很多知識都可以進行類比，用原來的解題方法去解決新內容的題目。如學習分式的基本性質可以與分數的基本性質進行類比、由分數的約分（通分）聯想到分式的約分（通分）、由分數的乘法與除法法則聯想到分式的乘法與除法法則、由分數的加法、減法法則聯想到分式的加法、減法法則等；三角形相似可以與三角形全等進行類比；三元一次方程組與二元一次方程組；比例與分式……，教師在教學這些知識的時候如果能與已學過的知識進行類比，往往會收獲意想不到的效果。

三、對兩道題的圖形相類似進行類比

當兩道題的圖形相同或類似的時候，自然聯想到另一道的做法，類比用另一道的解法去解題，不但能找到解題的突破口，而且能較快的得到解題的方法。

例如廣西的一道中考題：

已知如圖：半圓O1的直徑在半圓O上，大圓的弦AB切小圓與點F，AB∥CD，而且AB=4，由陰影部分面積為_____。

這是一道填空題，如果學生沒有掌握解題的方法，不可能在短時間內做出3分的題目，而此題與九年級上冊課本P103頁的第16題：如圖，大半圓O與小半圓O1相切與點C，大半圓的弦AB與小半圓相切于點F，且AB∥CD，AB=4cm，求陰影部分的面積。（提示：將兩個圓變為同心圓）。

由于學生掌握了這類題的方法，運用類比將兩個半圓變為同心圓，很多學生都能較快完成，收到較好的效果。

四、對兩道題的命題背景類似進行類比

當要解決的命題背景與已做過的命題背景相類似或是兩個命題的背景剛好互換（兩個命題題設與結論互相調換）的時候，大多數都可以進行類比，聯想用已做過的命題的解題方法去解決新命題，從而能較快的解題。例如九年級課外練習有一道題：

如圖，在△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分線，O是AB上一點，以OA為半徑的，⊙O經過點D。

求證：BC是⊙O切線；

證明：如圖1，連接OD.

∵ OA=OD，AD平分∠BAC，

∴ ∠ODA=∠OAD，∠OAD=∠CAD。

∴ ∠ODA=∠CAD。

∴ OD//AC。

∴ ∠ODB=∠C=90。

∴ BC是⊙O的切線

很多命題者將此題更改命題的背景，可以得到以下兩道題：

1. 如圖，在△ABC中，∠C=90°，O是AB上一點，以OA為半徑的⊙O與BC切于點D。

求證：AD是∠BAC的平分線

2. 如圖，在△ABC中，O是AB上一點，以OA為半徑的⊙O與BC切于點D，AD是∠BAC的平分線

求證：∠C=90°

學生在解這兩道題的時候，由于與課本練習的命題背景剛好互換，因此，可以聯想到這道題的解法（連接OD），從而很快得到解決的方法。

運用類比法進行推理的依據并不充分，問題的結論是靠猜測來完成的，因而其正確性還需要進一步驗證。但只要正確應用好類比聯想方法形成知識體系的正向遷徙，不失是一種培養學生數學思維能力的有效方法。因此，老師若能在平時的教學中，能經常引導學生運用類比進行推理，培養學生類比與聯想的能力，能較快找到解題的方法，使學生領略到撥云見日的美妙，解題思