基于最大后驗估計的自適應(yīng)盲均衡算法

耿天玉，舒 勤，應(yīng)大力

（四川大學(xué) 電氣信息學(xué)院，四川 成都610065）

0 引 言

在通信系統(tǒng)中，信道失真導(dǎo)致接收信號存在碼間干擾（inter symbol interference，ISI）是非常普遍的現(xiàn)象［1－4］，能夠造成信號的判決錯誤從而影響了通信質(zhì)量，為了確保能接受到質(zhì)量較高的通信信號，在信號的接收端需要一種有效的信號處理方法來減小或者消除碼間干擾對通信信號產(chǎn)生的影響，這樣的方法叫做信道均衡技術(shù)。傳統(tǒng)的自適應(yīng)均衡技術(shù)需要使用訓(xùn)練序列，占用了大量的信道資源，從而降低了通信的有效通信率。與傳統(tǒng)自適應(yīng)均衡技術(shù)相比，盲均衡技術(shù)不需要發(fā)送訓(xùn)練序列，節(jié)省了系統(tǒng)寬帶，信道利用率得到提高，因此備受關(guān)注。

盲均衡算法主要分為三大類，即Bassgang類算法，高階或循環(huán)統(tǒng)計量算法，非線性均衡算法。其中Bussgang類算法采用橫向濾波器，選取合適的代價函數(shù)后，得到的誤差函數(shù)通過隨機(jī)梯度算法對均衡器的權(quán)向量來進(jìn)行調(diào)整，使得代價函數(shù)最小化，此時輸出信號序列接近于發(fā)送信號序列［5］，當(dāng)代價函數(shù)達(dá)到極值點時，系統(tǒng)就成為理想的系統(tǒng)。由于Bussgang類算法魯棒性強(qiáng)，原理簡單，易于實現(xiàn)，一直以來都是研究的熱點。Bussgang算法中比較經(jīng)典的算法是CMA算法，它具有許多優(yōu)點，但也存在一些不足，如對高階QAM信號的均衡效果比較差，剩余誤差較大，而且無法修正相位的偏移［6－8］。后來S Chen將最大后驗概率的思想融入到Bassgang盲均衡算法中，得到了MAP盲均衡算法［9］。該算法用輸出信號的最大后驗概率密度函數(shù)作為代價函數(shù)的參數(shù)，根據(jù)最斗下降隨機(jī)梯度方法進(jìn)行迭代，更新均衡器的權(quán)向量，具有穩(wěn)態(tài)誤差小，星座圖恢復(fù)得緊湊等優(yōu)點，但也存在一系列問題，即收斂速度不夠快，并且算法分階段執(zhí)行，復(fù)雜度上升。本文在MAP算法的基礎(chǔ)上研究了一種改進(jìn)算法，即提出了一種自適應(yīng)σ的盲均衡MAP算法，經(jīng)過仿真證明該算法解決了MAP算法收斂速度慢的缺點，同時得到剩余根均方誤差要小于MAP算法。

圖1 盲均衡原理

1 對盲均衡系統(tǒng)模型的描述

圖1表示的是盲均衡原理框圖［10－11］。該系統(tǒng)的通信過程可以描述為：發(fā)送端從有限字符集S（S定義為式（1）［12］）去通過對數(shù)據(jù)等概率取等到的，｛x（n）｝為發(fā)送信號序列，｛h（n）｝為某一未知離散時間信道， ｛n（n）｝加性高斯白噪聲，｛r（n）｝為盲均衡器的接收信號序列；｛r（n）｝在均衡器 ｛w（n）｝的作用下，得到輸出信號序列｛y（n）｝。

設(shè)x（k）表示第k個發(fā)送信號，r（n）表示接收端的第n個接收信號，則

因為碼間干擾對系統(tǒng)的影響遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于噪聲的影響［13］，故研究中只專注于如何通過盲均衡消除碼間干擾，而不考慮噪聲的影響。所以式（2）簡化成

h（n）和x（n）對于接收端都是未知的，接收端在接收到r（n）后，希望能由它求得 ｛h（n）｝或者對應(yīng)的x（n），這和反卷積的思想是一樣的。

2 MAP盲均衡算法的描述

MAP估計的目的是要得出均衡器輸出信號最有可能由信號星座符號集里的哪個符號點通過信道后而得到，MAP盲均衡算法的核心思想就是通過最大化均衡器輸出信號的后驗概率密度函數(shù)來獲得均衡器抽頭權(quán)向量的最優(yōu)值。

以下分析中假設(shè)信號星座圖對于接收端是已知的。均衡器的輸出信號y（n）可以近似表示為

式中：t（n）＝x（n－ni），正整數(shù)ni——的是時延值。v（n）——零均值，方差——σ的高斯噪聲。這樣，y（n）可以用M個高斯信號來近似表示。每個高斯信號的均值εkl對應(yīng)等于星座中的某一符號點skl，即

每個高斯信號的方差即為σ，因此y（n）可以等效表示為如下的隨機(jī)過程

即

其中pkl（1≤k，l≤Q）都相等，等于1/M。

這樣，y（n）的后驗概率密度函數(shù)可以表示為

設(shè)

則MAP盲均衡的代價函數(shù)可表示為

利用最陡下降的隨機(jī)梯度方法，均衡器抽頭權(quán)向量值通過下面的迭代式子進(jìn)行更新

為了加快收斂，減小算法的復(fù)雜度，MAP均衡算法對星座區(qū)域進(jìn)行劃分，分階段執(zhí)行。每一階都只使用對應(yīng)區(qū)域中的4個高斯信號，即等效為4QAM的情況，迭代式變?yōu)?/p>

對于MQAM信號一般上述過程持續(xù)進(jìn)行直到第H階段，H＝log4M，成功執(zhí)行完之后，信號星座圖就成功被恢復(fù)了［12］。這是因為上述每個階段的調(diào)整子任務(wù)都能非常快而且可靠的完成，因此均衡器權(quán)向量能夠更快更可靠地實現(xiàn)收斂。需要注意的是，每個調(diào)整階段，都只用到了4個高斯信號，不同的是每個階段的對應(yīng)εkl，1≤k，l≤2。

MAP盲均衡算法涉及到主要的參數(shù)μ和σ。迭代步長μ的選擇MAP算法的收斂性能的影響也很重要，在MAP算法中，迭代步長μ是固定的，如果μ值選取過大，則均衡器抽頭權(quán)向量的每次調(diào)整量就很大，這樣能夠幫助算法得到比較快的收斂速度，但是當(dāng)均衡器權(quán)向量值接近最優(yōu)解時，這樣大的調(diào)整量就會使得權(quán)向量在最優(yōu)解附近范圍以較大幅度上下擺動而無法實現(xiàn)進(jìn)一步的收斂，從而使得算法的穩(wěn)態(tài)剩余誤差很大。相反如果μ值選取過小，則均衡器權(quán)向量的每次調(diào)整量就很小，盡管這樣會得到比較小的穩(wěn)態(tài)剩余誤差但算法收斂速度會比較慢。一般對μ取經(jīng)驗值，在這里選取μ＝0.0003.而對于σ值得選取，每個階段的σ應(yīng)該有比較明確的區(qū)分，一般對σ按經(jīng)驗值選取。不同階段寬度對MAP盲均衡算法的收斂性影響不同，σ按經(jīng)驗值選取，第一階段σ＝0.8，第二階段σ＝1.6，第三階段σ＝0.6。

MAP算法具體穩(wěn)態(tài)剩余均方誤差小，沒有相位偏移，對高階QAM信號能達(dá)到良好均衡效果等優(yōu)點，但σ在算法中取固定值，限制了算法的性能，固在本文中則提出了一種自適應(yīng)的σ算法來提高算法的性能。

3 對MAP算法的改進(jìn)

根據(jù)上面對MAP算法的分析可知，MAP盲均衡算法中σ的選擇是靠經(jīng)驗值來確定的，但是根據(jù)概率論的原理，σ表示的實際意義是輸出信號和相應(yīng)星座符號點之間的偏差，因而直接就規(guī)定其值有失準(zhǔn)確；同時，由于算法是分階段執(zhí)行的，每一階段的σ都不一樣，而且當(dāng)系統(tǒng)中其它條件發(fā)生了改變，相應(yīng)的σ值也有可能需要改變來得到較好的收斂效果，因此為了得到這些σ的經(jīng)驗值，需經(jīng)過大量的實驗，算法復(fù)雜度增加。如果能得到讓σ自適應(yīng)調(diào)整的方法，上述問題就能得到解決。

再者，MAP盲均衡認(rèn)為y（n）由區(qū)域內(nèi)每個星座符號點通過信道產(chǎn)生的概率是相等的。因為均衡剛開始時所有的信號都是雜亂散布的。但是當(dāng)均衡逐漸達(dá)到收斂的時候，均衡器的輸出y（n）會越來越靠近發(fā)送信號，這時可以認(rèn)為離y（n）越近的星座符號點，y（n）由它通過信道而產(chǎn)生的概率越大。當(dāng)算法最終收斂時，幾乎可以認(rèn)為y（n）就是由離它最近的星座符號點產(chǎn)生的。這時還認(rèn)為概率是相等的話，在原理上是有失準(zhǔn)確的。

根據(jù)上述分析思想，對MAP盲均衡算法重新描述如下：

由于MAP盲均衡算法是分階段執(zhí)行的，前H－1階段所使用的高斯信號對應(yīng)均值都不是發(fā)送信號星座中的符號點，只有最后一階段采用的高斯信號對應(yīng)的均值才是發(fā)送信號星座中的符號點。因此設(shè)的Dn＝｛εm，m＝1，2，3，4｝，Dn為相應(yīng)執(zhí)行階段中劃分出的第n個區(qū)域，εm為該區(qū)域?qū)?yīng)的高斯信號的均值。則y（n）～N（εm，σm）以概率pm。

當(dāng)均衡器的輸出信號y（n）∈Dn時，則y（n）的后驗概率密度函數(shù)可局部近似為

為了確保快速收斂，防止算法發(fā)散，設(shè)

則算法的代價函數(shù)可表示為

利用最陡下降的隨機(jī)梯度方法，ws均衡器抽頭權(quán)向量值通過下面的迭代式子進(jìn)行更新

當(dāng)σm和pm分別都取固定等值時，式（17）就退化成式（12）所示的MAP盲均衡迭代式。下面來探討σm和pm的自適應(yīng)調(diào)整方法。

根據(jù)概率論的知識，高斯信號以其均值為對稱軸，方差值越大，則數(shù)據(jù)分布越分散，方差值越小，則數(shù)據(jù)越集中在均值附近。

在算法執(zhí)行的初期，數(shù)據(jù)分布是非常分散的，這時方差值應(yīng)該相對比較大，算法收斂后，數(shù)據(jù)集中在相應(yīng)的準(zhǔn)值附近，這時的方差值應(yīng)該相對比較小。可見每個高斯信號的方差值σm的變化趨勢都是一樣的，隨著信號星座的逐漸恢復(fù)而減小（星座越分散，σm越大，星座越緊湊，σm越小）。設(shè)

星座的緊湊程度可以用｜y（n）－d ［y（n）］｜2的大小來表示，根據(jù)前面的分析，設(shè)

同時考慮通過y（n）離區(qū)域內(nèi)各個星座符號點的距離來確定它們的概率。距離越近概率越大，當(dāng)距離為零時概率為1.也就是說概率隨距離單調(diào)遞減。

用符號表示如下：

設(shè)Dis＝｜y（n）－εm｜2

則pm應(yīng)滿足以下3個條件

其中m，n∈ ［1，2，3，4］事實上，第三個條件，不必要這么嚴(yán)格，因為即使均衡收斂得很完美，Dism也不會為0，只會非常接近0.當(dāng)均衡收斂到一定程度的時候，當(dāng)Dism比較小的時候我們就可以認(rèn)為對應(yīng)的pm為1.仿真時取Dism≤0.05。

故設(shè)計pm和Dism的關(guān)系為

算法的更新迭代式為式（21）所示，其中的pm采用式（20）進(jìn)行更新，σm采用式（19）估計。于是迭代式簡化為

4 計算機(jī)仿真與性能分析

4.1 性能分析

我們一般是通過研究算法誤差函數(shù)的穩(wěn)態(tài)幅度來分析算法的穩(wěn)態(tài)調(diào)整量，而改進(jìn)后的MAP算法的誤差函數(shù)的穩(wěn)態(tài)幅度和MAP盲均衡算法類似，是

通過上面的分析，可知自適應(yīng)σ的MAP盲均衡算法，理論上的穩(wěn)態(tài)調(diào)整量為0，比MAP算法的穩(wěn)態(tài)調(diào)整量要小。

一般算法收斂后，理想狀態(tài)下，y（n）＝x（n－ni），x（n－ni）所在的星座符號點的概率為1，區(qū)域內(nèi)其他星座符號點的概率為0。

于是，根據(jù)式（21）和上面的所做的理論分析可知，算法的誤差函數(shù)穩(wěn)態(tài)幅度是

4.2 仿真結(jié)果

本文采用的評價標(biāo)準(zhǔn)是算法的收斂速度和穩(wěn)態(tài)剩余誤差。文獻(xiàn) ［14－15］中采用的性能指標(biāo)是MSE，定義為

其中Q ［y（n）］是y（n）的判決值，定義如下

本文對式（24）稍作修改，得到根均方誤差（root mean square error，RMSE）指標(biāo)，如式（26）所示，算法的收斂速度和穩(wěn)態(tài)剩余誤差通過RMSE曲線來分析，因此本文中的穩(wěn)態(tài)剩余誤差代表的實際意義是穩(wěn)態(tài)剩余根均方誤差

本文通過matlab仿真來比較改進(jìn)后自適應(yīng)σ的MAP算法與MAP算法的性能。仿真中，發(fā)送信號取自64QAM信號集，取發(fā)送信號的長度N＝5000，均衡器的階數(shù)K＝11，信噪比SNR＝40，均衡器抽頭權(quán)向量初始化為：中心抽頭值為1，其余為0，信道為典型的電話信道［15］

Num＝50（即每50個點取一次RMSE）。

圖2采用64QAM信號，根據(jù)前面分析MAP有兩個重要的參數(shù)，一般對σ和μ按經(jīng)驗值選取。本文中μ＝0.0003，由于不同階段寬度對MAP盲均衡算法的收斂性影響不同，σ按經(jīng)驗值來選取，第一階段σ＝0.8，第二階段σ＝1.6，第三階段σ＝0.6。自適應(yīng)σ的改進(jìn) MAP盲均衡算法也取μs＝0.0003，每階段的寬度選取和 MAP盲均衡一致。由圖可知，自適應(yīng)σ的MAP盲均衡算法，穩(wěn)態(tài)剩余根均方誤差值小于MAP盲均衡算法，收斂速度快于MAP盲均衡算法。

圖2 概率和自適應(yīng)σ的MAP盲均衡與MAP算法比較

5 結(jié)束語

通過MAP盲均衡算法的分析，MAP算法中有兩個很重要的參數(shù)μ和σ，一般都是按經(jīng)驗取固定值，而本來則提出把σ進(jìn)行改進(jìn)，從而提出了一種改進(jìn)的基于最大后驗估計的盲均衡算法。改進(jìn)算法運(yùn)用不等概的思想，通過改進(jìn)自適應(yīng)σ，最終得到基于概率和自適應(yīng)的σ的MAP盲均衡算法，仿真結(jié)果表明該算法的穩(wěn)態(tài)剩余根均方誤差值小于MAP盲均衡算法，收斂速度也快于MAP盲均衡算法。

［1］DING Huan，WANG Yonggang.Blind equalization technique in the communication ［J］.Modern Electronics Technique，2007，30（11）：84－87（in Chinese）.［丁歡，王永剛.通信中的盲均衡技術(shù) ［J］.現(xiàn)代電子技術(shù)，2007，30（11）：84－87.］

［2］Sinmom Haykin.Adaptive filter theory ［M］.4th ed.Beijing：Publishing House of Electronics Industry，2010（in Chinese）.［西蒙·赫金.自適應(yīng)濾波器原理 ［M］.4版.北京：電子工業(yè)出版社，2010.］

［3］ZENG Jun，HUANG Hua，LI Dong.Study of CMA blind equalization algorithm ［J］.Communications Technology，2009，42（10）：60－62（in Chinese）.［曾軍，黃華，李東.恒模類盲均衡算法研究 ［J］.通信技術(shù)，2009，42（10）：60－62.］

［4］GAO Min.Blind equalization algorithm based on Bussgang technology ［J］.Modern Electronics Technique，2011，34（7）：88－90（in Chinese）.［高敏.基于 Bussgang技術(shù)的盲均衡算法 ［J］.現(xiàn)代電子技術(shù)，2011，34（7）：88－90.］

［5］GUO Xiaoyu.Study of improved CMA blind equalization algorithm ［D］.Taiyuan：Taiyuan University of Technology，2005（in Chinese）.［郭曉宇.改進(jìn)型恒模盲均衡算法的研究［D］.太原：太原理工大學(xué)，2005.］

［6］XUE Wei，YANG Xiaoniu，ZHANG Zhaoyang.A new mode blind equalization algorithm ［J］.Computer Simulation，2011，28（3）：166－169（in Chinese）.［薛偉，楊小牛，張朝陽.一種新的雙模盲均衡算法 ［J］.計算機(jī)仿真，2011，28（3）：166－169.］

［7］CHEN S.Semi－blind fast equalization of QAM channels using concurrent gradient－Newton CMA and soft decision－directed scheme ［J］.Int J Adaptive Control and Signal Processing，2010，24（6）：467－476.

［8］CHEN S，YAO W，Hanzo L.CAM and soft decision－directed scheme for semi－blind beamforming of QAM systems ［C］.IEEE Transactions on Wireless Communications，2008.

［9］HU Hengyun，XIE Ning，WANG Hui.Concurrent dithered signederror constant modulus algorithm（DSE－CMA）with soft decision directed（SDD）scheme ［C］.International Conference on future Computer and Communication，2010：557－560.

［10］ZHANG Liyi，CHEN lei，SUN Yunshan.Variable step－size CMA blind equalization based on non－linear function of error signal［J］.International Conference on Future Computer and Communication，2009：396－399.

［11］Shafayat Abrar.Evaluation of dispersion constants for signed－error blind equalization algorithms ［C］.International Conference on Emerging Technologies，2005：188－192.

［12］SU Jing，SHU Qin，WANG Lingwei.An improved CMA blind equalization algorithm using MAP estimation ［J］.Computer Engineering and Design，2010，31（21）：4572－4575（in Chinese）.［蘇靜，舒勤，王靈偉.基于最大后驗估計的恒模盲均衡算法 ［J］.計算機(jī)工程與設(shè)計，2010，31（21）：4572－4575.］

［13］CHEN S，LUK B L，HARRIS C J，et al.Fuzzy－logic tuned constant modulus algorithm and soft decision－directed scheme for blind equalisation ［J］.Digital Signal Processing，2009，20（3）：846－859.

［14］GUO Yecai，ZHANG Yanping.Hyperbolic tangent error function based variable step size blind equalization algorithm ［J］.Ship Science and Technology，2007，29（6）：59－61（in Chinese）.［郭業(yè)才，張艷萍.基于雙曲正切誤差函數(shù)的變步長盲均衡算法 ［J］.艦船科學(xué)技術(shù)，2007，29（6）：59－61.］

［15］ZHANG Chengyu.Research on the blind equalization algorithm based on PDF and the modified CMA ［D］.Dalian：Dalian Maritime University，2010（in Chinese）.［張成榆.基于PDF盲均衡算法和修正恒模算法的研究 ［D］.大連：大連海事大學(xué)，2010.］