具有連續變量高階差分方程的振動性

趙玉萍

(青海民族大學 數學學院 青海 西寧 810007)

0 引言

本文研究具有連續變量的高階差分方程

Δd(x(t)-p(t)x(t-τ))+q(t)x(t-σ)=0, 0

(1)

解的振動性. 其中Δx(t)=x(t+τ)-x(t)，τ>0是步長,d≥1是奇數，σ>0是給定的,p(t)∈C([t0,+∞),R),q(t)∈C([t0,+∞),[0,+∞)).

1 基本引理

引理1[5]假設d≥1是整數,z(t+nτ)是實數列, 如果Δdz(t+nτ)最終定號, (即當n充分大后恒有Δdz(t+nτ)>0或有Δdz(t+nτ)<0), 則Δiz(t+nτ)最終嚴格單調且定號i=0,1,…,d-1.

引理2[5]假設d≥1是奇數，z(t+nτ)是正實數列且有界，Δdz(t+nτ)最終為負, 則最終有Δdz(t+nτ)≥Δz(t+nτ).

引理3[6]假設d≥1是奇數，z(t+nτ)是負的實數列, Δdz(t+nτ)最終為負, 則Δz(t+nτ)<0.

引理4[6]假設d≥1是奇數,z(t+nτ)是正的實數列, 且Δdz(t+nτ)最終為負, 則Δd-1z(t+nτ)>0.

2 主要結果

證明取充分大n1，n1≥n0，t>t0，使得

(2)

T是連續的，對?x∈B1(n≥n1)有

證明證明類似于定理1，取充分大n1，n1≥n0，t>t0，使得

(3)

x(t)就是方程(1)的一個有界的最終正解.

定理3設0

(H1)存在函數y(u)∈C(R,R),使得x(u)≥y(u),uy(u)>0(u≠0),且y(u)≥m>0,m是常數;

則方程(1)的解振動.

證明反證法. 設方程(1)具有非振動解，不失一般性，設x(t)是最終正解. 令z(t)=x(t)-p(t)x(t-τ)，則方程(1)可變形為Δdz(t)+q(t)x(t-σ)=0，則z(t)>0.

事實上，Δdz(t)=-q(t)x(t-σ)<0, 由引理1知，z(t)>0或z(t)<0. 如果z(t)<0，則z(t+nτ)<0，由引理3，Δz(t+nτ)<0. 于是n≥n1,z(t+nτ)≤z(t+n1τ)<0, 因此x(t+nτ)≤z(t+n1τ)+p(t+nτ)x(t+nτ-τ)≤z(t+n1τ)+x(t+nτ-τ),n≥n1.

Δz(t+nτ) ≤Δdz(t+nτ)

≤-y(t+nτ-σ)q(t+nτ)

≤-mq(t+nτ)z(t+nτ)

由條件(H2)z(t+nτ)→-∞(n→+∞). 這與z(t+nτ)>0矛盾.所以方程(1)的解振動.

參考文獻：

[1] 李同興，韓振來，張萌，等. 一類具有連續變量的二階非線性中立型時滯差分方程的振動性[J]. 山東大學學報: 理學版, 2008, 43(2): 70-72.

[2] 劉一龍，楊甲山. 一類二階超線性中立型時滯差分方程的有界振動性[J]. 鄭州大學學報:理學版，2008, 40(2):24-28.

[3] 何嚴生, 俞元洪. 二階非線性差分方程的振動定理[J]. 數學研究與評論, 2004, 24(4): 740-744.

[4] 張曉建，劉興元. 非線性二階中立型差分方程的振動性[J]. 四川師范大學學報:自然科學版, 2008, 31(2):176-178.

[5] 唐清, 干曾玲. 高階中立型差分方程的振動性及其非振動解的漸近性態[J]. 數學雜志, 2000, 20(2)：207-210.

[6] 張曉建, 楊甲山. 奇數階非線性中立型差分方程的振動性[J]. 河南師范大學學報:自然科學版, 2009,37(2): 18-20.