探究解題思路 培養學生應用能力

摘 要：數學教學中衡量課堂教學效果的一個重要標志就是學生思維能力在多大程度上得到挖掘和培養。學生數學思維能力的提高，只有在解決實際問題中才能充分實現。

關鍵詞：探究；培養；能力

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A 文章編號：1002-7661（2012）01-081-02

應用題是指利用數學知識解決其他領域中有實際意義的問題，它能準確考察學生掌握知識的情況，在課堂教學中備受重視，高考對應用題的考查已逐漸成熟，每年涉及許多題目。

解應用題的關鍵就是準確轉化為數學問題（如函數最值、不等式、數列、排列組合問題），再用相應的知識與方法求解。

一、解應用題的一般程序

1、讀：仔細閱讀理解題目表達的題意，分清條件和結論，理順數量關系，這一關是解對題的基礎。

2、建：將文字語言轉化為數學語言，利用數學知識，建立相應的數學模型。正確進行建“模”這一關是關鍵。

3、解：解數學模型，得到數學結論。一要充分注意數學模型中各元素的實際意義，更要注意巧思妙作，優化過程。

4、答：將數學結論還原給實際問題的結果。

數學中常見應用問題與數學模型、預測問題、最值問題、等量關系問題、測量問題等

二、實際問題舉例

例1（優化問題）某紡紗廠生產甲、乙兩種棉紗，已知生產甲種棉紗1噸需耗一級子棉2噸、二級子棉1噸；生產乙種棉紗需耗一級子棉1噸、二級子棉2噸，每1噸甲種棉紗的利潤是600元，每1噸乙種棉紗的利潤是900元，工廠在生產這兩種棉紗的計劃中要求消耗一級子棉不超過300噸、二級子棉不超過250噸.甲、乙兩種棉紗應各生產多少能使利潤總額最大?

分析：將已知數據列成下表：

解：設生產甲、乙兩種棉紗分別為x噸、y噸，

利潤總額為z元，那么

z=600x+900y.

作出以上不等式組所表示的平面區域(如圖)，即可行域

作直線l：600x+900y=0，即直線l：2x+3y=0，把直線l向右上方平移至l1的位置時，直線經過可行域上的點M，且與原點距離最大，此時z=600x+900y取最大值.解方程組

，得M的坐標為x= ≈117，y= ≈67

答：應生產甲種棉紗117噸，乙種棉紗67噸，能使利潤總額達到最大

應用不等式知識解決這些問題時，關鍵是把問題轉化為規劃問題，在化歸與轉化中，要注意等價性

例2（數列問題）某城市2001年末汽車保有量為30萬輛，預計此后每年報廢上一年末汽車保有量的6%，并且每年新增汽車數量相等 為保護城市環境，要求該城市汽車保有量不超過60萬輛，那么每年新增汽車數量不應超過多少輛？

命題意圖：本題考查等比數列、數列求和解不等式等知識以及極限思想方法和運用數學知識解決實際問題的能力

知識依托：數列極限、等比數列、解不等式

技巧與方法：建立第n年的汽車保有量與每年新增汽車數量之間的函數關系式是關鍵、盡管本題入手容易，但解題過程中的準確性要求較高

解：設2001年末的汽車保有量為b1萬輛，以后各年汽車保有量依次為b2萬輛，b3萬輛，……每年新增汽車x萬輛，則

b1=30，b2=b1×0 94+x，…

對于n＞1，有bn+1=bn×0 94+x=bn–1×0 942+(1+0 94)x， …

所以bn+1=b1×0 94n+x(1+0 94+0 942+…+0 94n–1)

=b1×0 94n+

當 ≥0，即x≤1 8時，bn+1≤bn≤…≤b1=30

當 ＜0，即x＞1。8時，

并且數列{bn}逐項遞增，可以任意靠近 。

因此如果要求汽車保有量不超過60萬輛，即bn≤60(n=1，2，…)則有 ≤60，所以x≤3.6

綜上，每年新增汽車不應超過3.6萬輛。

例3（函數最值）（08年廣東高考題）

某單位用2160萬元購得一塊空地，計劃在該地塊上建造一棟至少10層、每層2000平方米的樓房.經測算，如果將樓房建為x(x≥10)層，則每平方米的平均建筑費用為560+48x（單位：元）.為了使樓房每平方米的平均綜合費用最少，該樓房應建為多少層？

（注：平均綜合費用＝平均建筑費用+平均購地費用，平均購地費用＝ ）

解 設樓房每平方米的平均綜合費為f（x）元，則

，令 得

當 時， ；當 時，

因此當 時，f（x）取最小值 ；

答：為了樓房每平方米的平均綜合費最少，該樓房應建為15層。

例4（數列、方程問題）某城市現在房屋保有量為a，隨著城市化進程加快，以每年25%的速度遞增，同時每年的拆遷量為x，問第20年該城市房屋保有量是多少？要使過20年城市房屋保有量翻2番，計算x的近似值（取lg2=0.3）

解：設該城市第n年房屋保有量為 ，由題意可知：

即 ①變形為 ，因此數列 是以首項等于 公比為 的等比數列，所以，

則第20年該城市房屋保有量為 ，即

過20年城市房屋保有量翻2番，即 ，

于是， ，而

答：第20年該城市房屋保有量是 ；x的近似值為

歸納：解應用題的一般思路可表示如下：