基于平板探測器傾斜的錐束CT修正重建算法

王麗芳

（中北大學 電子與計算機科學技術學院，山西 太原030051）

0 引 言

計算機斷層成像技術（computed tomography，CT），是通過利用物體在不同角度的射線投影來獲取物體橫截面信息的成像技術，涉及到物理學、數學、機械學、計算機圖形圖像學以及許多專業的技術領域［1］。錐束CT系統通常由射線源、轉臺和探測器3部分組成。理想的CT系統要求射線源焦點、物體旋轉中心、平板探測器中心三點在一條直線上，并且該直線要垂直于平板探測器。然而由于機械系統不可避免的加工和安裝誤差，這一要求往往得不到充分的滿足，常常會出現旋轉中心偏移、探測器傾斜或探測器偏移的情況。文獻 ［2］針對CT掃描系統中，測量的投影中心與實際的投影中心存在較小的誤差，會使重建圖像變形并產生偽像的問題，分析了旋轉中心偏移對重建圖像質量的影響，并以計算機模擬和對實際構件CT重建說明了這種影響。文獻 ［3］針對扇束工業CT系統普遍采用濾波反投影（FBP）重構算法中存在的掃描檢臺旋轉中心須與FBP算法重構中心一致，受掃描系統精度的限制，從而引起重構圖像出現重影偽像的問題，推導了一種校正方法并用計算機模擬和實驗證明了該方法的有效性。李羽等針對FDK算法中的大錐角問題，提出了改進的TFDK算法，同時借助簡易模具的投影，來計算獲取系統幾何失真參數，并通過測得的失真參數對FDK進行修正［4］。文獻［5］針對射線源焦點與探測器中心的水下高度不一致及轉心偏移等原因會使獲得的實際投影數據發生偏移的問題，修正了Katsevich精確重建算法，以適應偏心的CT成像系統，將投影數據的偏移轉換為探測器中心的偏移，在重建過程中，根據探測器的中心偏移量，對濾波線方程、濾波前后的重排和校正以及反投影過程進行修正處理，以有效減小投影數據的偏移對重建圖像的影響。文獻 ［6］從CT系統整體設計、X射線管和探測器等角度綜述了影響偽影形成的各種因素，并對每種偽影的成因作了歸納，針對這些偽影，跟蹤近些年文獻中主要的校正方法作了介紹，并對這些校正方法作了比較和總結。文獻 ［7］分析了由于射線源位置錯位引起的誤差，并提出相應的校正方法。文獻［8］提出在X射線源和被檢測物體之間添加一個射束衰減網格裝置以校正散射，推導了基于射束衰減網格的錐束CT散射校正方法，通過圓柱樣品實驗驗證了該方法能有效減少基于平板探測器的錐束CT系統散射偽影，提高了重建切片圖像的質量。文獻 ［9］介紹了一種Feldkamp－type錐束CT重建方法，利用錐束掃描模式存在的對稱性的反投影優化性質進行算法優化，并通過Shepp－Logan數值模擬實驗驗證了該方法可有效提高圖像重建的速度和圖像質量。張豐收等采用實驗的方法，利用標準鋼絲樣本和直尺樣本，用DR成像的方法大致確定投影中心的位置，然后利用黃金分割點逼近準確位置，用最小半徑法確定鋼絲的中心，系統標定后，對鋼絲樣本重新進行了重建實驗，使標定后的系統精度提高5倍以上［10］。

上述各種方法從不同角度，針對平板探測器傾斜造成的偽影問題進行了改進，但普遍存在實現過程復雜，計算量大的缺點。本文針對平板探測器傾斜的情況，對其進行校正，首先利用系統標定的方法測得相應的傾斜角度，然后對平板探測器進行粗調，最后通過重建算法的修正來對其進行校正，利用這種方法經過兩次校正可以有效的抑制由于平板探測器傾斜造成的偽影。

1 錐束CT的FDK修正重建算法

1.1 系統標定法測傾斜角度

本節采用文獻 ［10］中對錐束CT系統進行幾何標定的方法，如圖1所示，正方形abcd為一塊正方形的有機玻璃（對X射線吸收率較小）標定模板，在其4個角上分別鑲嵌著一個點狀的金屬鉛球（對X射線的吸收率較大），兩個點狀金屬鉛球的距離為l。在理想情況下，標定模板上的4個點狀金屬鉛球在平板探測器上所形成的投影恰好位于由abcd確定的正方形的4個頂點上，但在實際應用中由于機械誤差造成系統存在幾何失真，在正方形標定模板上的4個點狀金屬球所形成4個點狀小孔在平板探測器上的投影不再位于由abcd所確定的正方形的4個頂點上，而位于由任意4個點所確定的四邊形的頂點上。

使用該模板對系統進行標定時，僅需在一個投影角度下采集標定模板的投影數據，就能提供求解平板探測器傾斜角度的足夠信息。根據4個點的目標投影所在四邊形的頂點坐標及邊長，通過解簡單的解析式就可以求得平板探測器的傾斜角度［10］。上述方法可以有效的消除當前大部分錐束CT系統標定方法中需要在多種測定角度下采集投影數據從而造成機械誤差產生的機會增多，致使計算結果失真的問題，同時該方法也可以解決當前的大部分標定方法中存在的需要人為事先對某些參數進行假設，需要通過解多元方程組，造成的計算結果陷入局部最優解的問題。

圖1 理想情況下的傾斜角測定

對于測得的平板探測器傾斜角度，可以用粗調的方法對其進行校正，校正后難免還會出現微小角度的傾斜，這時通過機械的方法對其進行校正容易引進新的誤差，因此考慮通過重建算法的修正來對平板探測器傾斜造成的影響進行校正。

1.2 錐束CT的FDK重建算法

錐束CT重建幾何關系如圖2所示，xyz為空間直角坐標系，uo′v為平板探測器坐標系，S為射線源，射線源運動軌跡為（Rcosβ，Rsinβ，0），R為射線源到物體中心o的距離，D為射線源到平板探測器中心o′的距離，β為旋轉角度，P為物體上的任意一點，在β角度下，P點在平板探測器上的投影的位置為Q，其在uo′v坐標系下的坐標為（u，v），因此投影數據可表示為pβ（u，v）。

圖2 錐束CT幾何位置關系

Feldkamp，Davis and Kress在1984年提出了基于圓軌道重建的錐束近似重建算法—FDK算法，該算法形式簡單、易于實現、計算速度快，在錐角較小的情況下可以很好的滿足工程應用的需要，因此在實際錐束重建中得到廣泛的應用。FDK算法是從二維等距扇束濾波反投影重建算法推廣而來的，其重建公式如下

式中

用FDK算法進行重建的時候，首先對投影數據進行預加權，然后再與濾波核函數進行卷積，最后根據重建點位置進行反投影。

1.3 平板探測器的FDK修正重建算法

如圖3所示，在理想情況下射線源焦點S、物體旋轉中心o、平板探測器中心o′這3點在一條直線上，且So′與平板探測器平面uov垂直，但是在實際錐束工業CT中，平板探測器會出現一定角度的傾斜，圖3中虛線部分為理想平板探測器傾斜α角度時的情形，通過物體上任意一點P（x，y，z）的射線與理想平板探測器uov交于點Q，其在uov坐標系下的坐標為（u，v），與傾斜平板探測器u′ov′交于點Q′，其在u′ov′坐標系下的位置為（u′，v′），AB 為中心平面與標準平板探測器的交線，A′B′為中心平面與平板傾斜探測器的交線，點Q′和點Q在中心平面的投影分別為點H′和點H 。圖4為中心平面的示意圖，過點H′分別做直線So′、AB的垂線，交So′的延長線于o″，交AB于J。

圖3 平板探測器傾斜的結構

根據三角形的相似性可知

由于 Ho′＝u，H′o′＝u′，So′＝D ，所以

整理可得

圖4 中心平面

將u代入可得

根據圖1和圖2可知

由于Q′H′＝v′，QH＝v，所以

整理得

將v代入上式可得

由此得到平板探測器傾斜后投影的位置（u′，v′），即投影的X射線的真實位置偏離了反投影過程中計算的射線位置，在這種系統中，如果用沒有修正的FDK算法直接重建，即使存在較小的誤差，也會使得重建結果變形，產生偽影。因此，需要對FDK算法進行修正。在平板探測器傾斜的CT系統中，利用式（5）和（6）對其進行修正，得到修正的FDK重建公式

本文提出錐束CT中的FDK修正重建算法的具體執行步驟：

（1）測得傾斜角度。利用1.1中的系統幾何標定的方法測得平板探測器的偏移量，然后根據偏移量計算平板探測器的傾斜角度；

（2）對平板探測器粗調。對測得的傾斜角度取整，利用機械調整的方法對其進行粗調，對平板探測器校正；

（3）利用修正的FDK重建算法進行校正。經過第（2）步后，平板探測器仍然有微小角度的傾斜，此時，利用式（7）修正的FDK重建算法進行校正，即可得到較好的重建效果。

2 實驗結果及其分析

為了驗證該方法的正確性，進行了實驗。實驗采用220kv，10mA的X射線源。采用的平板探測器為PAXSCAN 2520，探元大小為0.127mm。實驗物體模型為一個大球體內包含5個小球體，其中大球的半徑為80mm，5個小球 的 半 徑 分 別 13.275mm、10.62mm、10.62mm、8.85mm、7.08mm。掃描模式為：圓軌跡。射線源到旋轉中心的距離為850mm，物體中心到平板探測器的距離為150mm，有效的平板探測器大小為256＊256，用FDK重建算法進行重建，重建大小為256＊256＊256。采用的計算機配置：CPU為AMD5200＋，內存為2G，利用VC＋＋語言編程。首先根據1.1中系統標定的方法測得了該錐束CT系統中平板探測器傾斜角度為1.35°。為了便于分析，取該Z軸中心層切片的重建結果來進行比較。圖5為原始模型圖，圖6為用平板探測器沒有經過任何校正采集的數據進行重建的結果，圖7為用平板探測器經過粗調后的采集的數據的重建結果，圖8為經過兩次校正后的重建結果。

從圖5和圖6可以看出，當平板探測器傾斜一定角度時，用沒有修正的FDK算法直接重建出現從圖像中心向四周擴散的偽影，對于圓心位于中心位置的圓表現為環狀偽影，對于其他位置的圓表現為拖尾現象，從圖7可以看出，其拖尾現象、偽跡明顯比圖5少，因此通過對平板探測器的機械校正可以減少偽影，從圖8可以看出，對平板探測器機械校正和重建算法校正同時使用，所得結果明顯得到改善，有效的抑制了由于平板探測器傾斜所造成的偽影，得到了較好的重建效果。

3 結束語

CT圖像的偽影產生的原因包括噪聲、散射、射線硬化、探測器的相應不一致性、旋轉中心偏移、探測器傾斜、重建算法的優劣等，要能及時地分析和辨別出影響CT圖像質量因素，及時地加以校正，這樣才能保證CT圖像質量。本文在錐束CT重建算法的基礎上，分析了平板探測器傾斜在圖像重建過程中的影響，針對該問題提出一種對平板探測器進行機械校正和對重建算法修正同時校正的方法，利用該方法對物體重建能得到較好的重建效果。本文對于其他情況下的誤差沒有研究，下一步將研究平板探測器平移、旋轉、傾斜等系統誤差情況下的修正重建算法。

［1］SHUANG Yue.CT image reconstruction techniques ［EB/OL］.［2010－08－13］.http：//blog.csdn.net/shuangyue/article/details/5810789（in Chinese）.SHUANG Yue.CT 圖像重建技術［EB/OL］.［2010－08－13］.http：//blog.csdn.Net/shuangyue/article/details/5810789.

［2］ WANG Zhaoba.Effect of center deviation on ct reconstruction images［J］.Introducing Journal of China Ordnance，2001，22（3）：323－326（in Chinese）.［王召巴.旋轉中心偏移對C T重建圖像質量的影響 ［J］.兵工學報，2001，22（3）：323－326.］

［3］FU Jian，LU Hongnian.Correction of error in the center of rotation of fan－beam filter back projection algorithms ［J］.Introducing Journal of China Ordnance，2003，24（3）：334－337（in Chinese）.［傅健，路宏年.扇束濾波反投影重構算法中旋轉中心誤差校正 ［J］.兵工學報，2003，24（3）：334－337.］

［4］LI Yu.Research on cone－beam CT image correction ［D］.Dalian：Dalian University of Technology，2008：20－27（in Chinese）.［李羽.錐束CT校正方法的研究 ［D］.大連：大連理工大學，2008：20－27.］

［5］NIU Xiaoming，ZENG Li.Katsevich correction and rectification algorithm for off－center spiral cone－beam CT ［J］.Computer Engineering，2009，35（5）：215－217（in Chinese）. ［牛小明，曾理.偏心螺旋錐束CT的Katsevich修正重建算法［J］.計算機工程，2009，35（5）：215－217.］

［6］GU Jianwei，ZHANG Li.The review of reasons and correction methods for artifacts in ICT images ［J］.Computerized Tomography Theory And Applications，2005，14（3）：24－28（in Chinese）.［谷建偉，張麗.工業CT圖像的偽影成因和校正方法綜述 ［J］.CT理論與應用研究，2005，14（3）：24－28.］

［7］SUN Y，HOU Y，HU J H，Reduetion of artifacts induced by misaligned geometry in cone beam CT ［J］.IEEE Trans Biom Eng，2007，54（8）：1461－1471.

［8］HU Dongcai，CHEN Hao，ZHANG Dinghua.Scatter correction method for flat－panel detector－based cone beam CT ［J］.Computerized Tomography Theory And Applications，2009，18（1）：16－21（in Chinese）. ［胡棟材，陳浩，張定華.基于平板探測器的錐束CT散射校正方法 ［J］.CT理論與應用研究，2009，18（1）：16－21.］

［9］SHI Yingqin，PAN Jinxiao.The research of reconstruction speed for the feldkamp－type－VOI algorithm ［J］.Computerized Tomography Theory And Applications，2011，20（1）：56－61（in Chinese）.［史穎琴，潘晉孝.Feldkamp－type－VOI錐束CT重建算法加速的研究 ［J］.CT理論與應用研究，2011，20（1）：56－61.］

［10］ZHANG Fengshou.Research on the method of center calibration of CBVCT system ［J］.Journal of Machine Design，2006，23（2）：28－29（in Chinese）. ［張豐收.CBVCT 系統中心標定方法 ［J］.機械設計，2006，23（2）：28－29.］