淺論數形結合

摘 要：談談中學數學中所蘊含的數形結合的思想，以及如何運用數形結合的思想來巧妙解決相關問題。

關鍵詞：數形結合；數；形；直觀

中圖分類號：G642.0 文獻標識碼：A 文章編號：1002-7661（2012）01-019-01

“數形結合”顧名思義就是把數與形有機地結合起來，將原本抽象的數據在圖形中具體直觀的表現出來，進而得到問題的解答。數形結合的思想在我們學習的過程中起著重要的作用。巧用數形結合有利于培養學生分析問題，解決問題的能力和培養學生的空間想象力，在一定程度上能調動學生的學習積極性，開拓學生的解題思路。

一、用數形結合來驗證問題

1、驗證平方差公式：a2－b2＝(a＋b)(a－b) (a＞b＞0)

分析：以a為邊長作一正方形ACDE，取AB＝ｂ，AF＝ｂ，再以AB為邊長作一正方形ABGF （如圖），再連接GD。SBCDEFG＝SACDE－SABGF， 而SACDE＝a2， SABGF＝b2

所以SBCDEFG＝a2－b2，又因為SBCDEFG＝SBCDG＋SGFED＝（b＋a）×（b－a）÷2×2

＝(a＋b)(a－b)，所以 a2－b2＝(a＋b)(a－b).

2、驗證配方的過程：將ｘ（ｘ＋２）＝２４配成（ｘ＋１）2＝２５

分析：（1），以x+2為長，x為寬作一長方形且其長方形的面積為24。

（2），在AB上取一點使AE=x，過點E作HE⊥AB交DC于點H，再在EB上取一點F，使ＥＦ＝ＦＢ＝１，過點Ｆ作ＧＦ⊥ＥＢ交ＤＣ于Ｇ點。此時將長ｘ＋２，寬ｘ的長方形分成一個邊長為ｘ的正方形和兩個長為ｘ，寬為１的長方形。

（３），將長方形ＧＣＢＦ補到正方形ＡＥＨＤ的上方，此時延長ＦＧ，ＭＮ交于Ｑ點，此時正方形ＮＨＧＱ的面積為１。

（４），長為ｘ＋２，寬為ｘ，面積是２４的長方形割補后拼成邊長為ｘ＋１的正方形。

二、用數形結合來解決問題

３、（有關概率的問題）若在區間（0，1）內任取兩個數，求事件{兩數之和小于65}的概率？

分析：設x，y表示在（0，1）內隨機地取得的兩個數，則0≤x，y≤1，把（x，y）看作平面xoy內的點的坐標，則所有基本事件可用圖中的正方形區域表示，其面積為1。而事件{兩數之和小于65}則用圖中的陰影部分來表示，其面積為1725 ，記事件{兩數之和小于65}為事件A，則P(A)＝ 1725 1 ＝1725

4、（有關不等式的問題）不等式│x＋1│＋│x－3│＞5的解集是什么?

分析：根據絕對值的幾何定義，可認為|x|是數軸上的點到原點的距離，所以|x+1|+|x-3|可以

理解為點x到點-1和3的距離之和。由于每一個有理數在數軸上都有唯一確定的點與之相對應，所以由數軸可知-1.5， 3.5到點-1和3的距離恰為5。所以滿足題意的x應在到-1.5和3.5之外。