“用方程解決問題”起始教學的策略和細節處理

用方程解決問題的學習主要包括兩個步驟：一是列方程，就是針對某些問題，從分析數量間的相等關系入手，通過設元建立方程；二是解方程，就是運用等式的性質，使問題得到解決。用方程解決問題與之前學生熟知的算術方法解決問題，在思維方式上有很大區別。對于作為初學者的學生來講，筆者認為，我們首先要規范“用方程解決問題”的基本思路；其次要讓學生體會到“用方程解決問題”的優越性；最后，要求學生嚴格按等式性質作為依據解方程。從而使學生在起始教學階段，就能深刻地體會到用方程解決逆向思維問題的優越性，并形成正確的“用方程解決問題”的基本思路。

一、滲透建模思想，規范“用方程解決問題”的基本思路

小學生（五年級）在初次接觸一個實際問題到最終建立方程（即建模）的過程中，一般要經過如下幾個環節：（1）用自己的語言或思維描述數學問題；（2）抽象成用數學語言或思維表達數學問題；（3）用數學符號（代數思想）建立方程（建模）。

我們解決上述“稍復雜的方程”教學時安排了這樣幾項學習活動。

1.審清題目

審題、找關鍵詞句都很容易，學生很快就找出了“白色皮比黑色皮的2倍少4塊”。但是，題目審完之后是否就真正理解題意了呢？找到關鍵詞句后又是否能從中找出數量間的相等關系呢？學生能不能把題目中抽象的數學語言化為自身的具體的自然語言呢？

帶著這些思考，我們在教學時組織學生根據題目意思自己來設計語言表述。學生中一時產生了諸多不同表述。如：黑色皮的2倍少4塊是白色皮；白色皮加4塊等于黑色皮的2倍；黑色皮的2倍減去4塊等于白色皮；黑色皮的2倍減去白色皮等于4塊……

對于這些不同表述，我們選擇了畫線段圖，并從中讓學生體會、感悟和發現：不同的表述方式描述同一件事，都可以形成一個等式。

找數量關系是根據題意列方程的關鍵。有些數學問題數量關系復雜，學生一時不易找出隱含的數量關系，以至列不出方程。因此找題中的數量關系應在教學中引起高度重視。訓練找數量關系，可以從數量關系比較明顯的問題開始，再過渡到數量關系較復雜的問題。可以組織學生找數量關系的專項練習，例如：

今年比去年長高了8厘米。

第一根比第二根短3米。

蘋果樹是梨樹的2倍。

把這些關鍵語句翻譯成等式。比如出示“今年比去年長高了8厘米”，學生翻譯成：今年-去年=8厘米，去年+8厘米=今年，今年-8厘米=去年。……

通過基本訓練，使學生熟練掌握找出題目中數量關系式的技能。

2.畫線段圖

要讓學生充分參與“線段圖”的形成過程，采用師生合作學習為主的策略。直觀的線段圖可以幫助學生進行思維，通過線段圖解決問題。結合學生討論，教師逐步呈現一幅“半成品”——用一條線段表示黑色皮的塊數（如圖1），然后提示學生根據線段圖上的內容（問題、描述性的話、線段）找出表示黑色皮和白色皮之間相等關系的句子，讓學生充分理解，討論并畫出白色皮的線段圖（如圖2），再根據圖或文字找出數量關系等式。

線段圖能使抽象的數量關系具體化，使隱含的數量關系明朗化。對于較復雜的題目，可借助線段圖找數量關系。如：“有兩袋大米，甲袋大米的重量是乙袋大米的1.2倍。如果再往乙袋里裝5千克大米，兩袋就一樣重了。原來兩袋大米各有多少千克？”根據題意，可以畫出下面的線段圖。

從圖中很容易得出：甲袋重量-乙袋重量=5千克。

3.列出方程

這時我們可以放手讓學生自己嘗試著去完成，有的學生列出了2x-20=4的方程，有的學生則列出了2x-4=20的方程，還有的學生列出了20+4=2x的方程式。學生列好方程后，引導學生討論列方程式中每一步的含義，并得出“因為方程式左右兩邊數量關系相等，所以這個方程正確”，進而突出“方程主要是說明兩事物等價”的本質特征。

列方程的實質是把題中的“生活語言”轉化為“代數語言”，即把文字數量關系式用已知數與未知數代入得到方程。教學時，要鼓勵學生根據不同的數量關系式列出不同的方程，然后加以比較，找出比較好的解法，以提高學生靈活運用方程解決實際問題的能力。

小學中的實際問題并不復雜，一般直接設未知數，即求什么設什么。有時也需間接設未知數，即設與要求的問題緊密相關的中間問題為x。設好未知數后，有時要根據數量關系寫出某些代數式，這也是列方程中的重要一環，值得注意的是：根據某一數量關系建立起代數式，就不能再根據這一數量關系列方程，否則會出現恒等式，而不是我們要求的方程。

4.解方程

在解方程之前，因為出現了三個方程：2x-20=4，2x-4=20，20+4=2x，我們先組織學生討論自己的解題思路，試著讓學生上臺板演。通過比較分析，學生發現前兩個方程解題思路相似，第3個方程在完成左邊計算之后要利用等式兩邊相等的關系進行交換。最后再請3個學生對3個方程分別進行驗算。

小學生開始只會解含有一個未知數的方程，慢慢地會解兩問，也就是兩個未知數。例如：崗上果園有梨樹和棗樹共190棵，棗樹是梨樹的4倍。梨樹和棗樹各有多少棵？分析：這道題有兩個未知數。可以先設其中一個未知數為x，根據題意列方程解答，然后再求出另一個未知數。

這道題啟發我們：用一個未知數表示另一個未知數是有效的辦法，也是用方程解這類題的總思想。在總思想下具體分三步走：

（1）首先從條件中找到兩個等量關系。

（2）選其中一個等量關系用來實現一個未知數表示另外一個未知數。

（3）用另一個等量關系列方程。

在三步走的思考下有了下面的四個方程：

A.設梨樹為x棵，那么棗樹是（190-x）棵 190-x=4x

B.設棗樹為x棵，那么梨樹為（190-x）棵 x=（190-x）×4

C.設梨樹為x棵，那么棗樹為4x棵 x+4x=190

D.設棗樹為x棵，那么梨樹為（x÷4）棵 x+（x÷4）=190

C方程最好，因為在C方程中沒有減法也沒有除法，計算最簡便。能加能減，寧加不減；能乘能除，寧乘不除。解法C既沒有減法也沒有除法，是最好的解法。

二、自主解決問題，體會“用方程解決問題”的優越性

方程解決問題的優勢在于降低思維難度。如果我們呈現的問題并不能讓學生有這樣的體驗甚至讓學生感到更困難，那我們便是在故意刁難，從而降低學生學習的積極性，更失去了方程教學的意義和價值。

在實際教學中，我們首先通過選擇典型例題分別用算術法和方程法進行分析解答，體會這兩種表達方式的不同，表現形式不同，解題思路也不同。讓學生體會方程解法更有一定的優勢，對他們進行方程思想的滲透。

下面以教材第76頁第8題的教學為例，請學生分別用算術法與方程法分別解決這一問題，并反饋總結得到以下思路：

上題解法一中算式的得出是從要求的數值反推回去，是逆向思維，它要求確定倍數，找出倍數相對應的量，然后相除得出倍數的值，這樣難于思考。而解法二是把未知數當作已知條件，根據條件的描述找出等量關系，是由果索因的分析法，是正向思維，便于思考，易于列出關系式，體現出代數方程解法的優越性。

我們在教學列方程解決問題以后，有些問題嘗試讓學生分別用算術方法和方程方法來解，學生在用算術法時會遇到困難，這時就可以體現方程的優勢。如，通過比較利用梯形面積公式列方程求高和直接列算式求高，就能讓學生體驗到算術方法需要逆向思維，每一步都要進行具體分析并給出合理的解釋，難度大且易錯，而一旦將未知量用字母表示并和已知數一起參加運算，就很容易建立方程，逆向思維的過程被解方程的程式化演算所替代。

學生經過一段時間的訓練，慢慢克服了算術解法的思維定式的影響，促使學生迅速適應方程的解法。通過比較逐步分清兩種解法的思路有什么不同，并能根據題目不同特點，靈活選擇解法。一般來說，順向思維的題宜用算術解法；逆向思維的題宜用方程解法。

當然，要讓學生領會方程的優越性，不能就題論題，而應當從方程的視角抓住傳統中眾多類型應用題的本質，以實質上具有同類數量關系的問題為主線，突出相應的解法要點，達到觸類旁通，體驗方程思想和價值的目的。如用算術方法解題時學生比較畏懼的“黃豆榨油”問題及作為奧數內容的“雞兔同籠”等問題，通過列方程（比例式）方便地解決更能讓學生體會到方程的必要性和優越性，從而對方程思想達到更深層次的認識。當然，這種深層次的認識并非單元教學需要達成的目標，而是應當作為長期目標有意識地滲透在平時的教學實踐中，畢竟方程思想的建立是一個長期的不斷深化的過程。

三、發揮首映效應，突出“等式的基本性質”作為解方程的依據

為了統一解方程的思路，發揮先入為主的作用，在解方程之初就引導學生用等式的基本性質作為解方程的依據，直接避免四則運算的解題思路。

例如：在教學課本第58頁例1時，我們做了如下設計。

師出示場景圖：

師：你能根據圖列出方程嗎？（板書：x+3=9）

師出示天平圖：

師：仔細觀察這兩個圖，能說說這兩個圖之間的聯系嗎？

生：天平左邊的x表示的是大盒子，三塊小正方體表示的是三個球，右邊的9個小正方體表示的是上面總共為9個。

師：怎么樣解這個方程呢？你有什么辦法？把你的辦法先和小組里的同學交流。

學生交流后，教師用課件將天平圖做如下動態演示，并板書解方程的過程。

教學過程中，從圖例到天平，讓學生在求解的過程中進行數學模型的變換，進一步體會“相等關系”。“天平”的出現為處理方程提供了一個強有力的智力圖像，用天平平衡的道理，直觀地幫助學生深化對“相等關系”的理解，幫助學生建立如下規則：在等式的兩邊進行相同運算的同時，平衡也得到了維持。同時，用天平的動態演示，引出解方程的步驟，可以直接避免學生出現不同的解題思路。

總之，用方程解決問題，是解決較復雜問題的重要手段。在小學，人教版五年級開始學習解方程，之后到六年級的分數除法和正反比例應用題時，又根據需要學習用方程解決問題。實踐證明：方程是學生未來學習的主要方向。在小學數學五年級“用方程解決問題”起始教學中做好一些準備，就能為日后初中學習一元一次方程做好鋪墊，實現小學到初中的自然過渡。

（作者單位 俞立剛：浙江省杭州市蕭山區樓塔中心小學 邵漢民：浙江省杭州市蕭山區教研室）