數學課程標準(2011年版)的重要變化及學習體會(上)

2011年12月28日，教育部正式公布了《義務教育數學課程標準（2011年版）》（以下簡稱《標準》），并于2012年秋季開始執行。這意味著2001年公布的《義務教育數學課程標準（實驗稿）》將完成它的歷史使命，隨之而來的，就是教材的改革，數學課程改革也必將進入一個新的發展階段。對修訂版數學課程標準的學習和研究也將成為數學教育工作者們當前的頭等大事。

經過幾年來對數學課程標準修訂情況的跟蹤研究以及對數學課程標準（2011年版）的深入研讀，我認為修訂版是對實驗稿的繼承和發揚，改進與完善，但又不乏創新之舉，讓人讀來眼前一亮，對數學與數學教育的意義與價值的定位更準確，對學生思維能力和創新能力的培養目標的要求更明晰，對學習方式、教學方式等教學策略與手段的指導更明確，對課程內容的調整更合理。

在研讀標準的過程中，幾個方面的重要變化給我留下了深刻的印象。

第一，標準明確提出了“四基”這一學生培養目標，即數學的基礎知識、基本技能、基本思想和基本活動經驗；

第二，標準明確提出“發現問題、提出問題能力”的培養，與原有的“分析問題、解決問題能力”的目標共同組成了“四能”；

第三，調整和界定了10個數學課程中的核心概念，即數感、符號意識、空間觀念、幾何直觀、數據分析觀念、運算能力、推理能力和模型思想，以及應用意識和創新意識；

第四，進一步完善了基本理念，明確了重要的學習方式與教學方式，并對學生良好的學習習慣等情感態度目標做了細致描述；

第五，第一、二學段一些具體課程內容的調整與修改更加符合學生的年齡特點以及教學實際，使得數學課程內容的安排更趨合理。

下面就對以上幾點談談自己的研讀體會與思考。

一、從“雙基”到“四基”——“十年數學課程改革最重要的收獲”

修訂后的數學課程標準在總目標中明確指出，通過義務教育階段的數學學習，學生能“獲得適應社會生活和進一步發展所必需的數學的基礎知識、基本技能、基本思想、基本活動經驗”。這是在實驗稿基礎上對傳統“雙基”（即基礎知識和基本技能）的重要發展，雖然實驗稿中的總目標也出現過“數學活動經驗”和“數學思想方法”，但沒有像修訂稿這樣明確地把這四方面的目標并列起來作為統一要求。這說明標準修訂專家組在充分肯定基礎知識和基本技能（雙基）是我國數學教育的傳統優勢的同時，更加關注到基本思想和基本活動經驗應該是數學素養的重要組成部分，它們不僅是學生當前數學學習和發展的需要，更是學生未來學習和終身發展所必需的。獲得“四基”，可以看做是學生得到良好數學教育的集中體現，它關系到學生當前學習和長遠發展。這是對“雙基”的繼承和發展，必將推動我國基礎教育階段數學課程改革的深入發展。

課標研制組專家孫曉天教授則把“四基”的提出譽為“十年數學課程改革最重要的收獲”，“是這一輪數學課程改革取得的最重要、最具成長性的標志性成果”。

我們知道，提出基本思想、基本活動經驗的最重要的原因，是要切實提高學生的數學能力，著力培養創新型人才。而創新意識和創新能力的形成，不僅僅依靠熟練的知識和技能為基礎，更需要思想方法的指引和活動經驗的積累。也就是說，要創新，需要具備知識技能、需要掌握思想方法、需要積累有關經驗，幾方面缺一不可。

正如史寧中教授所說：“創新能力依賴于三方面：知識的掌握、思維的訓練、經驗的積累，三方面同等重要。”

那么，什么是數學的基本思想，什么是數學基本活動經驗，他們的內涵和外延如何界定？《標準》并沒有對此進行深入說明，研究者目前也沒有形成一個統一的觀點，這也給了研究者更大的研究和討論的空間。相信在研究者與實踐者的共同努力下，一定會取得一個基本的共識。

關于基本思想

我們知道，在小學階段學生在學習過程中接觸到的數學思想有很多，比如分類思想、轉化思想、數形結合思想、類比思想、歸納思想、方程思想等，在眾多數學思想中，哪些屬于基本思想呢？基本思想應該有哪些特征和功能？這些基本思想對不同年齡階段的學生會表現出怎樣的理解和接受狀態，在教學中應該滲透到何種程度，達到什么樣的目標要求才算適宜？這些都是我們下一步的教學實踐與理論研究要重點解決的問題。

史寧中教授曾在報告中指出，基本思想主要是指演繹和歸納，是最上位的思想。這里所說的思想，是大的思想，不僅僅是在數學學科中，是希望學生領會之后能夠終生受益的那種思想。同時，他也強調，如果站在數學學科的角度來看，數學的基本思想有3個：抽象、推理、模型。

人們通過抽象，從客觀世界中得到數學的概念和法則，建立了數學學科；通過推理，進一步得到更多的結論，促進數學內部的發展；通過建模，把數學應用到客觀世界中，溝通了數學與外部世界的橋梁。

比如，由數量抽象到數，由數量關系抽象到方程、函數（如正反比例）等；通過推理計算可以求解方程；有了方程等模型，就可以把數學應用到客觀世界中。

顧沛教授則認為，“數學的基本思想，主要可以有數學抽象的思想、數學推理的思想、數學模型的思想和數學審美的思想。” 相較史寧中教授的觀點，又增加了“數學審美的思想”，并認為“通過數學審美，看到數學‘透過現象看本質’‘和諧統一眾多事物’中美的成份，感受到數學‘以簡馭繁’‘天衣無縫’給我們帶來的愉悅，并且從‘美’的角度發現和創造新的數學。”

上述這些基本思想應該屬于數學思想的最高層面，由其演變、派生、發展出來的數學思想還有很多，比如：分類思想、集合思想、符號思想，歸納思想、演繹思想、數形結合思想、化歸思想，方程思想、函數思想等。

在用數學思想解決具體問題時，對某一類問題反復推敲，會逐漸形成某一類程序化的操作，就構成了“數學方法”。如等量代換法、數學歸納法、換元法、配方法、列表法等。數學方法不同于數學思想，數學思想往往是觀念的、普遍的、深刻的、一般的、內在的，而數學方法往往是操作的、特殊的、表象的、具體的、程序的、技巧的。數學思想常常通過數學方法去體現，數學方法又常常反映了某種數學思想。教師在講授數學方法時應該努力反映和體現數學思想，讓學生體會和領悟數學思想，提高學生的數學素養。

數學思想蘊涵在數學知識形成、發展和應用的過程中，是數學知識和方法在更高層次上的抽象與概括，如歸納、演繹、抽象、轉化、分類、模型、數形結合、隨機等。對數學基本思想的研究，我們可以先從這些與具體內容緊密結合的具體的數學思想入手。通過讓學生積極參與數學活動，在活動中獨立思考、合作交流，不斷積累數學活動經驗，經歷知識的形成過程，進而逐步感悟、領會這些思想。但引導學生通過知識的學習感悟數學思想，并不依賴于知識本身的難度。同時，對數學思想的滲透與感悟尤其要考慮到小學生的年齡特點，符合思維發展的規律。

關于基本活動經驗

對于數學基本活動經驗的內涵，目前學者們也是各抒己見。

張奠宙教授指出：“數學經驗，依賴所從事的數學活動具有不同的形式。大體上可以有以下不同的類型：直接數學活動經驗（直接聯系日常生活經驗的數學活動所獲得的經驗）、間接數學活動經驗（創設實際情景構建數學模型所獲得的數學經驗）、專門設計的數學活動經驗（由純粹的數學活動所獲得的經驗）、意境聯結性數學活動經驗（通過實際情景意境的溝通，借助想象體驗數學概念和數學思想的本質）。”

徐斌艷教授認為：“我們還可以將基本活動經驗進一步細化，它包括基本的數學操作經驗；基本的數學思維活動經驗；發現問題、提出問題、分析問題、解決問題的經驗。”

孔凡哲教授認為：“基本活動經驗”是指“在數學目標的指引下，通過對具體事物進行實際操作、考察和思考，從感性向理性飛躍時所形成的認識”。

王新民等學者則認為，“數學活動經驗是指學習者在參與數學活動的過程中所形成的感性知識、情緒體驗和應用意識。”

盡管不同學者對數學基本活動經驗的描述有所不同，但基本都是指向于“學習者在數學活動中所形成的對當前以及后續學習能夠產生積極作用的經歷、體驗”。

本人比較傾向王新民等學者對數學活動經驗的闡述，尤其是他們對“感性知識、情緒體驗和應用意識”的解讀，并關注到了學生在活動中所獲得的非智力因素方面的體驗，更加全面、深入、細致。“感性知識是指具有學生個人意義的過程性知識，也包括學生大腦中那些未經訓練的、不那么嚴格的數學知識；情緒體驗是指對數學的好奇心和求知欲、在數學學習活動中獲得的成功體驗、對數學嚴謹性與數學結果確定性的感受以及對數學美的感受與欣賞等；應用意識包括“數學有用”的信念、應用數學知識的信心、從數學的角度提出問題與思考問題的意識以及拓展數學知識應用領域的創新意識，而且應用意識是數學基本活動經驗的核心成分。”

在數學學習中，并不是所有的知識都需要學生親自去探索，親歷知識形成的過程，而是要選擇那些蘊涵豐富數學思想的數學知識，精心設計數學活動，讓學生在探索中積累數學活動經驗，感悟數學思想。我們也應該清醒地認識到，數學思想的形成不同于知識與技能的教學，它不是一蹴而就的，也不是靠難度和過早的抽象化、形式化就能“速成”的，它是需要學生慢慢理解、逐步感悟的，是需要建立在一定的數學活動經驗基礎上的再認識、再深化的不斷內化過程。在教學中，我們在重視 “四基”目標整體實現的同時，一定要避免走入形式化傾向，走向“唯思想”、“唯經驗”的另一個教學極端。

二、從“兩能”到“四能”——創新能力形成的源動力

解決問題是數學活動的標志，也是產生數學知識的一個主要途徑。沒有解決問題的能力，數學思想、知識和技能的作用將會非常有限。培養學生解決問題的能力始終是數學教育應當重視的重要議題。修訂后的數學課程標準在總目標第二條中特別指出，通過義務教育階段的數學學習，學生能“體會數學知識之間、數學與其他學科之間、數學與生活之間的聯系，運用數學的思維方式進行思考，增強發現和提出問題的能力、分析和解決問題的能力。”與實驗稿相比，由過去一貫注重“分析問題和解決問題能力的培養”，發展到要“增強發現問題和提出問題的能力、分析問題和解決問題的能力”，特別將“發現問題和提出問題的能力”在總目標中明確提出，并將原來總目標中4個方面之一的“解決問題”改為“問題解決”。充分表明了數學學習中問題的重要性，“問題是數學的心臟”，發現問題和提出問題是學生數學問題意識的具體體現，是創新的前提。分析問題和解決問題固然重要，但發現和提出問題更是培養學生創新意識所急需的。《標準》在對“創新意識”這一核心概念的闡述中明確指出：學生自己發現和提出問題是創新的基礎；獨立思考、學會思考是創新的核心；歸納概括得到猜想和規律，并加以驗證，是創新的重要方法。

由“兩能”發展到“四能”，強化問題意識，這正是創新能力形成的源動力，充分體現了課程改革的理念，將有助于在基礎教育階段發展學生的創新意識和創新能力，對培養創新型人才有著重要的現實意義。

與美國的“問題解決標準”對比，會發現我們的標準要求的比美國高。其中“創新意識和實踐能力”只在問題解決的目標中出現。我們改革的一個很重要的目標就是呼喚創新意識和實踐能力，在小學階段要給孩子們埋下一些創新和發現的種子，激發出他們創造的潛能。但美國的問題解決更加強調問題的開放性與挑戰性，強調學生是問題解決的主體，能夠提出具有挑戰性的問題以及學會如何反思自己解決問題的思維過程。這一點對我們的教材編寫以及教師對問題解決情境的設計與教學會帶來很大啟發。

在美國的問題解決標準中，對教師的作用也給了明確的要求和建議，包括一些教學策略，明確提出“教師應當把問題解決作為教學過程的一部分，而不是單獨教學生如何解決問題。通過經歷這些解決問題的過程，他們的基本技能、數學思維能力以及解題策略都會得到發展。”“教師為提供學生解決問題的機會所做出的決定，會影響學生數學學習的深度和廣度。當教師創設一個對全班大多數學生來說既質疑又能解的情境時，他必須清楚地知道自己想要學生獲得什么樣的學習結果。” 我們過去更習慣于教學生如何解決問題，而不是讓學生自己去發現問題、提出問題，探尋、交流、反思解決問題的策略。

在學生解決問題的過程中，教師應該扮演什么樣的角色？“教師要做出很多重要的決定——什么時候提問，什么時候給學生反饋以肯定正確、指出錯誤，什么時候不表達意見但設計同類題目以及什么時候借助課堂討論來促進學生的數學思維。通過給學生思考時間，相信學生能夠解決問題，認真聽取學生的解釋以及創設一個重視學生努力的環境，教師能夠促進學生解決問題的能力并幫助他們闡明自己的解題策略。” 這些教學策略對于我們更好地落實“問題解決”的目標，培養學生“發現和提出問題的能力、分析和解決問題的能力”，進而發展學生的創新意識和創新能力，有著重要的指導和借鑒意義。

■ 編輯/魏繼軍