帶孔無限大板的應力集中問題淺析

摘 要:通過有限元方法探討單向受載帶孔無限大板件孔邊應力集中的問題:逐步增大模型垂直于載荷方向的尺寸模擬無限大板;在此基礎上探討孔邊應力集中系數與孔的幾何特征的關系，即變圓孔為橢圓，垂直于受載方向孔半軸不變，載荷方向孔半軸變化，孔邊應力集中系數隨曲率半徑增大而減小;減小圓孔半徑，最大應力集中系數隨之減小，并減小到彈性力學理論值3以下。上述結果說明連續介質力學理論有其自身的局限性，應力梯度在應力場變化很大的情況下對微元體平衡分析的影響不可忽視。

關鍵詞:帶孔板件 應力集中系數 幾何特征 應力梯度

中圖分類號:V215.9文獻標識碼:A文章編號:1674-098X(2012)07(b)-0017-02

1 問題的提出

帶孔板件是工程中常用結構件，在航空工業中也廣為應用。帶孔板件孔邊存在小范圍的高應力區。根據板件寬度和孔徑的相對比例，孔邊最大應力水平可為板件遠場(即遠離孔邊的區域)應力的幾倍甚至十幾倍;板件寬度和孔徑之比越小，孔邊最大應力越大。這個現象被稱為“應力集中”，通常定義孔邊最大應力與板件遠場應力之比為應力集中系數，以此來標示應力集中的程度。由于孔邊的高應力水平，帶孔板件在承受較小載荷的情況下，孔邊應力集中區域很可能已經產生塑性變形，帶孔板件的破壞，包括靜載下的破壞和疲勞破壞，通常是從帶孔板件孔邊應力集中區域萌生的。因此，孔邊的應力集中在很大程度上影響了構件的承載能力，進而損害了結構(件)的可靠性，是工程設計中需要重視的關鍵問題之一。

板件幾何中心點為坐標原點，水平方向為坐標x方向，垂直方向為y方向。孔心即為坐標原點。根據彈性力學理論，帶孔無限大板受y方向的均布應力，孔邊的應力集中系數的基爾斯解答[1]為:

(1)

(2)

由上式可見，孔邊最大應力集中系數Kx，max=3，特別應該強調指出的是，該應力集中系數不隨孔徑的變化而變化。在彈性力學的理論框架內，這是學習彈性力學時應建立的基本概念。

但是，我們可以做這樣的設想:對于無限大板，隨著孔的縮小，孔邊應力集中系數始終保持不變;當孔不斷縮小，乃至于無限縮小，即孔徑無限小，孔邊應力集中系數還保持不變嗎？很顯然，當孔徑無限小乃至等于零時，即沒有孔的情況，板蛻變成完好的連續介質板，所謂的孔邊應力集中現象也隨之消失！

是不是在孔縮小的過程中，孔邊應力集中系數始終不變，無論孔徑趨于多么小，而當孔徑為零的時候，應力集中系數也突然變為零？毫無疑問，這樣的物理過程——即孔不斷縮小及孔邊應力集中系數的相關變化的過程——并不符合邏輯。

2 有限元分析

基于上面的討論，作者利用有限元計算，對帶孔無限大板孔邊應力集中系數是否隨孔徑變化而變化這個問題，進行初步探討。

對于如圖1所示帶孔板件，作者應用通用有限元軟件ANSYS10.0建立如圖2所示的有限元模型:板件的高度為b=200(mm)，寬度為a=2X0，取值如表1所列，厚度為c=2mm;E=690GPa，μ=0.3;選擇單元為Solid8node82。在板件的上邊施加y方向載荷密度為1MPa的均布載荷，根據結構和載荷的對稱性，為計算方便，這里只取板件的1/4模型，在模型底邊(原板件x軸)施加y向位移約束，左側邊(原板件y軸)施加x向位移約束。

2.1 網格劃分

在有限元方法中，網格劃分對計算結果影響較大，一個符合結構幾何和載荷特征的網格劃分，不僅可以保證計算結果的準確性，還可以大大節省計算量。對于本文研究的帶孔板，由于孔邊存在應力集中，網格的合理劃分是極為重要的。本文有限元模型的網格如圖2所示，在孔邊極為細密，在遠離孔的區域逐步變稀疏，但為了保證得到收斂解，通過對計算結果的研究，我們選擇了一個較密的網格，后面的模型計算，也采用了類似的方式，不再復述。

2.2 無限大板模擬

有限元模擬不可能建立無限大的模型，對于孔邊應力集中問題，板件在載荷方向的尺度并不影響本文的討論，故為模擬無限大板，在選定孔徑為10(mm)不變的前提下，把板的寬度由30(mm)逐漸增大到100(mm)(參看表1)，有限元模型計算得到的應力集中系數也列在表1中。

由表1可見，隨著板寬逐漸增大，孔邊最大應力集中系數逐漸減小趨于3，這個結果很好的吻合了彈性力學理論的認識。可以認為X0≥100mm時最大應力集中系數趨于不變，有限元模型板可以認為是無窮大。

2.3 孔形狀曲線的曲率對孔邊應力集中系數的影響

孔邊應力集中的程度受兩個因素的影響:板的有效承載面積(對有限寬度板而言，有效承載面積等于板寬減去孔徑后的面積)和孔形狀曲線曲率。前者也受孔徑大小影響，從本質上講，孔邊應力集中系數是由孔徑決定的。

顯然，對于無限大板，板的有效承載面積與孔徑無關，那么，孔徑是否對孔邊應力集中系數有影響呢？(前面我們提到，從彈性力學分析的結論是帶孔無限大板孔邊應力集中系數與孔徑無關。)這里想強調的是，孔的形狀對孔邊應力集中的影響。

下面用X0=100(mm)的模型板模擬無限大板，固定孔x軸半徑為Xa=10(mm)，改變y軸半徑Yb，孔邊應力集中系數Kx，max的計算結果如表2所示:

由表2可見，當Yb/Xa≤1時，即孔與x軸交點處，孔形狀曲線的曲率半徑減小，孔邊應力集中系數明顯大于圓孔的情況，可以想見，當Yb無限縮短時，孔蛻化為裂紋，裂紋尖端將出現應力奇異性;另一方面，當Yb/Xa≥1時，即孔與x軸交點處，孔形狀曲線的曲率半徑增大，孔邊應力集中系數明顯小于圓孔的情況，可以想見，當Yb無限增大時，孔蛻化為“矩形”(即在孔與x軸交點處，孔形狀曲線的曲率半徑為無限大)，孔邊應力水平雖然還會略高于遠場應力，但性質不同，“應力集中”這個概念已不適用。

上述結果證明，孔的形狀對應力集中的影響是十分顯著的，對于無限大板也應如此(因為上述結果基于近似的無限大板模型)。

當孔徑減小時，也就是孔與x軸交點處形狀曲線的曲率半徑減小，根據表2展現的規律，對于無限大板，孔邊應力集中系數應增大;值得注意的是，在本文“一問題的提出”一節中提及，從孔徑減小乃至無限減小而趨于零這一過程中，對于無限大板而言，孔邊應力集中系數應該隨之減小，而不是增大。

這看起來是一個矛盾，但是本小節的有限元研究是在固定孔在x軸方向的半徑這個前提下進行的;而在第一節中所說的孔徑減小，不僅意味著孔形狀的改變，同時也意味著板承載面積的增加(雖然理論上，對于無限大板，孔徑改變不影響板的承載面積)。

本文的目的在于討論孔徑大小對帶孔無限大板孔邊應力集中系數的影響，本節的研究證明，孔形狀的改變勢必將改變孔邊應力集中的程度，而孔徑的改變正是孔形狀改變的一種形式，從而呼應了本文第一節提出的觀點。至于孔徑和板有效承載面積對孔邊應力集中的影響規律及綜合效應，超出了本文工作的范疇。

2.4 孔徑變化對孔邊應力集中系數影響的有限元研究

基于前述有限元模型，當孔徑減小時，板模型同樣可以認為是無限大，有限元計算的孔邊應力集中系數的結果如圖3所示:雖然應力集中系數變化很小，但與孔徑的關系近似成正比(線性相關系數為0.9987)，這個規律十分明確。對于孔徑為2的情況，作者增大板的寬向尺寸，計算出的應力集中系數無變化，再次證明，模型板可以認為是無限大。這一結果從某種程度上印證了作者在“一問題的提出”一節中的分析。對該問題的進一步分析見下文“3、矛盾淺析”。

3 矛盾淺析

通過上面的研究，我們有理由相信，彈性力學的理論基礎存在缺陷，或者說，彈性力學存在特定的適用范圍。對于一般性問題，特別是應力場變化不十分急劇的，毫無疑問，彈性力學是被實踐所證實的。但對于存在較大應力梯度的問題，如本文所舉的孔邊應力集中的問題，需要慎重對待彈性力學的分析結果。

傳統的彈性力學基于介質連續性假設，如圖4-a所示，微元體面上應力分布是均勻的，且式(3)成立，即剪應力互等:

(3)

對于應力梯度較大的應力場，微元體面上應力分布就不能再認為是均勻的了，微元體將出現轉動趨向，除了受力平衡外，還需建立微元體的轉動平衡，如圖4-b所示，微元體左右正應力存在不相等的應力梯度，若式(3)依然成立，那么對微元體形心取矩，有微元體無法平衡，也就是說，傳統的連續介質理論不適用于尺寸效應問題。

(4)

目前，尺寸效應是固體力學的前緣領域，國內外一些學者對這個問題進行了卓有成效的研究，如由Toylar位錯模型出發基于細觀機制的應變梯度理論MSG理論、黃克智等在MSG理論基礎上發展的低階應變梯度理論CMSG等，這里就不再詳述了。

最后再談談2.4節中有限元計算的無限大板孔邊應力集中系數小于3的情況。有限元是基于連續介質力學建立的數值計算方法，有限元的計算結果應和彈性力學的理論分析相一致，也就是說，有限元模型計算帶孔無限大板孔邊應力集中系數的結果不應小于3。但在板的尺寸很大而孔徑相對很小時，為了得到收斂的數值解，有限元模型的網格在孔周邊區域劃分的很細密，在一定程度上反映了應力集中區域的應力梯度(雖然微元體的轉動平衡仍未考慮)，因此，有限元計算的應力集中系數隨孔徑減小不斷減小且小于3，貼近了實際情況。

4 結語

彈性力學分析告訴我們，對于帶孔無限大板，孔邊應力集中系數和孔徑大小無關，這是我們首先應該明確的。但是彈性力學是基于連續性理論，并不適用于需要考慮非均勻性的應力梯度(也常被成為“應變梯度”)的問題。縱觀整個自然科學領域，任何一種理論都有其適用范圍;對問題的研究更不能僅僅局限于書本的理論知識，勇于質疑，積極思考，才能在課堂學習的基礎上，不斷深入不斷有所收獲。

參考文獻

[1]徐芝綸編著.彈性力學簡明教程.第三版.高等教育出版社，2002.

[2]Taylor G.I.Plastic strain in metal.J.Inst.Matals.1938，62:307-324.

[3]Nix W D and Gao H. Indentation size effects in crystalline materials: A law for strain gradient plasticity.Journal of the Mechanics and Physics of Solids 1998，46:411-425.

[4]黃克智，黃永剛編著.固體本構關系[M].清華大學出版社，1999.

[5]Huang Y，Qu S，Hwang K C，Li M and Gao H.A conventional theory of mechanism based strain gradient plasticity.International Journal of Plasticity 2004，20:753-782.